二次函数是初中阶段最后一次研究函数的内容，是初中代数各种知识与思想的集体展现，是初中代数内容的一个总结.下面我们就从三个方面来探讨这节知识.
　　一、根的情况与交点个数
　　观察下面三个二次函数的图象与一元二次方程的根的情况（表1），并回答二次函数图象在什么条件下与轴有两个交点，一个交点，没有交点？
　　 表1方程根的情况与函数图象交点的个数
　　
　　
　　判别式符号
　　
　　
　　
　　观察图表知：当对应方程的时，抛物线与轴有两个交点；
　　当对应方程的时，抛物线与轴有一个交点；
　　当对应方程的时，抛物线与轴没有交点.这三条结论反之也成立，这就是二次函数与一元二次方程的“数形结合”思想。
　　例1.已知二次函数，证明：抛物线与轴始终有两个交点？
　　证明：
　　
　　∴抛物线与轴始终有两个交点.
　　特别注意：若二次函数的图像与轴有交点,如何求交点间的距离.
　　设方程的两根为，即抛物线与轴交点的坐标为，，则由根与系数的关系得:，.则
　　
　　表2二次函数的图像与轴交点位置
　　 ,点A,点B在原点同侧
　　,点A,点B在原点两侧
　　
　　
　　
　　
　　例2.已知抛物线
　　（1）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值.
　　（2）在（1）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？
　　解：（1）＝
　　
　　又∵∴
　　解得或（舍去）∴
　　（2），顶点（5，－9），
　　∵∴⊙M不经过抛物线的顶点P.
　　评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解决相关问题的常用技巧.
　　二、根的大小与交点坐标
　　一元二次方程的根为二次函数的图象与轴的交点为，.
　　例3.抛物线的一部分图象如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴的交点坐标为_______,由该抛物线可知，方程的根是________.
　　解析：由抛物线的图象经过点易求出，则，又因为抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为，故方程的两个根为
　　三、根为0与图象过原点
　　一元二次方程有一个根为0二次函数的图象经过原点.
　　例4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是多少？
　　解：观察图象可知，抛物线经过原点，所以一元二次方程有一个根为0，所以，解得，由因为抛物线开口向下，所以，所以.
　　
　　
　　通过这节课，我们看到二次函数和一元二次方程有着密切的联系，渗透着“数形结合”思想，这对今后的数学学习会起到非常重要的作用.
　　1．一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
　　2．二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根，另外，若二次函数的图像与轴相交，则交点之间的距离为.
　　3．当二次函数的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根．