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摘要：在Banach空間X中引入了一个新的几何常数CpzX，称为广义的Zbaganu常数。 计算了该常数在任何Banach空间X中的上下界估计值。 同时， 给出了X是一致非方的等价条件，并讨论了C（p）z（X）常数与James常数之间的关系。 最后将CpzX常数与不动点性质建立联系。
关键词：广义Zbaganu常数；James常数；一致非方；不动点性质，正规结构
DOI：1015938/jjhust201705023
中图分类号： O1772
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）05-0126-04
Generalized Zbaganu Constant
CUI Yunan，ZHANG Meiling
（Department of Mathematics， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：A new geometric constant CpzX for a Banach space X is introduced ，called the generalized Zbaganu constant Next， it is shown that the upper and the lower bounds of the constant estimation for any Banach space X Moreover， it gives the equivalent conditions of X is uniformly nonsquare and that discusses the relationship between the James constant and CpzX Finally， the relationship between C（p）z（X） and the fixed point property is found
Keywords：the generalized Zbaganu constant； James constant； uniform nonsquareness； the fixed point property； normal structure
收稿日期： 2015-11-19
基金項目： 黑龙江省自然科学基金（A2015018）
作者简介：
崔云安（1961—），男，博士，教授，Email：cuiya@hrbusteducn
张美玲（1992—），女，硕士研究生
1预备知识
近年来，Banach空间X上有很多几何常数被广泛研究[1-9]。 尤其是Zbaganu常数CzX和James常数JX， 引起了广泛的关注。 根据CzX常数引入了新的几何常数，广义Zbaganu常数CpzX。 当p=2时，CpzX=CzX。并且CpzX常数在Banach空间上有很多好的性质可以被应用。
在本文中，以X表示Banach空间，用BX=x∈X：‖x‖≤1和SX=x∈X：‖x‖=1分别表示Banach空间X的单位球及单位球面。下面给出与本文相关的定义以及定理。
定义1CZ（X）[10]常数定义为：
CzX=sup‖x+y‖‖x-y‖‖x‖2+‖y‖2：x，y∈X，x，y≠0，0。
定义2我们将其推广成CpzX，定义为：
CpzX=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0。
将CpzX参数化（文[11]和[12]），则
CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1。
定义3James常数定义为：
JX=supmin‖x+y‖，‖x-y‖：x，y∈SX。
定义4在Banach空间中，弱正交系数定义如下：
w（X）=supr>0：limsupn→
SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→
SymboleB@ ‖x-xn‖，
xnX，xnw0，x∈X
定义5[13]在Banach空间中，定义w（X）的倒数如下：
uX=infr>0：limsupn→
SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→
SymboleB@ ‖x-xn‖，
xnX，xnw0，x∈X。
定义6X称为具有正规结构（弱正规结构），若X的每个直径大于0的有界闭凸子集（弱紧凸子集）C至少包含一个非直径点，即任意x∈C，
sup‖y-x‖：y∈C=diamC=sup‖y-z‖：y，z∈C。
Banach空间X有弱正规结构（正规结构）则X具有弱不动点性质（不动点性质）[14-15]。
2主要结果
定理1当1≤p<
SymboleB@ 时，Banach空间X上的广义Zbaganu常数CpzX满足不等式12p-2≤CpzX≤2。
证明：1）令x=αy，
CpzX
=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0
≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p
=1+αp21-ap22p-21+αp 当α→0+时，CpzX≥12p-2。
2）CpzX
=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1
≤sup‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp：x，y∈SX，0≤t≤1
