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反思学生的困难，开发数学课程资源
（ 江西省全南县第二中学 341800）
摘 要：本文从一个全新角度探讨中学数学课程资源的开发方式，提出以学生困难为课程资源开发的有效突破口。文中论述了课程资源开发的必要性，强调反思是课程开发的重要途径，举例说明了在十字相乘法教学和用方程计算三角形内角教学中如何通过反思方式开发数学课程资源。文中所提出反思方式具备可操作性，能够帮助提高数学教学质量，值得推广。
关键词：数学课程资源；反思；数学资源开发
一、课程资源开发的必要性
1.课程资源的开发是有效教学的重要组成部分
有效教学首先需要有基本的时间和空间的保障，比如基本的安全而必需的场地、设施、设备、物资、资料等。没有物质资源的前提条件，就无所谓有效教学。
从课程资源的视角来看，有效教学就意味着“为学生提供丰富而有价值的课程资源”。我们的教材一般由出版社提供，但无论出版社所提供的教材和教辅资料如何“完美”和“精致”，教师仍然需要对这些教材进行加工和改造。教师有责任通过对教材的“再度开发”来保证学生所接触的教材是“安全”而有教育意义的。
所以说，课程资源的开发是有效教学的重要组成部分。
2.课程资源开发是“有效教师”的基本要求
什么是“有效教师”？可以有多种谈论方式，也可以提出多种标准和期望。从有效教学的基本方向尤其是“隐形学习”、“体验学习”和“热情求知”来看，真正的“有效教师”至少应该是一个课程资源的开发者。教师的基本使命是为学生的体验学习提供足够而有教育价值的课程资源。
二、反思是课程资源开发的有效途径
杜威认为，“反思”是一种特殊的思维方式，发生于某种直接经验情境中的疑问、窘迫，由此引起有目的的探究问题解决。它凭借过去经验中观察到的现象做出推理，这些推理经过检验并作为后来行动的依据。
受杜威的影响，美国麻省理工学院的萧恩在1983年发表了《反思性实践者》一书，畅谈“反思性实践”和“反思性行动”；1987年又专门发表了《指导反思性教师》一书，反思教学于是渐渐成为教学研究领域关注的热点问题之一。
萧恩的“在行动中反思”主要是指学生在教师的帮助下“做中学”。这与杜威的想法大體是一致的。在《反思性实践者》一书中萧恩反复强调：任何课题化情境总是“复杂的”、“不确定的”、“不稳定的”、“独特的”、和“价值冲突的”。因为这个复杂的、不确定的、不稳定的、独特的和价值冲突的情境存在于任何已经产生的理论和技术之外，实践者就不能将它作为一个工具性问题并指望应用他的头脑里储存好的专业知识来解决它。这个情境并不“在书中”，如果他期望有效地处理，他就不得不在自己的行动中用自己设计的情境化策略尝试性地解决它。
教师是否能够成为课程资源的开发者，关键取决于教师是否能够由“经验教学”转向“反思教学”，是否能够由“经验教师”走向“反思教师”或者“反思性实践者”。教师只有成为“反思性实践者”，不断反思自己的教学行为和行为背后的教学理念，才能不断开发和生成有价值的课程资源，实现有效教学。
三、反思学生的困难，开发课程资源
正如萧恩所强调的，“任何复杂的、不确定的、不稳定的、独特的和价值冲突的情境存在于任何已经产生的理论和技术之外，实践者就不能将它作为一个工具性问题并指望应用他的头脑里储存好的专业知识来解决它。”在我们的数学教学中，就能经常遇到用已有理论和经验难以解决或者不便解决的情境，学生在此情境之下往往表现出困惑或者畏惧情绪。每当遇到这种情形时，我们老师首先要重视学生的困难，向学生了解困难的根源，然后反思自己的教学，积极探索（可独立探索，也可团队探索）出一个能尽量消除学生困难的教学内容或方法。当我们新探索出来的教学内容或者方法受到学生欢迎时，这种变革式的教学内容或者方法就可以转化为我们宝贵的课程资源。这就是所谓的反思学生的困难，开发课程资源。
【案例1】用方程思想寻找角与角之间的关系
1.发现学生的困难
在七年级学生学习了三角形和角平分线的知识之后，经常会遇到一种寻找角与角之间关系的问题，令学生感到困难。例如：
如图所示，在 中， 的内角平分线或外角平分线交于点P， 试探求下列各图中 与 的关系.
