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关于不等式（组）的知识在各地中考中都占有一定的比例，下面以2013年中考试题为例，对中考中的一些典型试题加以分析，归纳考点，分析得分点，希望对同学们有所帮助.
例1 （2013·广东佛山，6分）已知两个语句：
①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x-1的值不小于1且不大于3.
请回答以下问题：
（1） 两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2） 把两个语句分别用数学式子表示出来.
【分析】本题涉及由具体问题抽象出一元一次不等式组.
（1） 注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”，明确两者之间的关系；（2） 根据题意列出不等式组.
解：（1） 一样；（3分）
（2） 式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x-1≤3；（6分）
或：式子2x-1的值不小于1且不大于3可得2x-1≥1，
2x-1≤3.（6分）
【点评】解决这类问题关键是正确理解题意，抓住题干中体现不等关系的词语，准确进行文字语言与符号语言的转化. 这类问题是中考中的基本题，只要理解正确，转化准确，即可得到满分.
例2 （2013·四川巴中，6分）解不等式：
- ≤1，并把解集表示在数轴上.
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集的数轴表示. 按照解一元一次不等式的步骤求解.
解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，（1分）
去括号得：4x-2-9x-2≤6，（2分）
移项得：4x-9x≤6+2+2，（3分）
合并同类项得：-5x≤10，（4分）
把x的系数化为1得：x≥-2.（5分）
这个不等式的解集可表示如下（如图1）：
【点评】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同，只是在不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号要改变方向. 用数轴表示不等式的解集，要注意向右或向左、圆点或圆圈的确定，方法是：大于向右，小于向左；圆点包括该点，圆圈不包括该点.
例3 （2013·贵州毕节，12分）解不等式组：
2x+5≤3（x+2），①
2x
-<1. ②
把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.
【分析】本题涉及解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求一元一次不等式组的整数解. 先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可.
解：由①得：x≥-1，（2分）
由②得：x<3，（5分）
∴不等式组的解集为：-1≤x<3. （7分）
这个不等式组的解集在数轴上表示如图2所示.
.（10分）
不等式组的非负整数解为2、1、0.（12分）
【点评】解不等式组就是先求出各个不等式的解集，再利用数轴找出其解集的公共部分. 不等式组的解集也可用口诀来确定：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是空集.” 求不等式（组）的特殊解，一般先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解.
例4 （2013· 江苏扬州，8分）已知关于x、y的方程组5x+2y=11a+18，
2x-3y=12a-8的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围.
【分析】本题综合考查二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，解题的关键是先求出方程组的解并用含a的字母表示出来，再利用x>0和y>0构造不等式组，最后解不等式组求字母a的取值范围. 在解方程组时，可以用代入法或加减法，下面给出用加减法求解的完整过程，用代入法求解请你自己完成.
解：解方程组5x+2y=11a+18①，
2x-3y=12a-8 ②，①×3得，
15x+6y=33a+54 ③，
②×2得，4x-6y=24a-16 ④，
③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2，（2分）
把x=3a+2代入①得5（3a+2）+2y=11a+18，
∴y=-2a+4，
∴方程组的解是x=3a+2，
y=-2a+4. （4分）
∵x>0，y>0，∴3a+2>0，
-2a+4>0，（6分）
∴a的取值范围是- 【点评】构造不等式组来确定字母的取值范围是最常用的方法之一. 解决这类问题的关键是正确求出方程组的解，不少考生因为无法理解方程组的解可以用含有a的代数式表示而无法解题.
例5 （2013·江苏南通，8分）若关于x的不等式组
+>0，
3x+5a+4>4（x+1）+3a恰有三个整数解，求实数a的取值范围.
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法和不等式组解集的逆向应用. 应先分别求出各不等式的解集，得到不等式组解集，再由解集中恰有3个整数解得到关于a的不等式，最后得出a的取值范围.
解：由不等式+>0，解得x>-，（2分）
由不等式3x+5a+4>4（x+1）+3a，解得x<2a. （4分）
所以不等式组的解集为- 因为不等式组恰有三个整数解，所以其整数解为0，1，2，所以2<2a≤3，（7分）
所以1 【点评】解决本题也可以借助数轴分析解集的情况，确定a的取值范围.
例6 （2013·湖北孝感，10分）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1、x2.
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是利用根的判别式、根与系数的关系和已知条件建立不等式，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.