因为‖x+ty‖p+‖x-ty‖p≤‖x‖+t‖y‖p+‖x‖+t‖y‖p
=2‖x‖+t‖y‖p
=21+tp
所以‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp≤21+tp2p-11+tp。
应用φu=u的凸性，得到
1+tp=2·1+t2p=2p1+t2p≤2p1+tp2=2p-11+tp。
所以‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-2（1+tp）≤2·2p-1（1+tp）2p-1（1+tp）=2， 因此
CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1≤2。
定理2Banach空间X， 当1≤p<
SymboleB@ 时，JX≤2p-1ppCpzX。
证明：当1≤p<
SymboleB@ ，任意x，y∈SX，
min‖x+y‖，‖x-y‖p≤‖x+y‖‖x-y‖p
=2p-2‖x‖p+‖y‖pCpzX
=2p-1CpzX
所以min‖x+y‖，‖x-y‖≤2p-1ppCpzX。所以JX≤2p-1ppCpzX。
引理1[16]当1 SymboleB@ 时，Banach空间X是一致非方当且仅当存在δ∈0，1满足对于任意x，y∈X，‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2。
根据定理2与引理1，可以得到下面的定理。
定理3当1≤p<
SymboleB@ ，Banach空间X是一致非方当且仅当CpzX<2。
证明：1）必要性根据定理2显然得证。
2）充分性
i）当p=1时，
min‖x+y‖，‖x-y‖≤‖x+y‖‖x-y‖
所以JX≤C1zX，對于任意x，y∈SX。由已知得C1zX<2，则JX<2，得证。
ii） 当1 SymboleB@ 时，
2‖x+y‖p2‖x-y‖p2≤‖x+y‖p+‖x-y‖p
则‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-1≤‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2
所以‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p≤2-δ，得证。
根据定理2，3。得到下面的推论。
推论1对于任意的1≤p<
SymboleB@ ，Banach空间X上的不等式CpzX<2和JX<2是等价的。 此外， 如果Banach空间X满足CpzX<2，那么X有不动点性质。
证明：如果Banach空间X是一致非方当且仅当JX<2。根据定理3，如果Banach空间X是一致非方当且仅当CpzX<2。因此， JX<2当且仅当CpzX<2。此外，任意的一致非方的Banach空间有不动点性质。所以如果Banach空间X中CpzX<2，那么X有不动点性质。
定理4Banach空间X满足CpzX<12p-11+1uX，那么X有正规结构。
证明：如果JX<2，那么X是自反的[9]。如果X是自反的，正规结构与弱正規结构一致。假如X不是弱正规结构，那么在X中存在有界序列xn，使得下面的式子成立[17]。
1）在X中xn弱收敛到0，
2）diamxn：n=1，2，…=1，
3）对于任意x∈convxn：n=1，2，…，limn→
SymboleB@ ‖x-xn‖=diamxn：n=1，2，…=1。
固定ε>0，并且ε充分小。用上面xn的性质和uXu=uX的定义，可以得到两个整数m，n，且m>n，满足
1）‖xn‖≥1-ε，
2）‖xm-xn‖≤1，
3）‖xm+xn‖≤u+ε，
4）‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖≥1+1u+ε1-ε，
5）‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖≥1+1u+ε‖xn‖-ε，
因为limsup
n→
SymboleB@ ‖xm+xn‖≤ulimsupn→
SymboleB@ ‖xm-xn‖对于条件2），当m足够大，则‖xm-xn‖≤u+ε，则3）得证。
下面证明4）和5），固定n∈N和定义u=uX。根据Mazur定理可以得到
1-1u+ε/1+1u+εxn∈convxk：k∈N（1）
因为当n→
SymboleB@ 时，xn弱收敛到0。根据Mazur定理0∈convxk：k∈N，因为（1）成立，所以假设X不具有正规结构，当m>n，有‖xm-1-1u+ε1+1u+ε‖≥1-ε 4）得证。同理5）成立。
令x=xm-xn，y=u+ε-1xm-xn，并且‖x‖≤1，‖y‖≤1，
‖x+y‖=‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖
≥1+1u+ε1-ε，
‖x-y‖=‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖
≥1+1u+ε‖xn‖-ε
≥1+1u+ε1-ε-ε，
根据CpzX的定义， CpzX≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p
≥1+1u+εp21-εp21+1u+ε1-ε-εp22p-11+1。
令ε→0+，故CpzX≥12p-11+1up，与假设矛盾，得证。
3结论
本文的主要结果是在Banach空间中引入广义C（p）z（X）常数的概念， 并在Banach空间中计算C（p）z（X）常数的上下界估计，介绍它与James常数之间的关系，并且把不动点性质与C（p）z（X）常数建立联系[18-21]。可以根据本文计算出广义C（p）z（X）在具体空间的值。
