论文部分内容阅读
【摘要】从传统博弈到演化博弈，博弈论的研究越来越广泛，越来越深入，其中复制动态方程对于博弈论的研究起着至关重要的作用。本文基于有限群体，利用演化博弈的理论建立2×2对称博弈的复制动态方程，求解此复制动态方程的奇点，并分析此复制动态方程在奇点处的稳定及稳定条件，最终得到了与无限群体2×2对称博弈不同的结论。
【关键词】演化博弈;有限群体;复制动态方程;对称博弈
1.引言
演化博弈论结合了经典博弈论与演化生物学的知识，最主要特点是摒弃了完全理性的假设，将参与者视为有限理性。为了内在动力学研究和数学表达的便利性，研究演化博弈论最常选用复制动态方程，因此复制动态方程对其研究起着至关重要的作用。目前对2×2对称博弈[1]和非对称博弈[2，3]、3×3对称博弈和非对称博弈[4]的复制动态方程都进行了演化均衡的稳定性分析，得到了较完整的结论。在这些研究中，对复制动态方程，有一些共同的假设：（1）博弈群体数量无限;（2）博弈个体均匀混合。但是对于种群个数无限大的假设并不符合现实，现实系统中种群规模都是有限的，因此出现了很多研究将假设条件从无限群体变成有限群体[5]。本文将博弈群体从无限变为有限，然后研究博弈的演化過程与最终趋势。
2.2×2对称博弈的复制动态方程
博弈论中，经典2×2对称演化博弈的收益矩阵如表1所示。
表1 2×2对称演化博弈收益矩阵
博弈者及策略
A 参与者乙
B
参与者甲 A a，a b，c
B c，b d，d
表2 奇点的稳定条件
奇点 稳定条件 直接排斥的奇点 可能共存的奇点
， N/A
图1 奇点Ⅰ唯一稳定
收益矩阵的意义是：若参与者甲和乙均采取纯策略A，他们的收益为;若参与者甲和乙均采取纯策略B，他们的收益为;若参与者甲和乙分别采取策略A和策略B，则他们的收益为或。假设有限群体拥有N个个体，有i个个体采取纯策略A，则剩余的N-i个个体采取纯策略B。即个体采v取策略A和B的比率分别为、，且有。采取纯策略A和纯策略B的平均收益分别见式（1）、（2）：
（1）
（2）
设，，则（1），（2）可分别改写为（3）、（4）：
（3）
（4）
因此我们可以得到基于有限群体2×2对称博弈的复制动态方程如式（5）所示：
（5）
3.复制动态方程的奇点
令，求出复制动态方程的奇点（3个）：
，，
每个奇点分别代表不同的物理意义。按其所代表的物理意义的特征可分为2种类型：①在邻域内，2个策略中有1个策略对另1个策略占优，属于这类奇点的有和，其中，时，，B策略比A策略占优;时，，A策略比B策略占优。②在邻域内，2个策略间竞争激烈，在邻域内不存在占优或被占优情形，属于这类奇点是：
此时：
A策略和B策略分别以一定的比例共存。
4.复制动态方程的稳定性
下面分析这些奇点的稳定性及稳定条件。
令，则：
（6）
将三个奇点分别带入上式（6）中，分析每个奇点的稳定条件。
（1）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
（2）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
（3）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
利用二次函数的性质，得到稳定条件为：
化简可得：
最后，总结复制动态方程3个奇点的稳定条件及共存排斥情况，如表2所示。
5.相平面图验证
选取不同算例，利用matlab软件绘制相平面图，验证以上奇点的稳定条件和共存排斥情况。
相平面图 a， b， c， d取值 种群个数N 结论
图1 a=3，b=2，c=5，d=4 2 奇点Ⅰ唯一稳定
20
200
图2 a=4，b=5，c=2，d=2 2 奇点Ⅱ唯一稳定
20
200
图3 a=4，b=2，c=2，d=5 2 奇点Ⅰ和Ⅱ共存
20
200
（1）根据复制动态方程的规律，a=3，b=2，c=5，d=4，策略B占优于策略A。由图1可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
（2）根据复制动态方程的规律，a=4，b=5，c=2，d=2，策略A占优于策略B，由图可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
图2 奇点Ⅱ唯一稳定
图3 奇点Ⅰ和Ⅱ共存
（3）根据复制动态方程的规律，a=4，b=2，c=2，d=5，策略A与策略B双稳定，由图可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
参考文献
[1]吴昊，杨梅英，陈良猷.合作竞争博弈中的复杂性与演化均衡的稳定性分析[J].系统工程理论与实践，2004（2）：90-94.
[2]孙庆文，陆柳，严广乐等.不完全信息条件下演化博弈均衡的稳定性分析[J].系统工程理论与实践，2003（7）：11-16.
[3]黄仙，王占华.多群体复制动态模型下发电商竞价策略的分析[J].电力系统保护与控制，2009（12）：27-31.
[4]Huang Xian.Study on the stable conditions of 3x3 symmetrical evolutionary games[C].Advances in Intelligent and Soft Computing.2012，168（1）：197-202
[5]Cressman.R.Evolutionary game theory with two groups of individuals[J].Game and Economic Behavior，1995，11：237-253.
