【摘 要】
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设K是一个虚二次域,O为K中的一个order.由定义,O的希尔伯特类多项式日o(x)是一个整系数的首一不可约多项式,它的复根恰为所有具有O-复乘的椭圆曲线的j-不变量.设p∈N为一个在K中惯性的素数,且p严格大于| dise(O)|.若Ho(x) (mod p)的Fp根的所组成的集合非空,我们证明群Pic(O)[2]在该集合上有一个自由且传递的作用;因此Ho(x) (mod p)的Fp根的个数要么等于0,要么等于| Pic(O)[2]|.我们还给出了一个关于Fp根存在性的具体判别方法.类似的结果首先由Xi
【机 构】
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美国加利福尼亚大学圣迭戈分校数学系,加利福尼亚州92093-0112;武汉大学数学与统计学院;武汉大学数学协同创新中心;计算科学湖北省重点实验室,湖北武汉430072
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设K是一个虚二次域,O为K中的一个order.由定义,O的希尔伯特类多项式日o(x)是一个整系数的首一不可约多项式,它的复根恰为所有具有O-复乘的椭圆曲线的j-不变量.设p∈N为一个在K中惯性的素数,且p严格大于| dise(O)|.若Ho(x) (mod p)的Fp根的所组成的集合非空,我们证明群Pic(O)[2]在该集合上有一个自由且传递的作用;因此Ho(x) (mod p)的Fp根的个数要么等于0,要么等于| Pic(O)[2]|.我们还给出了一个关于Fp根存在性的具体判别方法.类似的结果首先由Xiao等人在文献[25]中得到,后又经李等人在文献[13]广泛推广.本文结果已在李等人的工作中出现,但方法与之完全不同.“,”The Hilbert class polynomial Ho(x) ∈ Z[x]attached to an order O in an imagi-nary quadratic field K is the monic polynomial whose roots are precisely the distinct j-invariants of elliptic curves over C with complex multiplication by O.Let p be a prime inert in K and strictly greater than]disc(O)|.We show that the number of Fp-roots of Ho(x)(mod p) is either zero or|Pic(O)[2]| by exhibiting a free and transitive action of Pic(O)[2]on the set of Fp-roots of Ho(x)(mod p) whenever it is nonempty.We also provide a concrete criterion for the existence of Fp-roots.A similar result was first obtained by Xiao et al.[25]and generalized much further by Li et al.[13](that covers the current result) with a different approach.
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