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一、与平面向量的交汇
例1 在△ABC中，若
（BC+AC）·（ＢC-AC）
BC2+AC2
=sin（A-B）sin（A+B）
，试判断△ABC的形状.
思路：将向量关系向三角形的边角关系转化.
解析：
（BC+AC）·（BC-AC）
BC2+AC2
=sin（A-B）sin（A+B）就是
a2-b2a2+b2=sin(A-B)
sin(A+B)(a2-b2)sin(A+B)-(a2+b2)sin(A-B)=0
a2［sin(A+B)-sin(A-B)］
-b2［sin(A+B)+sin(A-B)］=02a2cosAsinB-2b2sinAcosB=0
a2b2
=sinAcosBcosAsinB
sinAcosB=cosBcosA
sin2A=sin2B2A+2B=π或2A=2BA+B=π2
或A=B.
故△ABC是直角三角形或等腰三角形.
例2 在△ABC中，(BC·CA
)∶(CA·AB)∶
(AB∶BC）＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状.
思路：
将向量的数量积向三角形的边角关系转化.
解析：
设BC·CA=k,CA·AB
=2k,AB·BC=3k,令|BC|
=
a,|CA|=b,|AB|=c.
因为BC·CA=
|BC|·|CA|·cos(π-C)=-abcosC.
由余弦定理得abcosC=12(a2+b2-c2),
所以a2+b2-c2=-2k.
同理可得，
b2+c2-a2=-4k,c2+a2-b2=-6k.
三式联立解得，c2=-5k,b2=-3k,a2=
-4k,显然k<0.
所以c=-5k,b=-3k,a=-4k,a
∶b∶c=2∶3
∶5.
因此最大角的余弦为cosC=
-4k-3k+5k2×-4k×-3k
=36>0,最大角C为锐角，故△ABC是不等边的锐角三角形.
二、与立体几何的交汇
例3 如图1是一块正方体的橡皮，用刀任意切去一个角，截点A、B、C分别在从O出发的三条棱上，试判断截面三角形ABC的形状.
思路：利用正方体棱的垂直关系表示三角形ABC的三边，再运用余弦定理.
解析：如图2，这个问题可以转化为：“在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，判断三角形ABC的形状”问题.
设OA=a,OB=b,OC=c,则AB=a2+b2,BC=
b2+c2,CA=
c2+a2.
在△ABC中，由余弦定理有
cosA=
CA2+AB2-BC22CA·AB
=
c2+a2+a2+b2-b2-c2
2c2+a2·a2+b2
=
a2c2+a2·a2+b2
>0.
同理可得，cosB>0,cosC>0.因此△ABC是锐角三角形.
三、与数列的交汇
例4 △ABC中，∠A>∠B>∠C,且三边长成公差为1的等差数列，为三个连续的正整数，a=2cosC,试判断△ABC的形状.
思路：
利用等差数列关系和余弦定理确定三边长.
解析：
因为∠A>∠B>∠C,所以设a=x+1,b=x,c=x-1.由余弦定理的变式cosC=
a2+b2-c22ab得
cosC=
(x+1)2+x2-(x-1)22x(x+1)
=4+x2x+2.
而a=2ccosC,所以x+1=2(x-1)·4+x2x+2
x=5.因此a=6,b=5,c=4.
于是cosA=b2+c2-a22bc
=25+16-362×5×4>0,A为锐角，而A>B>C,
因此△ABC是锐角三角形.
四、与导数的交汇
例5 设a、b、c是△ABC的三边，过抛物线f(x)=ax2+cx+1上一点P（12，y0 )的切线斜率为2b,又对于函数g(x)=lnx有，g′(ba
)=g′(cb),试判断△ABC的形状.
思路：
利用导数的几何意义和幂函数、对数函数的求导法则获得a、b、c之间的关系.
解析：因为f ′(x)=2ax+c,所以f ′(12)=2a
·12+c=2b,即2b=a+c.
又因为g′(x)=1x,g
′(ba)=g′(cb),所以ab
=bc,即b2=ac.
将b=a+c2代入b2=ac得，(a+c)24
=ac
(a-c)2=0a=c.
再将a=c代入b=a+c2得，b=c=a,即△ABC是等边三角形.
以上介绍了“判断三角形形状问题”的四大新题型，解题的关键在于灵活运用正余弦定理及其变式、三角函数的运算、向量的运算以及与之相关的横向知识.近几年的高考在不断加大对这种问题的考查力度，复习中不容忽视.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例1 在△ABC中，若
（BC+AC）·（ＢC-AC）
BC2+AC2
=sin（A-B）sin（A+B）
，试判断△ABC的形状.
