线段公理（两点间线段最短）在平面几何中的应用是众所周知的.本文仅谈一谈它在研究和解决代数问题中的应用.
　　请看一个解析几何问题.设A（a，b），B（c，d）是坐标平面上的两点，其中b>0，d>0.试在x轴上找一点，使它到A，B两点的距离的和最小；或到A，B两点的距离的差最大.如图所示，设M（x，0）是x轴上的任一点，B1（c，-d）是点B关于x轴的对称点，M到A，B两点的距离的和为|MA| |MB|.由线段公理可知|MA| |MB|=|MA| |MB1|≥|AB1|，当且仅当M在A，B1的连接线上P点位置时，上式等号成立.
　　∵P（x，0）在A，B1的连接线上，∴ba-x=dx-c.
　　于是，有结论Ⅰ：
　　（x-a）2 b2 （x-c）2 d2
　　≥（a-c）2 （b d）2.（﹡）
　　當且仅当x=bc add b时，（﹡）式中的等号成立，即此时M到A，B两点的距离的和最小.
　　又M到A，B两点的距离的差是||MA|-|MB||.
　　同理，||MA|-|MB||≤|AB|，
　　当且仅当M在AB的延长线上的N点位置时（如上图所示），等号成立.
　　∵N（x，0）在AB延长线上，∴bx-a=dx-c.
　　从而有结论Ⅱ：|（x-a）2 b2-（x-c）2 d2|≤（a-c）2 （b-d）2，（﹡﹡）
　　当且仅当x=bc-adb-d（b≠d）时，（﹡﹡）式中的等号成立，即此时M点到A，B两点的距离的差最大.
　　可以证明，上述结论及公式对任意a，b，c，d都成立.
　　上面的结论，应用颇多.请看以下例子：
　　例1解方程|4x2 4x 26-x2 4x 20|=x2-2x 2.
　　解由公式（﹡﹡）得
　　|4x2 4x 26-x2 4x 20|
　　=|（2x 1）2 52-（x 2）2 42|
　　=|[x-（-1-x）]2 52-[x-（-2）]2 42|
　　≤[（-1-x）-（-2）]2 （5-4）2
　　=x2-2x 2.
　　由结论Ⅱ可知，要上式等号成立，当且仅当x=5×（-2）-（-1-x）×45-4=-6 4x，解此方程，得x=2，故x=2是此方程的解.
　　例2a，b是小于1的正数，求证
　　a2 b2 （1-a）2 b2 a2 （1-b）2 （1-a）2 （1-b）2≥22，当且仅当a=b=12时，上式等号成立.
　　证明由公式（﹡）a2 b2 （1-a）2 （1-b）2≥（0-1）2 （b 1-b）2=2.
　　再由结论Ⅰ得，当且仅当（1）：a=b×1 0×（1-b）b （1-b）=b时等号成立.同理有（1-a）2 b2 a2 （1-b）2≥（1-0）2 （b 1-b）2=2，当且仅当（2）：a=1×（1-b） b×0b （1-b）=1-b时，等号成立.
　　综上所述，有a2 b2 a2 （1-b）2 （1-a）2 b2 （1-a）2 （1-b）2≥22.
　　联立（1）（2）解方程组可知，当且仅当a=b=12时，上式等号成立.证毕.
　　例3在宽为2千米的河的两岸，各有一点（记为A，B），它们各自离岸边3千米.已知A，B间的距离为10千米，有一人在陆地上行走速度为10千米/时，在水中游泳速度为1千米/时，问此人游泳的起点应在河岸何处，才能使这个人由A到B的时间最短？
　　解因为陆上的行走速度是游泳速度的10倍，故此人游泳的距离最短为宜，即应垂直河岸游去.如图所示，设E为下水点，CE=x，则
　　AE=x2 32，
　　AN=AC CM MN=3 2 3=8，
　　∴BN=AB2-AN2=102-82=6，于是DF=6-x，
　　BF=DF2 BD2=（6-x）2 32.
　　设由A到B所用时间为T（x），由题意有
　　T（x）=2 110[x2 32 （6-x）2 32].
　　由结论Ⅱ可知，当x=0×3 3×63 3=3时，Τ（x）达到最小值，此x即为所求.
　　故，此人游泳时的起点应在距离C点3千米处，才能使这个人由A到B所用时间最短.
　　以上数例可看出，利用线段公理推出的两个解析几何结论与公式去解决代数问题，方法巧妙，且可大大简化求解过程.