参 考 文 献：
[1]CUI Yunan， HUANG Wan， HUDZIK Henryk， et al Generalized Von NeumannJordan Constant and Its Relationship to the Fixed Point Property[J]. Fixed Point Theory and Applications， 2015：40
[2]JORDAN p， VON Neumann J On Inner Products in Linearmetric Spaces[J]. Ann Math 1935，36：719-723
[3]CLARKSON J A The Von NeumannJordan Constant for the Lebesgue Space[J]. Ann Math1937， 38： 114-115
[4]KATO M， MALIGRANDA L， TAKAHASHI Y On James and Jordanvon Neumann Contantsand the Normal Structure Coefficient of Banach spaces[J]. Stud Math， 2001， 144（3）： 275-295
[5]MIZUGUCHI H， SATIO K Some Geometric Constants of Absolute Normalized Norms on R2[J]. Ann Funct Anal， 2011（2）： 22-33
[6]ZUO Z An Application of Zbaganu Constant in Fixed Point Theory[J]. Acta Mathematica Vietnamica， 2012（37）： 71-77
[7]ZUO Z Some Fixed Point Property for Multivalued Nonexpansive Mappings in Banach Spaces[J]. Journal of Mathematical Inequalities， 2013（7）： 129-137
[8]GAO J， LAU K S On Two Classes Banach Spaces with Uniform Normal Structure[J]. Studia Math， 1991（99）：41-56
[9]MALIGRANDA L， PETROT N， SUANTAI S On the James Constant and Bconvexity of Cesaro and CesaroOrlicz Sequence Spaces[J]. Math Anal Appl， 2007，326（1）： 312-331
[10]ZBAGANU G An Inequality of MRadulescu and SRadulescu Which Characterizes Inner Product Spaces[J]. Rev Roumaine Math Puers Appl， 2001（47）：253-257
[11]YANG C Jordanvon Neumann Constant for BanasFraczek Space[J].Banach JMathAnal，2014， 8（2）： 185-192
[12]YANG C， WANG F On a New Geometric Constant Related to the Von NeumannJordan Constant[J]. J Math AnalAppl， 2006， 324（1）： 555-565
[13]JIMENEZMelado， A LLORENSFuster E The Fixed Point Property for Some Uniformly Nonsquare Banach Spaces[J].Boll Unione Mat Ital， 1996， 10（7）： 587-595
[14]KIRK W A A Fixed Point Theorem for Mappings Which Do not Increase Distances[J].Am Math Mon 1965， 72： 1004-1006
[15]GEOBEL K， KIRK W A Topics in Metric Fixed Point Theory[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1990
[16]TAKAHASHI Y， KATO M Von NeumannJordan Constant and Uniformly Nonsquare Banach Spaces[J]. Nihonkai Math J， 1998（9）：155-169
[17]KIRK W A， SIMS B Handbook of Metric Fixed Point Theory Kluwer Academic Dordrecht 2001
[18]JAMES R C Uniformaly Nonsquare Banach Spaces[J]. Ann Math， 1964， 80： 542-550
[19]崔云安，徐立威 Banach空間中的Zbaganu常數[J]. 哈尔滨理工大学数学、物理学、电子科学与技术学科第三届研究生论坛，2011