2.反思学生的困难
为什么学生会对这类问题感到困难呢？经过查看学生的解答过程，笔者发现学生主要存在两方面的问题。第一是不会建立数学模型；第二是角的表达效果不好，不便于发现角与角之间的关系。针对这两个问题，笔者经过深刻的反思，总结出了易于被学生接受的解决办法：用方程思想解决这类问题。首先，将相等的角用同一个未知数表示（设元）；其次，通过图形建立起已设未知数和目标角之间的关系式（列方程）；最后，联立方程消去未知数（消元），产生只留有目标角的关系式，化简之后即可得到问题的解。
3.开发课程资源，解决学生的困难
解决问题的办法想到了，现在需要给学生搭建一个学习的平台，即开发课程资源。经过搜集各类资料，整理了一些比较典型的题目供学生学习。
【案例2】十字相乘法分解因式
1.发现学生的困难
用过传统十字相乘法分解因式教学的老师都会有相同的一种感觉，学生初学时会感到非常困难。一个班只有少部分数学素质较高的学生能够接受这种方法，中等及以下的学生都会觉得这种尝试性的分解因式方法过于复杂，不方便，从而对“十字相乘法分解因式”产生恐惧或者厌恶情绪。面对传统的分解方法，面对这种方法带来的教学效果，我们是否可以进行反思一下，怎样教才能消除学生初学时的恐惧心理，怎样教才能让学生喜欢上这种分解方法呢？
2.反思学生的困难 为了消除学生的恐惧心理，我们需要向学生了解情况，为什么会觉得十字相乘法分解因式繁琐呢？原来，学生讨厌分解过程中多次尝试性地拆分，在每一次的分解过程中，他们都要经过多次地尝试才能把二次项和常数项成功拆分，甚至尝试了很长时间都不能成功拆分。这种结果是学生不愿意看到的，学生觉得这样的付出和收获太不对等，所以他们不喜欢。
有没有什么方法能够减少尝试次数，让“十字相乘法分解因式”显得简单呢？带着这个问题，笔者进行了思考与探索，最终发现了学生的困难根本所在：负号。大凡学生分解失败的二次三项式，都是最少一项带有负号。
3.开发课程资源，解决学生的困难
找到了困难之源，自然就可以摸索出解困之法。针对学生的这个困难，笔者尝试性地将传统的十字相乘法分解因式进行了改进，具体如下文所述。
3.1传统的十字相乘法分解因式
传统的十字相乘法分解因式分为两个步骤，“拆”和“写”。拆，就是将二次三项式中的二次项和常数项拆分成两数之积（系数为整数），且交叉相乘再相加的结果等于中间的一次项。
[例题] 用十字相乘法分解因式： m2-9m+20
解：
原式=（ m-4）（ m-5）
解析：
我们先回顾传统的十字相乘法分解因式的步骤。
步骤①，“拆”：把二次项m2拆成m与m的积，竖着摆放；把常数项20拆成-4与-5的积，也竖着摆放。确保交叉相乘再相加的结果等于中间的一次项-9m，即拆分成功。若摆放位置不正确，则交叉相乘再相加的结果不会等于中间项。比如第（2）小题，若把1与-2的位置交换一下，则交叉相乘再相加的结果为x，而不等于原二次三项式的中间项-5x，所以拆分的关键就是确保交叉相乘再相加的结果等于中间项。
步骤②，“写”：照着成功拆分之后的位置横着写出两个多项式，这两个多项式的积即为原二次三项式的因式分解的结果。如第（1）小题，成功拆分之后，横着写出（ m-4）与（ m-5）两个多项式，它们的乘积即为因式分解的结果。
3.2改进后的十字相乘法分解因式
