双曲线中离心率是重要的几何性质,决定双曲线的形状是较开阔还是较狭窄,因而高考中常考查离心率问题. e =且a2 + b2 = c2,只要找到a,b,c中任两个量间的倍数关系即可求出离心率的值;若求离心率的范围,在于建立关于a,b,c的不等式,进而转化为e =的不等式求解.
　　
　　 一､通过坐标与几何关系确定a,b,c关系求e
　　
　　 例1 设双曲线- = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P,Q两点,如果△PQF是直角三角形,求双曲线的离心率.
　　 解 PQ方程:x =,OP方程:y =x.
　　设PQ⊥x轴于M.由x =,y =x,
　　得P , ,则Q ,- .
　　由△PQF是等腰直角三角形,得|PM| = |MF|,
　　 ∴= c -,即a = b,e = = =.
　　
　　 二､由双曲线的定义与几何关系确定a,b,c关系求e
　　
　　 例2 过双曲线- = 1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是左焦点.若∠PF1Q = 90°,求双曲线的离心率.
　　 解 由双曲线的对称性知,△PF1Q为等腰直角三角形,△PF1P2也为等腰直三角形,
　　 ∴ |F1F2| = 2c,|PF2| = 2c,|PF1| = 2 c.
　　 又|PF1| - |PF2| = 2a,∴ 2 c - 2c = 2a,
　　 ∴= =+1.
　　
　　 三､利用双曲线上点横,纵坐标范围建立不等式
　　
　　 例3 双曲线- = 1(a > 0,b > 0)右支上存在与右焦点和左准线等距离的点,求离心率的范围.
　　 解法一 设左､右焦点分别为F1,F2,左､右准线分别为l1,l2. 过P作l1,l2的垂线,垂足分别为N1,N2,由题意,得= 1.又= = e,
　　 ∴ |PF2| =.
　　 又|PF1| = ex + a |PF2| = ex - a(焦半径公式),
　　 ∴ (ex - a)e = ex + a, x =,注意到P在右支上,∴ x ≥ a,从而≥ a,≥ 1.
　　 又e > 1,∴ 1 + e ≥ e2 - e,1 < e ≤ 1 +为所求.
　　
　　 四､利用三角形三边关系建立不等式
　　
　　 例4 解法二 由解法一,得|PF1| = e|PF2|.
　　 又|PF1| - |PF2| = 2a,得|PF2| =,|PF1| =.
　　 由|PF1| + |PF2| ≥ 2a,得+ ≥e,即e2 - 2e - 1 ≤ 0,得1 < e ≤ 1 +.
　　
　　 五､利用直线与双曲线位置关系建立不等式
　　
　　 例5 已知双曲线- = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的取值范围是 ().
　　 A. (1, ] B. (1,2)
　　 C. [2,+∞) D. (2,+∞)
　　 解 直线与双曲线右支只有一个焦点,知其斜率小于等于渐近线的斜率,即tan60° ≤,即b ≥a,得b2 ≥ 3a2,c2 - a2 ≥ 3a2,得c ≥ 2a,即e ≥ 2. 故选C.
　　
　　 六､建立函数关系式求离心率范围
　　
　　 例6 已知梯形ABCD中,|AB| = 2|CD|,点E分有向线段 所成的比为λ,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点,当≤ λ ≤时,求双曲线离心率的取值范围.
　　 解 如图,以线段AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系,则CD⊥y轴. 因为双曲线经过C,D两点,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C,D两点关于y轴对称. 由题意,设A(-c,0),C ,h,E(x0,y0),其中c =|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高.由定比分点坐标公式,得x0 = =,y0 =.
　　 设双曲线方程为- = 1,则离心率e =.
　　 由点C,E在双曲线上,将点C,E坐标和e =代入双曲线方程得 - = 1.①
　　 2 -2= 1.②
　　 由 ① 式得= - 1,代入 ② 式,整理得 (4 - 4λ) = 1 + 2λ,得λ = 1 -.
　　 由题意≤ 1 - ≤,
　　 解得≤ e ≤.
　　 所以双曲线离心率的取值范围为[ , ].
　　 小结 本题找到λ与e的关系式是难点,把λ表示为e的关系式后解不等式即可;若把e表示为λ的关系式,则求关于λ的函数的值域即可.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”