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[摘 要]数形结合思想是数学中的一个重要思想。通过让学生观察图形与算式，促进学生能从不同的角度思考问题，能把数形结合思想迁移到解决实际问题中，体会到数与形的完美结合。
[关键词]数与形 数形结合思想 以形助数 以数解形
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）32-019
数形结合思想是一种重要的数学思想，可以说涉及数学学科的各个领域。我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”等抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
“数与形”是人教版小学六年级上册教材第八单元“数学广角”中的内容。《义务教育数学课程标准》（2011年版）在原有基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想，基本活动经验，这体现了数学教学中培养学生数学素养的重要性。本课内容主要是通过观察图形与算式，让学生发现规律解决问题，在此基础上再次创新，从不同角度思考问题，指导学生运用数形结合的思想解决实际问题，帮助学生积累经验。
在数与形的教学过程中，我进行了一次尝试，带领学生行走在数与形之间。
片段一：灵活应用教材，感悟数缺形时少直观
教材上的呈现方式如下图，教学目标只要求学生通过观察图形和算式寻找规律。图形和算式的指向性非常明确，学生无需太多的思考便能解决。这种观察性的学习缺乏个性活动经验。
教材是实现课程目标的有效载体，但是如果教师只停留在照本宣科上，恐怕学生获得的只是单纯的知识，而隐藏在学习过程中的思维经验的积累就被忽视了。所以需要教师设计开放性、有过程的教学环节，充分调动学生的思维。
师（出示1 3 5 7 9 11和6×6）：哪位同学能很快算出结果？
生：6×6=36。
师：一个简单，一个复杂，结果却相同，这里面有什么秘密吗？刚才我们都是从数的角度分析，现在我们换个角度，借助图形来帮助我们研究怎么样？
师：由6×6你能想到什么图形？
生：一个大的正方形。
师（课件出示图1）：如果我们用一个小方格代表1，那么这一行就画了6个，共画了这样的6行，也就是用6×6来表示。记得刚才1 3 5 7 9 11也得36。这个算式你们能在方格纸上用画图的方式表示出来吗？请你先想一想、再动手试一试。
生1：我是一个一个接着画的。（如图2）
师：她是按照数的顺序依次一行一行地画出来。
生2：我发现1和11能凑成12，3和9能凑成12，5和7也能凑成12，所以3个12就是36。（如图3）
师：这位同学有了规划的意识，能把数字分成组，也清楚地表达了算式的意思。
生3：可以这样拐着弯画，我觉得这样画更清楚。（如图4）
生4：我喜欢用数字表示，这样也能让人看清楚数字在哪里。（如图5）
师：你们更喜欢哪一种呢？生3的作品好在哪里？
生：这种更能一目了然地看出规律。
师：这样不仅清楚地表示出数，而且还容易发现规律。咱们班同学可是非常了不起的，千万别小瞧这幅图形，小小正方形在你们的笔下演绎着与以往不同的精彩。在这幅图形里，除了6×6这个大正方形，还存在其他的正方形吗？会不会也有这样的算式和它对应着呢？请你找一找。
生：1=1×1，
1 3=2×2，
1 3 5=3×3，
1 3 5 7=4×4，
1 3 5 7 9=5×5，
1 3 5 7 9 11=6×6，
……
分析与思考：这个环节并不是直接让学生去观察，而是给学生搭建了自主探索的空间，教师给学生提供了探究的素材，在学习的活动中充分调动了学生的原始认知水平，让他们在动手画图的过程中感悟形中有数，数中有形的数形结合的方法，同时也体会了研究数学问题的方法，享受学习的过程，提高了数学思维能力。学生在汇报想法的过程中逐层深入，由浅入深地发现和认识正方形的特点，感受数与形内在的奇妙之处。
片段二：创造性地使用教材，感悟形少数时难入微
在我们的教材上，关于数与形的问题，大部分内容都是集中在用图形帮助分析数，而缺少“以数析形”的素材，如何才能在教学中让学生感受到形少数时难入微呢？
师：我们学过线段，也了解了数对，如果我们把线段和数对联系在一起，会有什么发现呢？
生1：我能看出这两个点的位置。
生2：我能知道这条线段的长度是4个格，但是我不知道它的具体长度，因为没有单位。
生3：我还能知道它是一条水平的线段。
师：有了数对，我们知道了两个端点的位置；有了数，我们可以知道线段的长度（依据8和4）；有了数，我们可以知道这是一条水平的线段（依据3和3）。
师：你们知道这两条线段的位置关系吗？
生4：这两条线段是平行的。
生5：下面的线段向上先平移了3个格，再向左平移了1个格。
师：有了数据的帮助，我们不仅能判断线段的特点，还能知道两条线段的关系。
师：下面的这两条线段平行吗？
（学生一开始异口同声地说“平行”，停顿数秒即刻又说“不平行”）
生6：那个是8.1，只有是8才平行。
生7：如果平行的话，它们纵坐标的数值应该是相等的，可是现在相差了0.1。
师：光用眼睛看不行，有数据我们才能准确判断。有时候眼睛也会欺骗人，有句古话说得好，失之毫厘，谬以千里。
分析与思考：虽然简单的几条线段都是学生熟悉的，但是利用联系的观点看问题对于学生来说是第一次。学生通过研究与梳理，构架起知识之间的网络，积累研究数学的方法和策略，在思考、交流的过程中真实感受到数据对图形细致入微的刻画。
通过经历与尝试，学生发现“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以借助“形”来解决。教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既让学生充分利用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简洁性，又让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模型，感受化形为数（或代数式）的概括性。在此基础上再次创新，从不同角度观察、发现新的规律。学生在解决问题的过程中体会到数与形的完美结合，有效培养了学生的观察、抽象及概括能力。