改进后的方法，拆分目标与原始的拆分目标一致，即交叉相乘再相加的结果等于中间项。但拆分步骤上有所改进，改进的方法是把原来的“拆”细化为“不带负号拆”和“添符号”两步。所以改進后的方法就变成了“不带负号拆”、“添符号”和“写”三个步骤。先以刚才的例题加以说明。
分解因式：m2-9m+20
∴原式=（ m-4）（ m-5）
解析：
步骤①，“不带负号拆”：忽视原二次三项式中所有项的负号，只关注各系数的绝对值。拆分的目标是使得交叉相乘再相加或者想减的结果等于不带负号的中间项。如上题，不带负号的中间项为9m，根据非常基本的数据经验，很容易把20拆成4与5的成绩，因为4加5等于9，拆分结果即为上题①所示。
步骤②，“添符号”：完成步骤①后，把目标回归到“交叉相乘再相加的结果等于中间项”，上题中的中间项是-9m，与步骤①的结果相差一个负号，所以只需要在原来的4与5前面各添加一个负号，这样既满足了交叉相乘再相加的结果等于中间项 ，又满足了-4与-5的积是常数项20，拆分成功。
步骤③，“写”：与原始写法一致。
3.3改进前后两种分解方法的比较
改进后的分解方法与传统的分解方法相比，仅仅是把“拆”的步骤进行了细化，把原来的带着符号完全拆分分解成了两个步骤。而恰恰是这小小的分解动作，大大地消除了学生的恐惧心理，因为学生可以抛弃“负号”进行拆分，验证的运算也是小学非常熟练的加法、减法和乘法运算。只要初步检验成功，那么完全拆分成功的机会就非常大，学生更容易获得成功。笔者已经用改进后的分解方法进行了三届学生的尝试，有很多的学生觉得这个方法非常好用，非常有趣，非常神奇，几乎感觉不到类似于传统分解方法带给学生的恐惧和厌恶。这足以说明改进的十字相乘法分解因式是有价值的，是值得推广的。
四、“反思学生的困难，开发课程资源”之展望
“反思学生的困难，开发课程资源”是一种为了解决学生在学习过程中遇到的困难而进行教学反思，同时把反思结果作为一种新的课程资源的课程资源开发模式。这种资源开放模式是容易实施的。它不需要大量的人员在规定的时间内完成资源开发工作，它只需要我们老师在平常的教学中多一点关注学生的反应，多一点重视学生在学习过程中遇到的困难，有一颗为学生排忧解难的真诚的心，多一些反思，多一些尝试，我们每一位普通教师都能参与到这项工作中来。这种模式开发出来的教学资源是宝贵的，是值有教育价值的。学生在学习过程中遇到了困难，就说明已有的教学内容或者方法可能存在某种不足，需要变革。老师们带着学生的困难去反思教学，最终探索出来的教学资源，自然是非常宝贵的，是能够适应当代学生的发展的教学资源。这种开放课程资源的模式是可持续的。时代在发展，人类在进步，学生在学习过程中遇到的困难也会随着时代的变化而变化。所以，我们要与时俱进，密切地关注学生的学习状况，善于发现学生在学习过程中产生的新困难并进行反思，及时地探索出能帮助学生解决困难的新的教学资源。综上所述，“反思学生的困难，开发课程资源”模式是可操作的，是值得推广的，它是能够帮助我们提高教学质量的。
参考文献：
[1]任长松《探究式学习：学生知识的自主构建》 教育科学出版社 2005.2.
[2]余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社 2009.10.
[3]孟万金《优质高效—因材施教的教育追求》 华东师范大学出版社 2004.8.
[4]孙亚玲《课堂教学有效性标准研究》 教育科学出版社 2008.10.
[5]高慎英 刘良华《有效教学论》 广东教育出版社 2004.5.