【关键词】演化博弈;有限群体;复制动态方程;对称博弈
1.引言
演化博弈论结合了经典博弈论与演化生物学的知识，最主要特点是摒弃了完全理性的假设，将参与者视为有限理性。为了内在动力学研究和数学表达的便利性，研究演化博弈论最常选用复制动态方程，因此复制动态方程对其研究起着至关重要的作用。目前对2×2对称博弈[1]和非对称博弈[2，3]、3×3对称博弈和非对称博弈[4]的复制动态方程都进行了演化均衡的稳定性分析，得到了较完整的结论。在这些研究中，对复制动态方程，有一些共同的假设：（1）博弈群体数量无限;（2）博弈个体均匀混合。但是对于种群个数无限大的假设并不符合现实，现实系统中种群规模都是有限的，因此出现了很多研究将假设条件从无限群体变成有限群体[5]。本文将博弈群体从无限变为有限，然后研究博弈的演化過程与最终趋势。
2.2×2对称博弈的复制动态方程
博弈论中，经典2×2对称演化博弈的收益矩阵如表1所示。
表1 2×2对称演化博弈收益矩阵
博弈者及策略
A 参与者乙
B
参与者甲 A a，a b，c
B c，b d，d
表2 奇点的稳定条件
奇点 稳定条件 直接排斥的奇点 可能共存的奇点
， N/A
图1 奇点Ⅰ唯一稳定
收益矩阵的意义是：若参与者甲和乙均采取纯策略A，他们的收益为;若参与者甲和乙均采取纯策略B，他们的收益为;若参与者甲和乙分别采取策略A和策略B，则他们的收益为或。假设有限群体拥有N个个体，有i个个体采取纯策略A，则剩余的N-i个个体采取纯策略B。即个体采v取策略A和B的比率分别为、，且有。采取纯策略A和纯策略B的平均收益分别见式（1）、（2）：
（1）
（2）
设，，则（1），（2）可分别改写为（3）、（4）：
（3）
（4）
因此我们可以得到基于有限群体2×2对称博弈的复制动态方程如式（5）所示：
（5）
3.复制动态方程的奇点
令，求出复制动态方程的奇点（3个）：
，，
每个奇点分别代表不同的物理意义。按其所代表的物理意义的特征可分为2种类型：①在邻域内，2个策略中有1个策略对另1个策略占优，属于这类奇点的有和，其中，时，，B策略比A策略占优;时，，A策略比B策略占优。②在邻域内，2个策略间竞争激烈，在邻域内不存在占优或被占优情形，属于这类奇点是：
此时：
A策略和B策略分别以一定的比例共存。
4.复制动态方程的稳定性
下面分析这些奇点的稳定性及稳定条件。
令，则：
（6）
将三个奇点分别带入上式（6）中，分析每个奇点的稳定条件。
（1）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
（2）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
（3）
根据稳定性判定条件，此奇点的稳定条件是：
利用二次函数的性质，得到稳定条件为：
化简可得：
最后，总结复制动态方程3个奇点的稳定条件及共存排斥情况，如表2所示。
5.相平面图验证
选取不同算例，利用matlab软件绘制相平面图，验证以上奇点的稳定条件和共存排斥情况。
相平面图 a， b， c， d取值 种群个数N 结论
图1 a=3，b=2，c=5，d=4 2 奇点Ⅰ唯一稳定
20
200
图2 a=4，b=5，c=2，d=2 2 奇点Ⅱ唯一稳定
20
200
图3 a=4，b=2，c=2，d=5 2 奇点Ⅰ和Ⅱ共存
20
200
（1）根据复制动态方程的规律，a=3，b=2，c=5，d=4，策略B占优于策略A。由图1可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
（2）根据复制动态方程的规律，a=4，b=5，c=2，d=2，策略A占优于策略B，由图可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
图2 奇点Ⅱ唯一稳定
图3 奇点Ⅰ和Ⅱ共存
（3）根据复制动态方程的规律，a=4，b=2，c=2，d=5，策略A与策略B双稳定，由图可看出，当种群个体数从2，20，200逐渐接近于无限大时，相应的曲线也逐渐接近于稳定，说明最终演化效果一致。但当N较小时，曲线的拐点会提前出现，证明博弈需要的时间较少，能更快作出决定。
参考文献
[1]吴昊，杨梅英，陈良猷.合作竞争博弈中的复杂性与演化均衡的稳定性分析[J].系统工程理论与实践，2004（2）：90-94.
[2]孙庆文，陆柳，严广乐等.不完全信息条件下演化博弈均衡的稳定性分析[J].系统工程理论与实践，2003（7）：11-16.
[3]黄仙，王占华.多群体复制动态模型下发电商竞价策略的分析[J].电力系统保护与控制，2009（12）：27-31.
[4]Huang Xian.Study on the stable conditions of 3x3 symmetrical evolutionary games[C].Advances in Intelligent and Soft Computing.2012，168（1）：197-202
[5]Cressman.R.Evolutionary game theory with two groups of individuals[J].Game and Economic Behavior，1995，11：237-253.