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摘 要：数学学习存在两种不同的观点，有人说：数学学习需要预习；也有人说：数学学习不需要预习． 多次验证性实验表明，这两种数学预习观对数学教学都会产生消极影响． 初步的理论求证与验证性实验表明：数学学习需要预习，但不是传统意义上单纯地提前学习新知识，而是预习教师在教学分析基础上设计的“先行组织者”，它对数学教学会产生积极的影响．
关键词：数学预习；观念创新；“先行组织者”；实验结果
数学预习的两种观点及实验结果
目前关于数学预习存在两种不同的观点：有人说数学学习需要预习，也有专家、学者提出数学学习不需要预习．倡导数学学习需要预习的人认为：学生在课前进行预习，即把所要学习的新知识提前先大致看一下，课中就可以带着预习时的疑点、问题和存在的困难有重点地去听课，听课就能增强目的性，减少盲目性，从而能提高学习的效率，同时预习有利于提高学生记笔记的能力，预习可以培养学生的自学能力，预习能够帮助学生拓宽知识面． 倡导数学学习不需要预习的人认为：课本一般仅仅是内容的体现，是数学活动的结果，大多是“掐头去尾”，即使提出问题也是立即自行回答，学生只需接受无须思考，只需记忆无须探究，不能经历知识发生和发展的过程，不能经历建构的过程，不能产生建构性学习和理解． 然而著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“学习数学唯一正确的方法是让学生进行再创造”． 由于预习，学生已经知道了要学的内容和一些结论，学生对思维的过程、运算的过程、推理的过程显得很不在乎，于是不再愿意“慢慢地与教师一起经历困惑、操作、比较、分析、综合等思维站点，品尝探索成功的满足和愉悦”，从而影响了学生对新知识的探求和对新知识质疑的兴趣，显然预习不利于数学学习． 这两种不同的数学预习观可谓“公说公有理，婆说婆有理”，已成为数学教师饭后茶余议论的热点．
不同的数学预习观对数学教学影响如何？我们有意识地对这两种数学预习观进行了多次验证性实验． 实验结果发现了以下两条结论．
（1）缺乏教师指导的传统意义的单纯的提前学习新知识会给数学教学带来一些消极影响． 具体表现在：①教师创设的一些问题情境和探索情境不能发挥原有的作用——因为预习，学生整齐划一地正确回答掩盖了学生思维和探究中存在的一些问题；②学生会完美无缺地说出课本呈现的结论，但不能发现课本没有的数学结论或解题思路． 这不利于学生在“过程”中体会思维方法和思想方法以及在“过程”中发展能力与个性，从而有悖于数学教学是以数学知识为资源和手段来育人的教育学立场．
（2）上课前不预习也会影响数学教学活动的顺利推进． 我们经常能看到这样的现象：由于学生没有提前思考（没有激活学习新知识所需要的“生长点”），在“互动生成”阶段（核心知识生成阶段）不能快速打开理性思维的“闸门”，导致课堂教学不能形成多种思维碰撞的学习状态——常处于教学停顿的状态，为解决花时过多对按时完成教学任务带来挑战的问题，教师只好用自己的思维来代替学生的思维． 这样的教学也不符合“过程”教育观．
数学预习的新想法及实验结果
我们认为，数学学习需要预习，但不是传统意义上单纯地提前学习新知识，而是预习教师根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律，对教材内容进行有目的、有意识地加工、提炼，以文字、符号、图象或图表等形式表述的，含有学习新知识所需要的“生长点”（这个“生长点”不仅包括已有的知识、技能，还包括识别、联系、比较、建构等学习方法和能力），且能对学习新知识起指导与定向作用的“先行组织者”（这个先行组织者与当前所学新内容之间在包容性、概括性和抽象性等方面符合认知同化理论要求）．