（ 江西省全南县第二中学 341800）
摘 要：本文从一个全新角度探讨中学数学课程资源的开发方式，提出以学生困难为课程资源开发的有效突破口。文中论述了课程资源开发的必要性，强调反思是课程开发的重要途径，举例说明了在十字相乘法教学和用方程计算三角形内角教学中如何通过反思方式开发数学课程资源。文中所提出反思方式具备可操作性，能够帮助提高数学教学质量，值得推广。
关键词：数学课程资源；反思；数学资源开发
一、课程资源开发的必要性
1.课程资源的开发是有效教学的重要组成部分
有效教学首先需要有基本的时间和空间的保障，比如基本的安全而必需的场地、设施、设备、物资、资料等。没有物质资源的前提条件，就无所谓有效教学。
从课程资源的视角来看，有效教学就意味着“为学生提供丰富而有价值的课程资源”。我们的教材一般由出版社提供，但无论出版社所提供的教材和教辅资料如何“完美”和“精致”，教师仍然需要对这些教材进行加工和改造。教师有责任通过对教材的“再度开发”来保证学生所接触的教材是“安全”而有教育意义的。
所以说，课程资源的开发是有效教学的重要组成部分。
2.课程资源开发是“有效教师”的基本要求
什么是“有效教师”？可以有多种谈论方式，也可以提出多种标准和期望。从有效教学的基本方向尤其是“隐形学习”、“体验学习”和“热情求知”来看，真正的“有效教师”至少应该是一个课程资源的开发者。教师的基本使命是为学生的体验学习提供足够而有教育价值的课程资源。
二、反思是课程资源开发的有效途径
杜威认为，“反思”是一种特殊的思维方式，发生于某种直接经验情境中的疑问、窘迫，由此引起有目的的探究问题解决。它凭借过去经验中观察到的现象做出推理，这些推理经过检验并作为后来行动的依据。
受杜威的影响，美国麻省理工学院的萧恩在1983年发表了《反思性实践者》一书，畅谈“反思性实践”和“反思性行动”；1987年又专门发表了《指导反思性教师》一书，反思教学于是渐渐成为教学研究领域关注的热点问题之一。
萧恩的“在行动中反思”主要是指学生在教师的帮助下“做中学”。这与杜威的想法大體是一致的。在《反思性实践者》一书中萧恩反复强调：任何课题化情境总是“复杂的”、“不确定的”、“不稳定的”、“独特的”、和“价值冲突的”。因为这个复杂的、不确定的、不稳定的、独特的和价值冲突的情境存在于任何已经产生的理论和技术之外，实践者就不能将它作为一个工具性问题并指望应用他的头脑里储存好的专业知识来解决它。这个情境并不“在书中”，如果他期望有效地处理，他就不得不在自己的行动中用自己设计的情境化策略尝试性地解决它。
教师是否能够成为课程资源的开发者，关键取决于教师是否能够由“经验教学”转向“反思教学”，是否能够由“经验教师”走向“反思教师”或者“反思性实践者”。教师只有成为“反思性实践者”，不断反思自己的教学行为和行为背后的教学理念，才能不断开发和生成有价值的课程资源，实现有效教学。
三、反思学生的困难，开发课程资源
正如萧恩所强调的，“任何复杂的、不确定的、不稳定的、独特的和价值冲突的情境存在于任何已经产生的理论和技术之外，实践者就不能将它作为一个工具性问题并指望应用他的头脑里储存好的专业知识来解决它。”在我们的数学教学中，就能经常遇到用已有理论和经验难以解决或者不便解决的情境，学生在此情境之下往往表现出困惑或者畏惧情绪。每当遇到这种情形时，我们老师首先要重视学生的困难，向学生了解困难的根源，然后反思自己的教学，积极探索（可独立探索，也可团队探索）出一个能尽量消除学生困难的教学内容或方法。当我们新探索出来的教学内容或者方法受到学生欢迎时，这种变革式的教学内容或者方法就可以转化为我们宝贵的课程资源。这就是所谓的反思学生的困难，开发课程资源。
【案例1】用方程思想寻找角与角之间的关系
1.发现学生的困难
在七年级学生学习了三角形和角平分线的知识之后，经常会遇到一种寻找角与角之间关系的问题，令学生感到困难。例如：
如图所示，在 中， 的内角平分线或外角平分线交于点P， 试探求下列各图中 与 的关系.
