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【摘要】通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，而许多储油罐会由于地基变形发生罐体位置纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变，影响了油站对于油料的有效监控.结合CUMCM 2012年A题给出的实例，本文分析了在不同变位，情况下储油罐内实际油料体积与显示油高的关系，建立了储油罐变位参数、显示油高和实际油料体积之间的函数关系.通过罐内油料体积实测数据修正了原模型，并利用改进后的模型进行变位识别和罐容表标定.
【关键词】罐容表标定；变位；目标规划；体积模型
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计分别测量进/出油量与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐会由于地基变形发生罐体位置纵向倾斜和横向偏转等变化，即变位.从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定，而目前尚无科学有效的方法，故此问题对于油站具有重要的研究价值.先考虑如下一个实例，尝试建立数学模型研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的如下问题：
1.为了掌握罐体变位对罐容表的影响，利用椭圆柱型储油罐，分别给出罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两种情况下的实验数据，建立数学模型研究罐体变位对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值.
2.对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，并利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10 cm的罐容表标定值，进一步利用实际检測数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性.
二、问题分析
求解体积的思路为建立积分式，首先需要准确地选取体积微元.考虑垂直于罐底的切面选取体积微元，则其形状在实际油罐体中均为椭圆或圆的一部分，解简单方便.在积分时需要特别注意变位对积分上下限的影响.以大油罐为例，考虑利用解析几何相关知识确定出计算每一体积微元底面积时的积分上限.对于变位，首先考虑纵向倾斜，再考虑罐体横向偏转时，其只会对测量高度值产生影响，而不会影响油在罐体内的分布情况，因此只需要将测量高度值转化成此时油位探针处真实的油高值即可.
三、模型假设
1.油罐规格的测量数据均由在油罐内测量取得，并且误差很小.
2.实验测量数据较为准确可靠.
四、符号与变量说明
h：某时刻测量油高，S：油平面面积，α：纵向倾斜角度，β：横向偏转角度， l0：油浮子到柱体近端距离，L：容器柱体部分长度.
五、模型的建立与求解
将椭圆柱体油罐和带有球冠体的大油罐分开分析.对于椭圆柱体，建立其测量高度与实际油体积间的方程，求解出与问题中附件给出高度相应高度的理论体积之后，运用回归分析方法探索差值规律，修正体积模型后解决罐容表标定.对于大油罐，建立变位情况下的油体积模型后，建立目标规划模型寻求最佳的变位参数，并标定此时的罐容表.
（一）对椭圆柱体的分析
1.无变位时，平行于柱体侧面纵向截取体积微元.将体积微元抽象于标准坐标系中，a为侧面椭圆的长半轴，b为侧面椭圆的短半轴，h为油高.
则在坐标系下，侧面椭圆方程易知，当参数a=0.89 m，b=0.6 m，可知当x>0时，x（y）=abb2-y2，此时体积微元的面积为
S=∫h02x（y）dy=2aLb∫h-b-bb2-y2dy（1）
对体积微元进行积分，解得油料体积与显示油高间的关系：
V=2aLb∫L0∫h-b-bb2-h2dhdx=arccos1-hb-1-hb2hb-hb2abL（2）
将椭圆柱油罐的实验采集数据表中进油的各测量高度代入式（2），即可得出对应高度的理论体积值，即罐容表.
2.纵向倾斜时，同样只需要知道微元位置处的油面高度，即可通过式（1）算出该微元的侧面积；而由于罐体纵向倾斜，各体积微元h不再相同.将小椭圆储油罐的立体图抽象到坐标系中，求解纵向倾斜时的h值.直线yx代表油平面，2b是侧面椭圆的长轴，l是柱体的长，l0是油浮子和相近侧面的距离.
则油浮子坐标为l0，h，由点斜式得
y=yx=-tanαx-l0 h（3）
而体积微元dVx=Sbydx，可得体积微元的表达式为
V=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γb1-γb2 arcsinγbabdx（4）
其中γ=-tanα（x-l0） h-b.
3.下面进行理论与实际值误差的分析.
上文已由微积分的知识推导出两种情况下的油体积公式，即为体积的理论值.将累加的进油量加上初始油值作为实际值.发现理论与实际的油体积值会有一定差距.接下来对不同位置的椭圆柱油罐的油体积公式做差值分析.
下面进行无变位时的差值分析，建立的多项式回归的模型通过Matlab检验回归模型显著，采用一元三次多项式进行拟合，结果如下：
ΔV=-82.64h3 148.15h2 59.54h-1.8545
同理可以求得纵向倾斜时的误差.