初步的理论求证与实践验证表明：预习有价值的“先行组织者”有这样一些功能：①不但能为学习新知识提供先备条件，使不同层次的学生在学习新知识之前达到学习新知识所需要的大致统一的知识水平，而且能使学生注意到新、旧知识之间的内在联系． ②不但在课内能形成多种思维碰撞的学习状态，学生常能产生个性化的想法（因为课前预习提供了学生有深度思维所需要的学习条件），而且能解决经历过程对按时完成教学任务带来挑战的矛盾（因为课前预习解决了本来在课内需要解决的部分问题）． ③学生通过课前在教师指导下的“备战”，从精神上、心理上、智力上做好了学习新知识的准备，并通过经历感知、分析、判断、想象和归纳等心智活动的过程，使得学生课内在教师指挥下的“作战”过程中，有表现自我的欲望，从而能促进“互动生成”． ④它能拨动学生的心弦，促成学生学习情绪高涨，步入智力振奋状态，充分调动起学生探求新知的积极性和自觉性，使数学学习成为学生的一种期待． ⑤它是支撑和激励学生学习的源泉，是促使学生“自主”学习的切入点，是启开学生思维“闸门”的动力，是实现教学过程中“互动”的起因，是学生实现创新的基础，是“资源生成”的条件．
预习“先行组织者”的操作方法
预习“先行组织者”旨在通过“有向开放”的设计和课前预习基础上的课内交互反馈来激活新知识的“生长点”、促进学生“资源生成”，并实现“导富济贫”．其具体做法如下：
（1）课前教师在深入、细致地进行教学分析的基础上，根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律设计有价值的“先行组织者”． 一般地，“先行组织者”的内容容量以学生用20分钟左右时间能完成为宜．
（2）教师提前一天将“先行组织者”交给学生（可以是纸质稿，有条件的可以借助网络平台），并要求各学习“小团体”负责人组织有关成员抽适当的时间（可以用学校规定的时间，可以用自修课时间，也可以用晚上时间）进行独立思考基础上的合作研讨． 必要时，教师在学生预习前对学习“小团体”负责人做适当的培训．
（3）上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果． 同时教师倾听学生的汇报、交流，必要时，教师进行追问、激励、评析． 在此基础上教师进行总结．
如浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“3.1圆”第一课时这节课的操作方法如下： 首先，课前教师提供如下的“先行组织者”供学生课前预习（允许合作研讨）．
（1）请你借助合适的画图工具画下列给定条件的圆：
①在白纸的适当位置上画半径为2 cm的圆；画圆心位置不变、半径不同的多个圆；画半径不变、圆心位置不同的多个圆．
②在操场的适当位置上画一个半径为3 m的圆，你有什么好的办法或建议？
（2）请你先回顾画圆的过程，再思考下列问题：
①确定一个圆需要哪些条件？其作用分别是什么？
②用数学的眼光看画圆的过程，圆是怎样形成的？
（3）圆也可以看成是现实生活中圆形物体的数学抽象． 请你举出尽可能多的关于圆的生活原形．
（4）你通过经历上述画圆、思考、举例的过程对圆有何感触？（友情提示：圆是怎样形成的？数学中的圆与生活中的圆有何关系？学习圆有何意义？）
其次，上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果． 同时教师倾听学生的汇报交流，必要时，教师进行追问、激励、分析与评价．在此基础上，教师进行总结：
（1）圆可以看成是现实生活中圆形物体的数学抽象；圆也可以看成是线段绕一个端点旋转一周、另一个端点的轨迹；圆又可以看成是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合；圆还可以看成是正多边形边数无限增加时的极限．
（2）圆有两个要素——圆心（定位置）和半径（定大小），圆中的许多结论与这两个要素联系在一起． 圆是一种特殊的封闭曲线，毕达哥拉斯说：“一切平面图形中，最美的是圆！”
（3）尽管圆的结构比较简单，但圆的内涵非常丰富，且生活中随处可见圆的身影． 认识圆的几何特征与几何性质旨在更好地为生活服务，并在认识圆的过程中能发展我们的能力和个性．
在此基础上展开进一步的教学活动：挑战性问题引导下的合作研讨；有代表性问题引导下的尝试运用；“问题清单”引导下的交流合作．
预习“先行组织者”的支持性条件
初步的理论求证与实践验证表明，采用预习“先行组织者”教学方式需要以下一些支持性条件．