2.反思学生的困难
为什么学生会对这类问题感到困难呢？经过查看学生的解答过程，笔者发现学生主要存在两方面的问题。第一是不会建立数学模型；第二是角的表达效果不好，不便于发现角与角之间的关系。针对这两个问题，笔者经过深刻的反思，总结出了易于被学生接受的解决办法：用方程思想解决这类问题。首先，将相等的角用同一个未知数表示（设元）；其次，通过图形建立起已设未知数和目标角之间的关系式（列方程）；最后，联立方程消去未知数（消元），产生只留有目标角的关系式，化简之后即可得到问题的解。
3.开发课程资源，解决学生的困难
解决问题的办法想到了，现在需要给学生搭建一个学习的平台，即开发课程资源。经过搜集各类资料，整理了一些比较典型的题目供学生学习。
【案例2】十字相乘法分解因式
1.发现学生的困难
用过传统十字相乘法分解因式教学的老师都会有相同的一种感觉，学生初学时会感到非常困难。一个班只有少部分数学素质较高的学生能够接受这种方法，中等及以下的学生都会觉得这种尝试性的分解因式方法过于复杂，不方便，从而对“十字相乘法分解因式”产生恐惧或者厌恶情绪。面对传统的分解方法，面对这种方法带来的教学效果，我们是否可以进行反思一下，怎样教才能消除学生初学时的恐惧心理，怎样教才能让学生喜欢上这种分解方法呢？
2.反思学生的困难 为了消除学生的恐惧心理，我们需要向学生了解情况，为什么会觉得十字相乘法分解因式繁琐呢？原来，学生讨厌分解过程中多次尝试性地拆分，在每一次的分解过程中，他们都要经过多次地尝试才能把二次项和常数项成功拆分，甚至尝试了很长时间都不能成功拆分。这种结果是学生不愿意看到的，学生觉得这样的付出和收获太不对等，所以他们不喜欢。
有没有什么方法能够减少尝试次数，让“十字相乘法分解因式”显得简单呢？带着这个问题，笔者进行了思考与探索，最终发现了学生的困难根本所在：负号。大凡学生分解失败的二次三项式，都是最少一项带有负号。
3.开发课程资源，解决学生的困难
找到了困难之源，自然就可以摸索出解困之法。针对学生的这个困难，笔者尝试性地将传统的十字相乘法分解因式进行了改进，具体如下文所述。
3.1传统的十字相乘法分解因式
传统的十字相乘法分解因式分为两个步骤，“拆”和“写”。拆，就是将二次三项式中的二次项和常数项拆分成两数之积（系数为整数），且交叉相乘再相加的结果等于中间的一次项。
[例题] 用十字相乘法分解因式： m2-9m+20
解：
原式=（ m-4）（ m-5）
解析：
我们先回顾传统的十字相乘法分解因式的步骤。
步骤①，“拆”：把二次项m2拆成m与m的积，竖着摆放；把常数项20拆成-4与-5的积，也竖着摆放。确保交叉相乘再相加的结果等于中间的一次项-9m，即拆分成功。若摆放位置不正确，则交叉相乘再相加的结果不会等于中间项。比如第（2）小题，若把1与-2的位置交换一下，则交叉相乘再相加的结果为x，而不等于原二次三项式的中间项-5x，所以拆分的关键就是确保交叉相乘再相加的结果等于中间项。
步骤②，“写”：照着成功拆分之后的位置横着写出两个多项式，这两个多项式的积即为原二次三项式的因式分解的结果。如第（1）小题，成功拆分之后，横着写出（ m-4）与（ m-5）两个多项式，它们的乘积即为因式分解的结果。
3.2改进后的十字相乘法分解因式