[20]DOMINGUEZ Benavides， T A Geometrical Coefficient Implying The Fixed Point Propeerty and Stability and Stability Reselts[J]. Houston J Math， 1996，22（44）： 835-849
[21]王丰辉 Banach 空间的模与常数及其在不动点的应用[D]. 新乡：河南师范大学，2006：5-8
（编辑：温泽宇）
关键词：广义Zbaganu常数；James常数；一致非方；不动点性质，正规结构
DOI：1015938/jjhust201705023
中图分类号： O1772
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）05-0126-04
Generalized Zbaganu Constant
CUI Yunan，ZHANG Meiling
（Department of Mathematics， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：A new geometric constant CpzX for a Banach space X is introduced ，called the generalized Zbaganu constant Next， it is shown that the upper and the lower bounds of the constant estimation for any Banach space X Moreover， it gives the equivalent conditions of X is uniformly nonsquare and that discusses the relationship between the James constant and CpzX Finally， the relationship between C（p）z（X） and the fixed point property is found
Keywords：the generalized Zbaganu constant； James constant； uniform nonsquareness； the fixed point property； normal structure
收稿日期： 2015-11-19
基金項目： 黑龙江省自然科学基金（A2015018）
作者简介：
崔云安（1961—），男，博士，教授，Email：cuiya@hrbusteducn
张美玲（1992—），女，硕士研究生
1预备知识
近年来，Banach空间X上有很多几何常数被广泛研究[1-9]。 尤其是Zbaganu常数CzX和James常数JX， 引起了广泛的关注。 根据CzX常数引入了新的几何常数，广义Zbaganu常数CpzX。 当p=2时，CpzX=CzX。并且CpzX常数在Banach空间上有很多好的性质可以被应用。
在本文中，以X表示Banach空间，用BX=x∈X：‖x‖≤1和SX=x∈X：‖x‖=1分别表示Banach空间X的单位球及单位球面。下面给出与本文相关的定义以及定理。
定义1CZ（X）[10]常数定义为：
CzX=sup‖x+y‖‖x-y‖‖x‖2+‖y‖2：x，y∈X，x，y≠0，0。
定义2我们将其推广成CpzX，定义为：
CpzX=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0。
将CpzX参数化（文[11]和[12]），则
CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1。
定义3James常数定义为：
JX=supmin‖x+y‖，‖x-y‖：x，y∈SX。
定义4在Banach空间中，弱正交系数定义如下：
w（X）=supr>0：limsupn→
SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→
SymboleB@ ‖x-xn‖，
xnX，xnw0，x∈X
定义5[13]在Banach空间中，定义w（X）的倒数如下：
uX=infr>0：limsupn→
SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→
SymboleB@ ‖x-xn‖，
xnX，xnw0，x∈X。
定义6X称为具有正规结构（弱正规结构），若X的每个直径大于0的有界闭凸子集（弱紧凸子集）C至少包含一个非直径点，即任意x∈C，
sup‖y-x‖：y∈C=diamC=sup‖y-z‖：y，z∈C。
Banach空间X有弱正规结构（正规结构）则X具有弱不动点性质（不动点性质）[14-15]。
2主要结果
定理1当1≤p<
SymboleB@ 时，Banach空间X上的广义Zbaganu常数CpzX满足不等式12p-2≤CpzX≤2。
证明：1）令x=αy，
CpzX
=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0
≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p
=1+αp21-ap22p-21+αp 当α→0+时，CpzX≥12p-2。
2）CpzX
=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1
≤sup‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp：x，y∈SX，0≤t≤1