解：（1） ∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，
∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）
∴当k≤时，原方程有两个实数根. （5分）
（2） 假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
∵x1、x2是原方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）
由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）
∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）
∴只有当k=1时，上式才能成立.（9分）
又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）
【点评】对于存在探究型问题，首先假设条件的存在，然后再通过证明推理及计算，探究自己所假设存在是否与已知条件或推理过程矛盾，若矛盾则假设不成立，否则假设成立. 运用根与系数的关系求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式. 基本步骤：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：将所求代数式用x1+x2和x1x2的代数式表示；第三步：将x1+x2和x1x2的值代入求值.
例7 （2013·江苏无锡，8分）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨. 若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？
【分析】本题涉及用方程、不等式和一次函数的性质来解决实际问题，由“要提取A元素20千克”可以得到一个方程，由“废气排放不超过16吨”可以得到一个不等式，进而可以求出一种原料的取值范围，再求出购买这两种原料的费用的函数关系式，即可求出费用的最少值.
解：（1） 设购买甲、乙两种原料分别为x吨和y吨，则
5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，
5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）
即5x+8y=2，
50x+40y≤16.
∴y≥0.1. （4分）
设购买甲、乙两种原料所需要的费用为W万元，则
W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）
∴当y=0.1，x=0.24时，W最小=1.2. （7分）
答：该厂购买这两种原料最少需要1.2万元. （8分）
【点评】在联合运用方程、不等式和函数知识来解决实际问题时，要认真审题，找出表示题目全部含义的数量关系，然后根据不等式（组）确定自变量的范围，再根据题意建立函数模型，最后在自变量的取值范围内求函数最值.
例8 （2013·湖南益阳，10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输. “益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石.
（1） 求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2） 随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的综合应用，解题关键是根据已知条件，寻找到题目中的相等关系和不等关系，再建立方程或不等式模型来求解.（1） 根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”组成方程组求解；（2） 利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式，求出整数解就可以得到所有的购买方案.
解：（1） 设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，由题意，得
x+y=12，
8x+10y=110.（2分）
解得 x=5，
y=7. （4分）
答：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆.（5分）
（2） 设载重量为8吨的卡车增加了z辆，由题意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）
解得z<. ∵z≥0且为整数，∴z=0、1、2；
∴6-z=6、5、4. （8分）
∴车队共有3种购车方案：
①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆. （10分）
【点评】（1） 建立方程或方程组模型，首先应找到题目中的等量关系，并用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出方程或方程组. （2） 列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”“没满”“少于”“不超过”“最大”等关键词语作为标志. 有时在解出不等式（组）之后，还要根据实际情况适当取舍，选出符合要求的答案.
（作者单位：江苏省兴化市第一中学）
例1 （2013·广东佛山，6分）已知两个语句：
①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x-1的值不小于1且不大于3.
请回答以下问题：
（1） 两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2） 把两个语句分别用数学式子表示出来.
【分析】本题涉及由具体问题抽象出一元一次不等式组.
（1） 注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”，明确两者之间的关系；（2） 根据题意列出不等式组.
解：（1） 一样；（3分）
（2） 式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x-1≤3；（6分）
或：式子2x-1的值不小于1且不大于3可得2x-1≥1，
2x-1≤3.（6分）
【点评】解决这类问题关键是正确理解题意，抓住题干中体现不等关系的词语，准确进行文字语言与符号语言的转化. 这类问题是中考中的基本题，只要理解正确，转化准确，即可得到满分.
例2 （2013·四川巴中，6分）解不等式：
- ≤1，并把解集表示在数轴上.
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集的数轴表示. 按照解一元一次不等式的步骤求解.
解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，（1分）
去括号得：4x-2-9x-2≤6，（2分）
移项得：4x-9x≤6+2+2，（3分）
合并同类项得：-5x≤10，（4分）
把x的系数化为1得：x≥-2.（5分）
这个不等式的解集可表示如下（如图1）：
【点评】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同，只是在不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号要改变方向. 用数轴表示不等式的解集，要注意向右或向左、圆点或圆圈的确定，方法是：大于向右，小于向左；圆点包括该点，圆圈不包括该点.
例3 （2013·贵州毕节，12分）解不等式组：
2x+5≤3（x+2），①
2x
-<1. ②
把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.
【分析】本题涉及解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求一元一次不等式组的整数解. 先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可.
解：由①得：x≥-1，（2分）
由②得：x<3，（5分）
∴不等式组的解集为：-1≤x<3. （7分）
这个不等式组的解集在数轴上表示如图2所示.