（二）实际储油罐内油体积的计算模型
实际储油罐的形状分为圆柱体和球冠面两部分，分开讨论.且因难于确定罐体的变位情况，先将纵向倾斜和横向偏转分开讨论，再解决它们同时存在的情况.
1.圆柱体部分油体积公式 （1）仅有纵向倾斜时
因为圆柱实际上侧面椭圆的长短半轴相等的是椭圆柱，故仅有纵向倾斜时的圆柱体部分油体积公式为椭圆柱油体积公式的特殊情况，设圆柱径为R0，则令式（6）中的a=b=R0，即可得到圆柱体油体积公式积分公式
V=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γR01-（γR0）2 arcsinγR0R0dx（5）
（2）仅有横向偏转时
仅有横向偏转时，体积微元和无偏转时的椭圆柱体情况类似.但此时实际油面高度不再等于测量高度，需要找到其中的转化关系.横向偏转角度为β，实际油面高度为h′.由图1中的几何关系可知：h′=R0 h-R0cosβ，代入式（2）中，即可得到仅有横向偏转时圆柱体内油体积公式：
（3）同时存在纵向倾斜和横向偏移时
可把整个变位看作是个动态的过程，先有纵向倾斜，此时油体积与测量高度的关系已知.再作横向偏移，由于圆的对称性，每个平行于圆柱体侧面的微元形状和面积与偏移前完全相同，因此计算方法也不变，只是此时的测量高度不再是其测量位置的实际油高，而需要通过式（5）将测量高度转化为实际高度.再将h′作h代入式（5），则同时存在两种变位时的油体积积分公式为
V1=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γR01-γR02 arcsinγR0R0dx
其中γ=-tanα（x-l0） h′-b.
2.球冠体部分油体积公式
（1）无变位时的油体积公式
将球冠体的立体图抽象于如图2的坐标系中，O为球冠体底面圆心，y轴与球冠体的底重合，x轴与圆柱体的母线平行.ξ为体积微元的球冠体底面处的油高，c为球冠体的高，d为球冠体的底面半径.
设球冠体半径为R，油面所截小圆的半径为r=R2-e2，e=d-ξ.由几何关系可得球冠体内体积微元的面积为S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ.
其中θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-e2=arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2， f=d2-e2.（6）
其中dξ为厚度微元，而体积微元 dV（ξ）=S（ξ）dξ，则无变位时油体积为
V=∫h0S（ξ）dξ=∫h0r2arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2-rfcosθdξ（7）
（2）有变位时的油体积公式
首先考虑求解面积微元截面的小圆半径.球冠体及部分柱体的剖面示意图如图2，图中圆为球冠体所在球的垂直于水平面的大圆，O′为其圆心，O″为体积微元所在小圆圆心.原点O在柱体母线和球冠体底面的交点，y轴与球冠体的底重合，x轴与圆柱体的母线平行.
由图2中的几何关系可得体积微元所在小圆半径为：
r（ξ）=R2-e2，其中 t1=ξ-dtanα，t2=R-c-t1，e=t2sinα.
最终得到的纵向倾斜时体积微元的底面积为：
S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ，θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-d-ξ2
由于纵向倾斜，微元厚度应是cosαdξ.设R0为侧面圆半径，测量高度h与实际高度h′之间的关系为h′=R0 h-R0cosβ.由几何关系可知：
h21=h′ l1tanα，h22=h′-l-l1tanα
则V21h=∫h210S（ξ）cosαdξ，V22h=V0-∫2b-h220S（ξ）cosαdξ（8）
最后，储油罐内油料体积V的为各部分之和，即V=V1 V21 V22.
（三）确定大油罐变位参数α和β的目标规划模型
结合大油罐进出油实验数据，将理论计算值和实际值之差的差最小作为目标，建立目标规划模型.
实测部分数据参见CUMCM 2010A题附件，i代表流水号，Vhi代表油高hi对应的理论油体积值，ΔV′i为i流水号对应的实际出油量.以理论出油量和实际出油量的差最小为目标，容量N=502，建立优化模型为：
min∑Ni=1ε2i，εi=ΔVi-ΔV′i（9）
采用遍历搜索法，MATLAB运行结果为（α，β）的最优取值为（2.1°，4.0°）.
将变位参数代入油体积公式，利用复化辛普森公式计算各刻度值对应的数值解.
（四）模型的检验
在对罐容表进行标定时，只使用了部分数据，可将剩余的数据用作罐容表标定方法的检验.所得模型误差的均值Eεi=3.402，Dεi=10.295，可知罐容表标定方法的系统误差并不大，较为准确.
【参考文献】
[1]付叔林.倾斜油罐容量的计算[J].黑龙江八一农垦大学，1981（2）：43-52.