因为‖x+ty‖p+‖x-ty‖p≤‖x‖+t‖y‖p+‖x‖+t‖y‖p
=2‖x‖+t‖y‖p
=21+tp
所以‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp≤21+tp2p-11+tp。
应用φu=u的凸性，得到
1+tp=2·1+t2p=2p1+t2p≤2p1+tp2=2p-11+tp。
所以‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-2（1+tp）≤2·2p-1（1+tp）2p-1（1+tp）=2， 因此
CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1≤2。
定理2Banach空间X， 当1≤p<
SymboleB@ 时，JX≤2p-1ppCpzX。
证明：当1≤p<
SymboleB@ ，任意x，y∈SX，
min‖x+y‖，‖x-y‖p≤‖x+y‖‖x-y‖p
=2p-2‖x‖p+‖y‖pCpzX
=2p-1CpzX
所以min‖x+y‖，‖x-y‖≤2p-1ppCpzX。所以JX≤2p-1ppCpzX。
引理1[16]当1
根据定理2与引理1，可以得到下面的定理。
定理3当1≤p<
SymboleB@ ，Banach空间X是一致非方当且仅当CpzX<2。
证明：1）必要性根据定理2显然得证。
2）充分性
i）当p=1时，
min‖x+y‖，‖x-y‖≤‖x+y‖‖x-y‖
所以JX≤C1zX，對于任意x，y∈SX。由已知得C1zX<2，则JX<2，得证。
ii） 当1
2‖x+y‖p2‖x-y‖p2≤‖x+y‖p+‖x-y‖p
则‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-1≤‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2
所以‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p≤2-δ，得证。
根据定理2，3。得到下面的推论。
推论1对于任意的1≤p<
SymboleB@ ，Banach空间X上的不等式CpzX<2和JX<2是等价的。 此外， 如果Banach空间X满足CpzX<2，那么X有不动点性质。
证明：如果Banach空间X是一致非方当且仅当JX<2。根据定理3，如果Banach空间X是一致非方当且仅当CpzX<2。因此， JX<2当且仅当CpzX<2。此外，任意的一致非方的Banach空间有不动点性质。所以如果Banach空间X中CpzX<2，那么X有不动点性质。
定理4Banach空间X满足CpzX<12p-11+1uX，那么X有正规结构。
证明：如果JX<2，那么X是自反的[9]。如果X是自反的，正规结构与弱正規结构一致。假如X不是弱正规结构，那么在X中存在有界序列xn，使得下面的式子成立[17]。
1）在X中xn弱收敛到0，
2）diamxn：n=1，2，…=1，
3）对于任意x∈convxn：n=1，2，…，limn→
SymboleB@ ‖x-xn‖=diamxn：n=1，2，…=1。
固定ε>0，并且ε充分小。用上面xn的性质和uXu=uX的定义，可以得到两个整数m，n，且m>n，满足
1）‖xn‖≥1-ε，
2）‖xm-xn‖≤1，
3）‖xm+xn‖≤u+ε，
4）‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖≥1+1u+ε1-ε，
5）‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖≥1+1u+ε‖xn‖-ε，
因为limsup
n→
SymboleB@ ‖xm+xn‖≤ulimsupn→
SymboleB@ ‖xm-xn‖对于条件2），当m足够大，则‖xm-xn‖≤u+ε，则3）得证。
下面证明4）和5），固定n∈N和定义u=uX。根据Mazur定理可以得到
1-1u+ε/1+1u+εxn∈convxk：k∈N（1）
因为当n→
SymboleB@ 时，xn弱收敛到0。根据Mazur定理0∈convxk：k∈N，因为（1）成立，所以假设X不具有正规结构，当m>n，有‖xm-1-1u+ε1+1u+ε‖≥1-ε 4）得证。同理5）成立。
令x=xm-xn，y=u+ε-1xm-xn，并且‖x‖≤1，‖y‖≤1，
‖x+y‖=‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖
≥1+1u+ε1-ε，
‖x-y‖=‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖
≥1+1u+ε‖xn‖-ε
≥1+1u+ε1-ε-ε，
根据CpzX的定义， CpzX≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p
≥1+1u+εp21-εp21+1u+ε1-ε-εp22p-11+1。
令ε→0+，故CpzX≥12p-11+1up，与假设矛盾，得证。
3结论
本文的主要结果是在Banach空间中引入广义C（p）z（X）常数的概念， 并在Banach空间中计算C（p）z（X）常数的上下界估计，介绍它与James常数之间的关系，并且把不动点性质与C（p）z（X）常数建立联系[18-21]。可以根据本文计算出广义C（p）z（X）在具体空间的值。
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（编辑：温泽宇）