改进后的方法，拆分目标与原始的拆分目标一致，即交叉相乘再相加的结果等于中间项。但拆分步骤上有所改进，改进的方法是把原来的“拆”细化为“不带负号拆”和“添符号”两步。所以改進后的方法就变成了“不带负号拆”、“添符号”和“写”三个步骤。先以刚才的例题加以说明。
分解因式：m2-9m+20
∴原式=（ m-4）（ m-5）
解析：
步骤①，“不带负号拆”：忽视原二次三项式中所有项的负号，只关注各系数的绝对值。拆分的目标是使得交叉相乘再相加或者想减的结果等于不带负号的中间项。如上题，不带负号的中间项为9m，根据非常基本的数据经验，很容易把20拆成4与5的成绩，因为4加5等于9，拆分结果即为上题①所示。
步骤②，“添符号”：完成步骤①后，把目标回归到“交叉相乘再相加的结果等于中间项”，上题中的中间项是-9m，与步骤①的结果相差一个负号，所以只需要在原来的4与5前面各添加一个负号，这样既满足了交叉相乘再相加的结果等于中间项 ，又满足了-4与-5的积是常数项20，拆分成功。
步骤③，“写”：与原始写法一致。
3.3改进前后两种分解方法的比较
改进后的分解方法与传统的分解方法相比，仅仅是把“拆”的步骤进行了细化，把原来的带着符号完全拆分分解成了两个步骤。而恰恰是这小小的分解动作，大大地消除了学生的恐惧心理，因为学生可以抛弃“负号”进行拆分，验证的运算也是小学非常熟练的加法、减法和乘法运算。只要初步检验成功，那么完全拆分成功的机会就非常大，学生更容易获得成功。笔者已经用改进后的分解方法进行了三届学生的尝试，有很多的学生觉得这个方法非常好用，非常有趣，非常神奇，几乎感觉不到类似于传统分解方法带给学生的恐惧和厌恶。这足以说明改进的十字相乘法分解因式是有价值的，是值得推广的。
四、“反思学生的困难，开发课程资源”之展望
“反思学生的困难，开发课程资源”是一种为了解决学生在学习过程中遇到的困难而进行教学反思，同时把反思结果作为一种新的课程资源的课程资源开发模式。这种资源开放模式是容易实施的。它不需要大量的人员在规定的时间内完成资源开发工作，它只需要我们老师在平常的教学中多一点关注学生的反应，多一点重视学生在学习过程中遇到的困难，有一颗为学生排忧解难的真诚的心，多一些反思，多一些尝试，我们每一位普通教师都能参与到这项工作中来。这种模式开发出来的教学资源是宝贵的，是值有教育价值的。学生在学习过程中遇到了困难，就说明已有的教学内容或者方法可能存在某种不足，需要变革。老师们带着学生的困难去反思教学，最终探索出来的教学资源，自然是非常宝贵的，是能够适应当代学生的发展的教学资源。这种开放课程资源的模式是可持续的。时代在发展，人类在进步，学生在学习过程中遇到的困难也会随着时代的变化而变化。所以，我们要与时俱进，密切地关注学生的学习状况，善于发现学生在学习过程中产生的新困难并进行反思，及时地探索出能帮助学生解决困难的新的教学资源。综上所述，“反思学生的困难，开发课程资源”模式是可操作的，是值得推广的，它是能够帮助我们提高教学质量的。
参考文献：
[1]任长松《探究式学习：学生知识的自主构建》 教育科学出版社 2005.2.
[2]余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社 2009.10.
[3]孟万金《优质高效—因材施教的教育追求》 华东师范大学出版社 2004.8.
[4]孙亚玲《课堂教学有效性标准研究》 教育科学出版社 2008.10.
[5]高慎英 刘良华《有效教学论》 广东教育出版社 2004.5.