[2]李志荣.橢圆柱形卧式油罐的计算[J].应用与研究，2004：17-26.
[3]高教社杯全国大学生数学建模竞赛，CUMCM 2010A题.
【关键词】罐容表标定；变位；目标规划；体积模型
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计分别测量进/出油量与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐会由于地基变形发生罐体位置纵向倾斜和横向偏转等变化，即变位.从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定，而目前尚无科学有效的方法，故此问题对于油站具有重要的研究价值.先考虑如下一个实例，尝试建立数学模型研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的如下问题：
1.为了掌握罐体变位对罐容表的影响，利用椭圆柱型储油罐，分别给出罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两种情况下的实验数据，建立数学模型研究罐体变位对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值.
2.对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，并利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10 cm的罐容表标定值，进一步利用实际检測数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性.
二、问题分析
求解体积的思路为建立积分式，首先需要准确地选取体积微元.考虑垂直于罐底的切面选取体积微元，则其形状在实际油罐体中均为椭圆或圆的一部分，解简单方便.在积分时需要特别注意变位对积分上下限的影响.以大油罐为例，考虑利用解析几何相关知识确定出计算每一体积微元底面积时的积分上限.对于变位，首先考虑纵向倾斜，再考虑罐体横向偏转时，其只会对测量高度值产生影响，而不会影响油在罐体内的分布情况，因此只需要将测量高度值转化成此时油位探针处真实的油高值即可.
三、模型假设
1.油罐规格的测量数据均由在油罐内测量取得，并且误差很小.
2.实验测量数据较为准确可靠.
四、符号与变量说明
h：某时刻测量油高，S：油平面面积，α：纵向倾斜角度，β：横向偏转角度， l0：油浮子到柱体近端距离，L：容器柱体部分长度.
五、模型的建立与求解
将椭圆柱体油罐和带有球冠体的大油罐分开分析.对于椭圆柱体，建立其测量高度与实际油体积间的方程，求解出与问题中附件给出高度相应高度的理论体积之后，运用回归分析方法探索差值规律，修正体积模型后解决罐容表标定.对于大油罐，建立变位情况下的油体积模型后，建立目标规划模型寻求最佳的变位参数，并标定此时的罐容表.
（一）对椭圆柱体的分析
1.无变位时，平行于柱体侧面纵向截取体积微元.将体积微元抽象于标准坐标系中，a为侧面椭圆的长半轴，b为侧面椭圆的短半轴，h为油高.
则在坐标系下，侧面椭圆方程易知，当参数a=0.89 m，b=0.6 m，可知当x>0时，x（y）=abb2-y2，此时体积微元的面积为
S=∫h02x（y）dy=2aLb∫h-b-bb2-y2dy（1）
对体积微元进行积分，解得油料体积与显示油高间的关系：
V=2aLb∫L0∫h-b-bb2-h2dhdx=arccos1-hb-1-hb2hb-hb2abL（2）
将椭圆柱油罐的实验采集数据表中进油的各测量高度代入式（2），即可得出对应高度的理论体积值，即罐容表.
2.纵向倾斜时，同样只需要知道微元位置处的油面高度，即可通过式（1）算出该微元的侧面积；而由于罐体纵向倾斜，各体积微元h不再相同.将小椭圆储油罐的立体图抽象到坐标系中，求解纵向倾斜时的h值.直线yx代表油平面，2b是侧面椭圆的长轴，l是柱体的长，l0是油浮子和相近侧面的距离.
则油浮子坐标为l0，h，由点斜式得
y=yx=-tanαx-l0 h（3）
而体积微元dVx=Sbydx，可得体积微元的表达式为
V=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γb1-γb2 arcsinγbabdx（4）
其中γ=-tanα（x-l0） h-b.
3.下面进行理论与实际值误差的分析.
上文已由微积分的知识推导出两种情况下的油体积公式，即为体积的理论值.将累加的进油量加上初始油值作为实际值.发现理论与实际的油体积值会有一定差距.接下来对不同位置的椭圆柱油罐的油体积公式做差值分析.
下面进行无变位时的差值分析，建立的多项式回归的模型通过Matlab检验回归模型显著，采用一元三次多项式进行拟合，结果如下：
ΔV=-82.64h3 148.15h2 59.54h-1.8545
同理可以求得纵向倾斜时的误差.
（二）实际储油罐内油体积的计算模型
实际储油罐的形状分为圆柱体和球冠面两部分，分开讨论.且因难于确定罐体的变位情况，先将纵向倾斜和横向偏转分开讨论，再解决它们同时存在的情况.