思路：将向量关系向三角形的边角关系转化.
解析：
（BC+AC）·（BC-AC）
BC2+AC2
=sin（A-B）sin（A+B）就是
a2-b2a2+b2=sin(A-B)
sin(A+B)(a2-b2)sin(A+B)-(a2+b2)sin(A-B)=0
a2［sin(A+B)-sin(A-B)］
-b2［sin(A+B)+sin(A-B)］=02a2cosAsinB-2b2sinAcosB=0
a2b2
=sinAcosBcosAsinB
sinAcosB=cosBcosA
sin2A=sin2B2A+2B=π或2A=2BA+B=π2
或A=B.
故△ABC是直角三角形或等腰三角形.
例2 在△ABC中，(BC·CA
)∶(CA·AB)∶
(AB∶BC）＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状.
思路：
将向量的数量积向三角形的边角关系转化.
解析：
设BC·CA=k,CA·AB
=2k,AB·BC=3k,令|BC|
=
a,|CA|=b,|AB|=c.
因为BC·CA=
|BC|·|CA|·cos(π-C)=-abcosC.
由余弦定理得abcosC=12(a2+b2-c2),
所以a2+b2-c2=-2k.
同理可得，
b2+c2-a2=-4k,c2+a2-b2=-6k.
三式联立解得，c2=-5k,b2=-3k,a2=
-4k,显然k<0.
所以c=-5k,b=-3k,a=-4k,a
∶b∶c=2∶3
∶5.
因此最大角的余弦为cosC=
-4k-3k+5k2×-4k×-3k
=36>0,最大角C为锐角，故△ABC是不等边的锐角三角形.
二、与立体几何的交汇
例3 如图1是一块正方体的橡皮，用刀任意切去一个角，截点A、B、C分别在从O出发的三条棱上，试判断截面三角形ABC的形状.
思路：利用正方体棱的垂直关系表示三角形ABC的三边，再运用余弦定理.
解析：如图2，这个问题可以转化为：“在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，判断三角形ABC的形状”问题.
设OA=a,OB=b,OC=c,则AB=a2+b2,BC=
b2+c2,CA=
c2+a2.
在△ABC中，由余弦定理有
cosA=
CA2+AB2-BC22CA·AB
=
c2+a2+a2+b2-b2-c2
2c2+a2·a2+b2
=
a2c2+a2·a2+b2
>0.
同理可得，cosB>0,cosC>0.因此△ABC是锐角三角形.
三、与数列的交汇
例4 △ABC中，∠A>∠B>∠C,且三边长成公差为1的等差数列，为三个连续的正整数，a=2cosC,试判断△ABC的形状.
思路：
利用等差数列关系和余弦定理确定三边长.
解析：
因为∠A>∠B>∠C,所以设a=x+1,b=x,c=x-1.由余弦定理的变式cosC=
a2+b2-c22ab得
cosC=
(x+1)2+x2-(x-1)22x(x+1)
=4+x2x+2.
而a=2ccosC,所以x+1=2(x-1)·4+x2x+2
x=5.因此a=6,b=5,c=4.
于是cosA=b2+c2-a22bc
=25+16-362×5×4>0,A为锐角，而A>B>C,
因此△ABC是锐角三角形.
四、与导数的交汇
例5 设a、b、c是△ABC的三边，过抛物线f(x)=ax2+cx+1上一点P（12，y0 )的切线斜率为2b,又对于函数g(x)=lnx有，g′(ba
)=g′(cb),试判断△ABC的形状.
思路：
利用导数的几何意义和幂函数、对数函数的求导法则获得a、b、c之间的关系.
解析：因为f ′(x)=2ax+c,所以f ′(12)=2a
·12+c=2b,即2b=a+c.
又因为g′(x)=1x,g
′(ba)=g′(cb),所以ab
=bc,即b2=ac.
将b=a+c2代入b2=ac得，(a+c)24
=ac
(a-c)2=0a=c.
再将a=c代入b=a+c2得，b=c=a,即△ABC是等边三角形.
以上介绍了“判断三角形形状问题”的四大新题型，解题的关键在于灵活运用正余弦定理及其变式、三角函数的运算、向量的运算以及与之相关的横向知识.近几年的高考在不断加大对这种问题的考查力度，复习中不容忽视.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文