（1）建立学习“小团体”．按“组内异质，组间同质”的原则建立学习“小团体”，每个“小团体”以5-6人为宜，且每个“小团体”选出一名组织和协调能力较强的学生任组长，对本组一切事宜进行统筹管理、督查和评价．
（2）提供有价值的“先行组织者”． 有价值的“先行组织者”要符合这样一些条件：①能紧扣教学目标，渗透学习主题，且有内涵和思想；②能使学生自觉积极地进入特定的学习状态，唤醒沉睡的潜能；③能激活学生原有的情感结构，放飞囚禁的情愫；④能激活学生原有的认知结构，开启幽闭的心智；⑤符合“最近发展区”理论——使学生不能简单地利用已有的知识与经验去解决，但学生有条件、有可能去多角度思考和探究；⑥具有创新性——引用的背景材料有价值；有能力发展点、个性和创新精神培养点；有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；能沟通现实生活中的具体世界和数学知识的抽象世界之间的联系．
（3）教师要具备５个条件：①有一定的教育教学理论基础；②通晓数学的思维过程；③精通所要学习的内容；④拥有对学生情况的良好了解和具有组织学生预习的能力；⑤具有一定的教学指导艺术和教学反思意识． 这种反思包括：“描述”：回答“我是怎样设计的”这一事实问题；“领悟”：回答“我这样设计意味着什么”，寻找隐藏在设计背后的假说、观念等；“正视”：回答“我怎么会这样设计”，以了解自己的假说、观念或设计活动中的其他因素；“改造”：回答“我怎样才能更加有效地进行问题设计”，寻求完善创造性设计的方法和途径．
（4）能使学生有效地“动”起来． 提高预习效能的关键是能使学生有效地“动”起来． 这需要建立有效的管理制度、运用评价来促进学生学习的策略和实施奖励制度． 有效的管理是教师抽查、“小团体”负责人督查和家长监督三方面相结合． 评价可以分对个体的评价和对“小团体”的评价两个方面． 对个体的评价内容可以是：学习是否积极主动？在互帮互学中表现是否出色？在研讨中是否有个性化的想法？在交流合作中能否倾听他人的见解？对学习“小团体”的评价内容可以是：学习中各成员的投入度、紧张度、融洽度如何？研讨中成员的参与面、开口面如何？学习中各成员相互合作是否密切？在“大团体”交流中成员发言的积极性是否高？“小团体”之间竞争力如何？可以针对评价的内容对个体和“小团体”进行适当的奖励．
关键词：数学预习；观念创新；“先行组织者”；实验结果
数学预习的两种观点及实验结果
目前关于数学预习存在两种不同的观点：有人说数学学习需要预习，也有专家、学者提出数学学习不需要预习．倡导数学学习需要预习的人认为：学生在课前进行预习，即把所要学习的新知识提前先大致看一下，课中就可以带着预习时的疑点、问题和存在的困难有重点地去听课，听课就能增强目的性，减少盲目性，从而能提高学习的效率，同时预习有利于提高学生记笔记的能力，预习可以培养学生的自学能力，预习能够帮助学生拓宽知识面． 倡导数学学习不需要预习的人认为：课本一般仅仅是内容的体现，是数学活动的结果，大多是“掐头去尾”，即使提出问题也是立即自行回答，学生只需接受无须思考，只需记忆无须探究，不能经历知识发生和发展的过程，不能经历建构的过程，不能产生建构性学习和理解． 然而著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“学习数学唯一正确的方法是让学生进行再创造”． 由于预习，学生已经知道了要学的内容和一些结论，学生对思维的过程、运算的过程、推理的过程显得很不在乎，于是不再愿意“慢慢地与教师一起经历困惑、操作、比较、分析、综合等思维站点，品尝探索成功的满足和愉悦”，从而影响了学生对新知识的探求和对新知识质疑的兴趣，显然预习不利于数学学习． 这两种不同的数学预习观可谓“公说公有理，婆说婆有理”，已成为数学教师饭后茶余议论的热点．
不同的数学预习观对数学教学影响如何？我们有意识地对这两种数学预习观进行了多次验证性实验． 实验结果发现了以下两条结论．
