【摘要】随着社会科学的不断发展，社会竞争越来越激烈，随之而来知识是每个人不可或缺的东西，每个人都为了生活得更好不断地追求更高的东西，然而数学知识在人们生活中的运用也是越来越广泛，俗话说：生活离不开数学，数学也离不开生活.在学习了随机变量之后，我们发现随机变量存在于生活的每一个角落，对我们的生活尤其有用.然而随机变量自身也有n多种变换法则，今天我们就来探讨其中的一种变换法则，也就是随机变量的Laplace变换，Laplace变换也存在于学科的很多地方，比如解微积分方程、函数或者是概率密度，再者还有物理学科中的运用，今天让我们共同来了解一下关于随机变量的Laplace变换.
　　【关键词】随机变量；Laplace变换
　　
　　一、随机变量
　　随机变量函数的分布是数理统计课程和概率论教学中的一个重点也是一个难点，所以这部分是最复杂也是容易使学生出错的地方，而且相对计算量较大，因此我们要细心对待每一步计算过程，首先我们要搞清楚随机变量的分类情况，随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种，根据不同的分类，我们用不同的公式方法进行解答，这样会节省很多计算量.
　　1.离散型随机变量
　　这类题型一般是先已知X的分布率，再求Y的分布率，对于离散型随机变量函数的分布的求法一般是通过点对点的方法，这类题型学生会比较容易掌握，只要细心不把点与点的对应搞错，再套上公式就可以了.对于离散型随机变量X，Y，设X的状态空间为S1={x1，x2，…，xi，…}，Y的状态空间为S2={y1，y2，…，yi，…}，由于y∈S2，i=1，2，…，(Y=y)，(X=xi)∈F，故有P(Y=y)=∑iP(X=xi)(Y=y/X=xi).
　　2.连续型随机变量函数
　　这类函数一般要求我们分步计算，一段一段求解，比离散型随机变量的解法相对麻烦一些.对于连续型随机变量的公式，我们一般设对于任意的D包含于R，则有公式P(X∈D)=∫+∞-∞P(X∈D/Y=y)dFY(y).
　　二、Laplace变换
　　Laplace变换又称拉普拉斯变换，是求解常微分线性方程以及随机变量函数常用的一种数学工具，是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.如果运用拉普拉斯变换做一个实变量函数，并在复数域中做各种运算，再将运算结果做拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.在求解线性微分方程时，拉普拉斯变换的这种运算方法格外有效，可以把微分方程化为容易求解的代数方程来解答，从而使计算简化，这样我们就减少了很多计算量.
　　1.Laplace变换的定义
　　设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分∫+∞0f(t)e-stdt（s是一个复参数），在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写成为：F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt，我们称此式为函数f(t)的Laplace变换式.记为F(s)=Ψ［f(t)］，F(s)称为f(t)的Laplace变换（或称为象函数）.
　　若F(s)称为f(t)的Laplace变换，则称f(t)称为F(s)的Laplace逆变换（或称为象原函数）.
　　2.Laplace变换的应用
　　（1）利用拉普拉斯变换的卷积性质求解概率密度
　　卷积定义 设f1(t)，f2(t)在（-∞，+∞）上有定义，若广义积分∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dτ收敛，则称此积分为f1(t)，f2(t)在（-∞，+∞）上的卷积，记为f1(t)*f2(t).
　　引理 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度为fX(x)，fY(y)，则随机变量Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=f1(t)*f2(t)=∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dτ.
　　（2）利用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题
　　应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程，其求解方法大致为以下三个步骤:
　　①对原微分方程两端取拉普拉斯变换，同时结合其初始条件，将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程；
　　②求解象函数满足的代数方程，得到象函数；
　　③对求得的象函数做拉氏逆变换，求得原微分方程的解.
　　三、随机变量的Laplace变换
　　强偏差又称小偏差定理，它是借助于似然比而引进的一种度量，进而建立的一种新型定理.在1989年第一次用分析法得到的一类随机变量序列的强偏差定理，之后又把分析法结合母函数和矩母函数的方法研究了离散型随机变量，从而得到强偏差定理，在证明中我们提出了将Laplace变换这个工具应用到极限研究的一种途径.主要有以下几个定义及定理：
　　定义1 设{dn(w)，n≥1}是一列正值随机变量，满足条件dn(w)↑∞a，e，rn(w).由上定义，令r(w)=limsuprn(w)/dn(w)，dn(w)称为关于{dn(w)，n≥1}的极限相对对数似然比，于是dn(w)就是关于n的极限相对对数的似然比.
　　定义2 设xk的条件Laplace变换为
　　fk(s；x1，…，xk-1)=E(e-sXk/x1，…，Xk-1=xk-1)=∫∞0e-sxkfk(xk/x1，…，xk-1)dxk.
　　定义3 连续型随机变量xk的条件期望为
　　E（xk/X1=x1，…，Xk-1=xk-1)=∫∞0xkfk(xk/x1，…，xk-1)dxk，记为mk.
　　总之，在随机变量中Laplace变换也可以把复杂的函数运算化为简单的代数运算，拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论，它在应用数学中占有很重要的地位.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文