1.圆柱体部分油体积公式 （1）仅有纵向倾斜时
因为圆柱实际上侧面椭圆的长短半轴相等的是椭圆柱，故仅有纵向倾斜时的圆柱体部分油体积公式为椭圆柱油体积公式的特殊情况，设圆柱径为R0，则令式（6）中的a=b=R0，即可得到圆柱体油体积公式积分公式
V=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γR01-（γR0）2 arcsinγR0R0dx（5）
（2）仅有横向偏转时
仅有横向偏转时，体积微元和无偏转时的椭圆柱体情况类似.但此时实际油面高度不再等于测量高度，需要找到其中的转化关系.横向偏转角度为β，实际油面高度为h′.由图1中的几何关系可知：h′=R0 h-R0cosβ，代入式（2）中，即可得到仅有横向偏转时圆柱体内油体积公式：
（3）同时存在纵向倾斜和横向偏移时
可把整个变位看作是个动态的过程，先有纵向倾斜，此时油体积与测量高度的关系已知.再作横向偏移，由于圆的对称性，每个平行于圆柱体侧面的微元形状和面积与偏移前完全相同，因此计算方法也不变，只是此时的测量高度不再是其测量位置的实际油高，而需要通过式（5）将测量高度转化为实际高度.再将h′作h代入式（5），则同时存在两种变位时的油体积积分公式为
V1=∫L0S（x）dx=∫L0π2 γR01-γR02 arcsinγR0R0dx
其中γ=-tanα（x-l0） h′-b.
2.球冠体部分油体积公式
（1）无变位时的油体积公式
将球冠体的立体图抽象于如图2的坐标系中，O为球冠体底面圆心，y轴与球冠体的底重合，x轴与圆柱体的母线平行.ξ为体积微元的球冠体底面处的油高，c为球冠体的高，d为球冠体的底面半径.
设球冠体半径为R，油面所截小圆的半径为r=R2-e2，e=d-ξ.由几何关系可得球冠体内体积微元的面积为S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ.
其中θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-e2=arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2， f=d2-e2.（6）
其中dξ为厚度微元，而体积微元 dV（ξ）=S（ξ）dξ，则无变位时油体积为
V=∫h0S（ξ）dξ=∫h0r2arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2-rfcosθdξ（7）
（2）有变位时的油体积公式
首先考虑求解面积微元截面的小圆半径.球冠体及部分柱体的剖面示意图如图2，图中圆为球冠体所在球的垂直于水平面的大圆，O′为其圆心，O″为体积微元所在小圆圆心.原点O在柱体母线和球冠体底面的交点，y轴与球冠体的底重合，x轴与圆柱体的母线平行.
由图2中的几何关系可得体积微元所在小圆半径为：
r（ξ）=R2-e2，其中 t1=ξ-dtanα，t2=R-c-t1，e=t2sinα.
最终得到的纵向倾斜时体积微元的底面积为：
S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ，θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-d-ξ2
由于纵向倾斜，微元厚度应是cosαdξ.设R0为侧面圆半径，测量高度h与实际高度h′之间的关系为h′=R0 h-R0cosβ.由几何关系可知：
h21=h′ l1tanα，h22=h′-l-l1tanα
则V21h=∫h210S（ξ）cosαdξ，V22h=V0-∫2b-h220S（ξ）cosαdξ（8）
最后，储油罐内油料体积V的为各部分之和，即V=V1 V21 V22.
（三）确定大油罐变位参数α和β的目标规划模型
结合大油罐进出油实验数据，将理论计算值和实际值之差的差最小作为目标，建立目标规划模型.
实测部分数据参见CUMCM 2010A题附件，i代表流水号，Vhi代表油高hi对应的理论油体积值，ΔV′i为i流水号对应的实际出油量.以理论出油量和实际出油量的差最小为目标，容量N=502，建立优化模型为：
min∑Ni=1ε2i，εi=ΔVi-ΔV′i（9）
采用遍历搜索法，MATLAB运行结果为（α，β）的最优取值为（2.1°，4.0°）.
将变位参数代入油体积公式，利用复化辛普森公式计算各刻度值对应的数值解.
（四）模型的检验
在对罐容表进行标定时，只使用了部分数据，可将剩余的数据用作罐容表标定方法的检验.所得模型误差的均值Eεi=3.402，Dεi=10.295，可知罐容表标定方法的系统误差并不大，较为准确.
【参考文献】
[1]付叔林.倾斜油罐容量的计算[J].黑龙江八一农垦大学，1981（2）：43-52.
[2]李志荣.橢圆柱形卧式油罐的计算[J].应用与研究，2004：17-26.
[3]高教社杯全国大学生数学建模竞赛，CUMCM 2010A题.