（1）缺乏教师指导的传统意义的单纯的提前学习新知识会给数学教学带来一些消极影响． 具体表现在：①教师创设的一些问题情境和探索情境不能发挥原有的作用——因为预习，学生整齐划一地正确回答掩盖了学生思维和探究中存在的一些问题；②学生会完美无缺地说出课本呈现的结论，但不能发现课本没有的数学结论或解题思路． 这不利于学生在“过程”中体会思维方法和思想方法以及在“过程”中发展能力与个性，从而有悖于数学教学是以数学知识为资源和手段来育人的教育学立场．
（2）上课前不预习也会影响数学教学活动的顺利推进． 我们经常能看到这样的现象：由于学生没有提前思考（没有激活学习新知识所需要的“生长点”），在“互动生成”阶段（核心知识生成阶段）不能快速打开理性思维的“闸门”，导致课堂教学不能形成多种思维碰撞的学习状态——常处于教学停顿的状态，为解决花时过多对按时完成教学任务带来挑战的问题，教师只好用自己的思维来代替学生的思维． 这样的教学也不符合“过程”教育观．
数学预习的新想法及实验结果
我们认为，数学学习需要预习，但不是传统意义上单纯地提前学习新知识，而是预习教师根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律，对教材内容进行有目的、有意识地加工、提炼，以文字、符号、图象或图表等形式表述的，含有学习新知识所需要的“生长点”（这个“生长点”不仅包括已有的知识、技能，还包括识别、联系、比较、建构等学习方法和能力），且能对学习新知识起指导与定向作用的“先行组织者”（这个先行组织者与当前所学新内容之间在包容性、概括性和抽象性等方面符合认知同化理论要求）．
初步的理论求证与实践验证表明：预习有价值的“先行组织者”有这样一些功能：①不但能为学习新知识提供先备条件，使不同层次的学生在学习新知识之前达到学习新知识所需要的大致统一的知识水平，而且能使学生注意到新、旧知识之间的内在联系． ②不但在课内能形成多种思维碰撞的学习状态，学生常能产生个性化的想法（因为课前预习提供了学生有深度思维所需要的学习条件），而且能解决经历过程对按时完成教学任务带来挑战的矛盾（因为课前预习解决了本来在课内需要解决的部分问题）． ③学生通过课前在教师指导下的“备战”，从精神上、心理上、智力上做好了学习新知识的准备，并通过经历感知、分析、判断、想象和归纳等心智活动的过程，使得学生课内在教师指挥下的“作战”过程中，有表现自我的欲望，从而能促进“互动生成”． ④它能拨动学生的心弦，促成学生学习情绪高涨，步入智力振奋状态，充分调动起学生探求新知的积极性和自觉性，使数学学习成为学生的一种期待． ⑤它是支撑和激励学生学习的源泉，是促使学生“自主”学习的切入点，是启开学生思维“闸门”的动力，是实现教学过程中“互动”的起因，是学生实现创新的基础，是“资源生成”的条件．
预习“先行组织者”的操作方法
预习“先行组织者”旨在通过“有向开放”的设计和课前预习基础上的课内交互反馈来激活新知识的“生长点”、促进学生“资源生成”，并实现“导富济贫”．其具体做法如下：
（1）课前教师在深入、细致地进行教学分析的基础上，根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律设计有价值的“先行组织者”． 一般地，“先行组织者”的内容容量以学生用20分钟左右时间能完成为宜．
（2）教师提前一天将“先行组织者”交给学生（可以是纸质稿，有条件的可以借助网络平台），并要求各学习“小团体”负责人组织有关成员抽适当的时间（可以用学校规定的时间，可以用自修课时间，也可以用晚上时间）进行独立思考基础上的合作研讨． 必要时，教师在学生预习前对学习“小团体”负责人做适当的培训．
（3）上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果． 同时教师倾听学生的汇报、交流，必要时，教师进行追问、激励、评析． 在此基础上教师进行总结．
如浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“3.1圆”第一课时这节课的操作方法如下： 首先，课前教师提供如下的“先行组织者”供学生课前预习（允许合作研讨）．
（1）请你借助合适的画图工具画下列给定条件的圆：
①在白纸的适当位置上画半径为2 cm的圆；画圆心位置不变、半径不同的多个圆；画半径不变、圆心位置不同的多个圆．