.（10分）
不等式组的非负整数解为2、1、0.（12分）
【点评】解不等式组就是先求出各个不等式的解集，再利用数轴找出其解集的公共部分. 不等式组的解集也可用口诀来确定：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是空集.” 求不等式（组）的特殊解，一般先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解.
例4 （2013· 江苏扬州，8分）已知关于x、y的方程组5x+2y=11a+18，
2x-3y=12a-8的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围.
【分析】本题综合考查二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，解题的关键是先求出方程组的解并用含a的字母表示出来，再利用x>0和y>0构造不等式组，最后解不等式组求字母a的取值范围. 在解方程组时，可以用代入法或加减法，下面给出用加减法求解的完整过程，用代入法求解请你自己完成.
解：解方程组5x+2y=11a+18①，
2x-3y=12a-8 ②，①×3得，
15x+6y=33a+54 ③，
②×2得，4x-6y=24a-16 ④，
③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2，（2分）
把x=3a+2代入①得5（3a+2）+2y=11a+18，
∴y=-2a+4，
∴方程组的解是x=3a+2，
y=-2a+4. （4分）
∵x>0，y>0，∴3a+2>0，
-2a+4>0，（6分）
∴a的取值范围是-
例5 （2013·江苏南通，8分）若关于x的不等式组
+>0，
3x+5a+4>4（x+1）+3a恰有三个整数解，求实数a的取值范围.
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法和不等式组解集的逆向应用. 应先分别求出各不等式的解集，得到不等式组解集，再由解集中恰有3个整数解得到关于a的不等式，最后得出a的取值范围.
解：由不等式+>0，解得x>-，（2分）
由不等式3x+5a+4>4（x+1）+3a，解得x<2a. （4分）
所以不等式组的解集为-
例6 （2013·湖北孝感，10分）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1、x2.
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是利用根的判别式、根与系数的关系和已知条件建立不等式，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.
解：（1） ∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，
∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）
∴当k≤时，原方程有两个实数根. （5分）
（2） 假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
∵x1、x2是原方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）
由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）
∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）
∴只有当k=1时，上式才能成立.（9分）
又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）
【点评】对于存在探究型问题，首先假设条件的存在，然后再通过证明推理及计算，探究自己所假设存在是否与已知条件或推理过程矛盾，若矛盾则假设不成立，否则假设成立. 运用根与系数的关系求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式. 基本步骤：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：将所求代数式用x1+x2和x1x2的代数式表示；第三步：将x1+x2和x1x2的值代入求值.
例7 （2013·江苏无锡，8分）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨. 若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？
【分析】本题涉及用方程、不等式和一次函数的性质来解决实际问题，由“要提取A元素20千克”可以得到一个方程，由“废气排放不超过16吨”可以得到一个不等式，进而可以求出一种原料的取值范围，再求出购买这两种原料的费用的函数关系式，即可求出费用的最少值.
解：（1） 设购买甲、乙两种原料分别为x吨和y吨，则
5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，
5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）
即5x+8y=2，
50x+40y≤16.
∴y≥0.1. （4分）
设购买甲、乙两种原料所需要的费用为W万元，则
W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）
∴当y=0.1，x=0.24时，W最小=1.2. （7分）
答：该厂购买这两种原料最少需要1.2万元. （8分）
【点评】在联合运用方程、不等式和函数知识来解决实际问题时，要认真审题，找出表示题目全部含义的数量关系，然后根据不等式（组）确定自变量的范围，再根据题意建立函数模型，最后在自变量的取值范围内求函数最值.
例8 （2013·湖南益阳，10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输. “益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石.
（1） 求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2） 随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的综合应用，解题关键是根据已知条件，寻找到题目中的相等关系和不等关系，再建立方程或不等式模型来求解.（1） 根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”组成方程组求解；（2） 利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式，求出整数解就可以得到所有的购买方案.
解：（1） 设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，由题意，得
x+y=12，
8x+10y=110.（2分）
解得 x=5，
y=7. （4分）
答：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆.（5分）
（2） 设载重量为8吨的卡车增加了z辆，由题意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）
解得z<. ∵z≥0且为整数，∴z=0、1、2；
∴6-z=6、5、4. （8分）
∴车队共有3种购车方案：
①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆. （10分）
【点评】（1） 建立方程或方程组模型，首先应找到题目中的等量关系，并用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出方程或方程组. （2） 列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”“没满”“少于”“不超过”“最大”等关键词语作为标志. 有时在解出不等式（组）之后，还要根据实际情况适当取舍，选出符合要求的答案.
（作者单位：江苏省兴化市第一中学）