真实的经历和体验，让“数缺形时少直观，形少数时难入微”悄然植入学生的头脑中。
（责编 金 铃）
[关键词]数与形 数形结合思想 以形助数 以数解形
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）32-019
数形结合思想是一种重要的数学思想，可以说涉及数学学科的各个领域。我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”等抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
“数与形”是人教版小学六年级上册教材第八单元“数学广角”中的内容。《义务教育数学课程标准》（2011年版）在原有基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想，基本活动经验，这体现了数学教学中培养学生数学素养的重要性。本课内容主要是通过观察图形与算式，让学生发现规律解决问题，在此基础上再次创新，从不同角度思考问题，指导学生运用数形结合的思想解决实际问题，帮助学生积累经验。
在数与形的教学过程中，我进行了一次尝试，带领学生行走在数与形之间。
片段一：灵活应用教材，感悟数缺形时少直观
教材上的呈现方式如下图，教学目标只要求学生通过观察图形和算式寻找规律。图形和算式的指向性非常明确，学生无需太多的思考便能解决。这种观察性的学习缺乏个性活动经验。
教材是实现课程目标的有效载体，但是如果教师只停留在照本宣科上，恐怕学生获得的只是单纯的知识，而隐藏在学习过程中的思维经验的积累就被忽视了。所以需要教师设计开放性、有过程的教学环节，充分调动学生的思维。
师（出示1 3 5 7 9 11和6×6）：哪位同学能很快算出结果？
生：6×6=36。
师：一个简单，一个复杂，结果却相同，这里面有什么秘密吗？刚才我们都是从数的角度分析，现在我们换个角度，借助图形来帮助我们研究怎么样？
师：由6×6你能想到什么图形？
生：一个大的正方形。
师（课件出示图1）：如果我们用一个小方格代表1，那么这一行就画了6个，共画了这样的6行，也就是用6×6来表示。记得刚才1 3 5 7 9 11也得36。这个算式你们能在方格纸上用画图的方式表示出来吗？请你先想一想、再动手试一试。
生1：我是一个一个接着画的。（如图2）
师：她是按照数的顺序依次一行一行地画出来。
生2：我发现1和11能凑成12，3和9能凑成12，5和7也能凑成12，所以3个12就是36。（如图3）
师：这位同学有了规划的意识，能把数字分成组，也清楚地表达了算式的意思。
生3：可以这样拐着弯画，我觉得这样画更清楚。（如图4）
生4：我喜欢用数字表示，这样也能让人看清楚数字在哪里。（如图5）
师：你们更喜欢哪一种呢？生3的作品好在哪里？
生：这种更能一目了然地看出规律。
师：这样不仅清楚地表示出数，而且还容易发现规律。咱们班同学可是非常了不起的，千万别小瞧这幅图形，小小正方形在你们的笔下演绎着与以往不同的精彩。在这幅图形里，除了6×6这个大正方形，还存在其他的正方形吗？会不会也有这样的算式和它对应着呢？请你找一找。
生：1=1×1，
1 3=2×2，
1 3 5=3×3，
1 3 5 7=4×4，
1 3 5 7 9=5×5，
1 3 5 7 9 11=6×6，
……
分析与思考：这个环节并不是直接让学生去观察，而是给学生搭建了自主探索的空间，教师给学生提供了探究的素材，在学习的活动中充分调动了学生的原始认知水平，让他们在动手画图的过程中感悟形中有数，数中有形的数形结合的方法，同时也体会了研究数学问题的方法，享受学习的过程，提高了数学思维能力。学生在汇报想法的过程中逐层深入，由浅入深地发现和认识正方形的特点，感受数与形内在的奇妙之处。
片段二：创造性地使用教材，感悟形少数时难入微
在我们的教材上，关于数与形的问题，大部分内容都是集中在用图形帮助分析数，而缺少“以数析形”的素材，如何才能在教学中让学生感受到形少数时难入微呢？
师：我们学过线段，也了解了数对，如果我们把线段和数对联系在一起，会有什么发现呢？
生1：我能看出这两个点的位置。
生2：我能知道这条线段的长度是4个格，但是我不知道它的具体长度，因为没有单位。
生3：我还能知道它是一条水平的线段。
师：有了数对，我们知道了两个端点的位置；有了数，我们可以知道线段的长度（依据8和4）；有了数，我们可以知道这是一条水平的线段（依据3和3）。
师：你们知道这两条线段的位置关系吗？
生4：这两条线段是平行的。
生5：下面的线段向上先平移了3个格，再向左平移了1个格。
师：有了数据的帮助，我们不仅能判断线段的特点，还能知道两条线段的关系。
师：下面的这两条线段平行吗？
（学生一开始异口同声地说“平行”，停顿数秒即刻又说“不平行”）
生6：那个是8.1，只有是8才平行。
生7：如果平行的话，它们纵坐标的数值应该是相等的，可是现在相差了0.1。
师：光用眼睛看不行，有数据我们才能准确判断。有时候眼睛也会欺骗人，有句古话说得好，失之毫厘，谬以千里。
分析与思考：虽然简单的几条线段都是学生熟悉的，但是利用联系的观点看问题对于学生来说是第一次。学生通过研究与梳理，构架起知识之间的网络，积累研究数学的方法和策略，在思考、交流的过程中真实感受到数据对图形细致入微的刻画。
通过经历与尝试，学生发现“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以借助“形”来解决。教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既让学生充分利用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简洁性，又让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模型，感受化形为数（或代数式）的概括性。在此基础上再次创新，从不同角度观察、发现新的规律。学生在解决问题的过程中体会到数与形的完美结合，有效培养了学生的观察、抽象及概括能力。
真实的经历和体验，让“数缺形时少直观，形少数时难入微”悄然植入学生的头脑中。
（责编 金 铃）