②在操场的适当位置上画一个半径为3 m的圆，你有什么好的办法或建议？
（2）请你先回顾画圆的过程，再思考下列问题：
①确定一个圆需要哪些条件？其作用分别是什么？
②用数学的眼光看画圆的过程，圆是怎样形成的？
（3）圆也可以看成是现实生活中圆形物体的数学抽象． 请你举出尽可能多的关于圆的生活原形．
（4）你通过经历上述画圆、思考、举例的过程对圆有何感触？（友情提示：圆是怎样形成的？数学中的圆与生活中的圆有何关系？学习圆有何意义？）
其次，上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果． 同时教师倾听学生的汇报交流，必要时，教师进行追问、激励、分析与评价．在此基础上，教师进行总结：
（1）圆可以看成是现实生活中圆形物体的数学抽象；圆也可以看成是线段绕一个端点旋转一周、另一个端点的轨迹；圆又可以看成是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合；圆还可以看成是正多边形边数无限增加时的极限．
（2）圆有两个要素——圆心（定位置）和半径（定大小），圆中的许多结论与这两个要素联系在一起． 圆是一种特殊的封闭曲线，毕达哥拉斯说：“一切平面图形中，最美的是圆！”
（3）尽管圆的结构比较简单，但圆的内涵非常丰富，且生活中随处可见圆的身影． 认识圆的几何特征与几何性质旨在更好地为生活服务，并在认识圆的过程中能发展我们的能力和个性．
在此基础上展开进一步的教学活动：挑战性问题引导下的合作研讨；有代表性问题引导下的尝试运用；“问题清单”引导下的交流合作．
预习“先行组织者”的支持性条件
初步的理论求证与实践验证表明，采用预习“先行组织者”教学方式需要以下一些支持性条件．
（1）建立学习“小团体”．按“组内异质，组间同质”的原则建立学习“小团体”，每个“小团体”以5-6人为宜，且每个“小团体”选出一名组织和协调能力较强的学生任组长，对本组一切事宜进行统筹管理、督查和评价．
（2）提供有价值的“先行组织者”． 有价值的“先行组织者”要符合这样一些条件：①能紧扣教学目标，渗透学习主题，且有内涵和思想；②能使学生自觉积极地进入特定的学习状态，唤醒沉睡的潜能；③能激活学生原有的情感结构，放飞囚禁的情愫；④能激活学生原有的认知结构，开启幽闭的心智；⑤符合“最近发展区”理论——使学生不能简单地利用已有的知识与经验去解决，但学生有条件、有可能去多角度思考和探究；⑥具有创新性——引用的背景材料有价值；有能力发展点、个性和创新精神培养点；有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；能沟通现实生活中的具体世界和数学知识的抽象世界之间的联系．
（3）教师要具备５个条件：①有一定的教育教学理论基础；②通晓数学的思维过程；③精通所要学习的内容；④拥有对学生情况的良好了解和具有组织学生预习的能力；⑤具有一定的教学指导艺术和教学反思意识． 这种反思包括：“描述”：回答“我是怎样设计的”这一事实问题；“领悟”：回答“我这样设计意味着什么”，寻找隐藏在设计背后的假说、观念等；“正视”：回答“我怎么会这样设计”，以了解自己的假说、观念或设计活动中的其他因素；“改造”：回答“我怎样才能更加有效地进行问题设计”，寻求完善创造性设计的方法和途径．
（4）能使学生有效地“动”起来． 提高预习效能的关键是能使学生有效地“动”起来． 这需要建立有效的管理制度、运用评价来促进学生学习的策略和实施奖励制度． 有效的管理是教师抽查、“小团体”负责人督查和家长监督三方面相结合． 评价可以分对个体的评价和对“小团体”的评价两个方面． 对个体的评价内容可以是：学习是否积极主动？在互帮互学中表现是否出色？在研讨中是否有个性化的想法？在交流合作中能否倾听他人的见解？对学习“小团体”的评价内容可以是：学习中各成员的投入度、紧张度、融洽度如何？研讨中成员的参与面、开口面如何？学习中各成员相互合作是否密切？在“大团体”交流中成员发言的积极性是否高？“小团体”之间竞争力如何？可以针对评价的内容对个体和“小团体”进行适当的奖励．