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【摘 要】通过对学生“旋转”思维水平的测查、分析及思考，整体审视教材，提出帮助学生通过图形的旋转变换学习，更好地提升几何素养的三条建议：1.整合教材，分解难度；2.丰富素材，理解要素；3.语言表征，精准科学。
【关键词】旋转；思维水平；测查；分析；启示
人教版教材五（下）第5单元“图形的运动（三）”是小学阶段最后一次以新课形式学习此领域的相关知识，具体内容包括4个例题（图形旋转的含义、特点、把一个简单图形旋转90°和解决问题）。学生在二（下）初步感知生活中的对称、平移和旋转现象，四（下）学习轴对称图形，本单元内容承上启下：既要关注新旧知识的联结点，用原有知识推动“旋转”的学习，又要为中学进一步学习“旋转”的基本性质打下坚实的基础。笔者试图通过两次测查，收集与整理相关数据，分析与思考学生学习“旋转”的困难点，以便一线教师在教学设计时有的放矢，有效提高学生几何思维水平。
一、测查结果的统计与分析
（一）学生真的能结合生活实例正确判断旋转现象吗？
从上表不难看出，无论哪个年级，8个图全部判断正确的学生占比不高，车道出入杆误判率最高，秋千图误判率第二。笔者特意请各个年级学生访谈（现以5名五年级学生回答为例）。笔者问荡秋千图是不是旋转，其中2名学生说不是，3名学生说是。判断不是旋转的学生说：“因为荡秋千没有荡一圈，所以不是。”判断是的学生反驳：“这秋千可以荡一圈的，只是图上的人不敢荡一圈！荡得太高会摔下来的。”笔者指着车道出入杆图问：“这条杆总不能转一圈了吧？怎么你也说是旋转呢？”判断此图不是旋转的学生赶紧附和逼问：“对呀对呀！你们说理由啊！”几位判断是旋转的学生说不出理由，只是说：“反正这就是旋转。”按范希尔的观点，直观水平的学生能按照外观从整体上识别图形，这种识别常常依赖于具体的范例。正因为学生只能通过整体轮廓辨认旋转，而无法使用旋转的三要素来分析荡秋千和车道出入杆这两幅图，所以导致误判。
（二）旋转三要素错况分析：学生对哪个要素的理解感到最困难？
1.关于旋转中心的调查与分析
从上表看出，除了六年级学生刚在暑假前的五（下）学过旋转正确率最高外，其他年级能正确填0点的不多。笔者选几种出错率高的学生个别访谈后还发现：填什么与学生最近学过什么有关。例如三年级填“绕15点”的学生说：老师你看从秒针12到3走过15小格15秒呀（学生刚在本学期第一单元学过“秒的认识”）。四、五年级填“绕3点或12点”的学生说：从12走到3，我想就填12（或3）点钟好了。
2.关于旋转方向的调查与分析
旋转方向是把握图形旋转的三要素之一，用下面的题目测试，得到了表格中的结果。
从此表可看出，学生“顺时针”方向不是不知道，笔者访谈每个年级填“右”或“3”的学生，他们都能用手势在钟面上比画顺时针方向，只是不会用“顺时针”这个词而已。语言是思维的外壳，由此可验证范希尔的观点：每一个层次都有其专属的阶段性语言符号，在某一层次使用的语言符号，可能到了另一层次就必须调整为另一种语言符号。
3.旋转角度的测试与分析
旋转角度是描述旋转重要维度，用下面的问题测试学生，得到表格中的结果。
学生对旋转角度的理解，除三年级空白没填占比比填90°高外，其他年级正确率比各种错误填法占比高。
从上述分析可知，旋转三要素中旋转角度表述学生元认知基础较好，随年级升高稳步增长。而旋转中心、旋转方向则是从低水平开始，经过五（下）的教学活动分别跳到93.71%和89.51%，似乎有点跳跃式发展，恰恰验证范希爾理论的又一个特点：从一个水平过渡到另一个水平不是平缓的，而是一个“跳跃”的过程，在到达新水平前，学生会经历一个“思维的危机”。
（三）画图操作过程中哪里最难？
从上表可看出，学生到六年级刚开始的时候，能正确画图的学生占77.62%，方向画反的学生最多。为进一步寻找学生画图操作的困难点，笔者在本学期对五年级两个班的66位学生做了小范围的调查，结果如下：
上图显示有20位学生（占30.3%）能把线段旋转90°后的图形正确画出，而会画三角形、长方形旋转90°后的图形仅占15%左右。在各种错误画法里，移动旋转中心而其他要素都对的有12人，占18.18%；旋转方向画错的有8人，占12.12%；还有少部分学生与轴对称和平移画法混淆。旋转中心在图形外（第三学段的要求）的正确率只有3%，每班仅1位学生。
（四）学生会表述什么是旋转吗？
能用三要素准确描述旋转图形的只有六年级的15位学生，仅占10.49%。要求学生用自己的话说说什么是旋转时，部分学生说“像钟面（门、风车、飞机的机翼）一样的就是旋转”。用范希尔理论来解释，“能画图，使用标准或不标准名称描述图形”，这依然是直观视觉思维水平。这个问题苏联学者皮什卡罗曾花4年时间调查研究过，其中有2个结论是：（1）在前五个年级中，大多数儿童都从“整体”上知觉图形。（2）在几何发展的第一水平，学生要停留很长时间，到五年级末，只有10%到15%的学生能达到水平2，这是进一步学习几何的基础。
二、基于测查数据的教学建议
（一）整合教材，分解难度
既然线段的旋转承载了对旋转要素的深化理解的作用，是后面平面图形旋转的基础，那么在实际教学中，像北师大版这样设计线段旋转的环节，是不是对突破画图这一难点更加有效呢？从测查数据中也能证明学生对画线段绕一点旋转90°的图形最容易上手。专门从旋转图形画法指导这一课时内容来看，让学生从点、线、面的逐步旋转，从用三角尺或三角形学具的实物旋转再到在方格纸上画出几何图形的旋转，这样设计拾级而上，更加有利于全体学生（特别是学困生）有效操作。
（二）丰富素材，理解要素
图1是人教版二（下）的学习内容，图2是人教版五（下）的学习内容，一对比就明白在测查中学生为什么对车道杆和秋千图的判断错误率最高。（1）是否能转满360°成为学生判断的标准。（2）学生的判断基本来自生活经验：运动的整体感知大于部分的感知。（3）位置的描述偏向结果的描述。二年级旋转中所有的素材都是完整旋转，教学重点在于辨别平移和旋转，学生自然形成第一印象——旋转必须绕一点做圆周运动。建议教师在教学设计时多用局部旋转图形（如荡秋千等），帮助学生理解旋转三要素，并领悟用几何要素来分析图形的方法。
（三）语言表征，精准科学
尊重学生思维的现实起点，教师的学习素材、教具选择和课堂用语都要与学生的思维水平匹配，否则学生将无法理解、思考“旋转”过程及结果。从测查中的学生三要素错况分析和学生自主表述什么是旋转的思考中，再一次验证范希尔理论：教师应该帮助学生把元认知不规范语言转化为数学语言，以促进学生早日提升几何思维水平。
一线数学教师最值得研究的是学生的思维水平，而有效的测查是深度琢磨学生思维水平的重要路径。对学情的把握，不能仅凭教参的要求，也不能过分依赖教学经验，而应通过科学的方法，收集、分析数据并深入思考，在此基础上设计学案，实施课堂教学，方能提高教学实效，提升学生数学素养。
参考文献：
[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2] 朱乐平，章颖.平移、旋转和轴对称教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.
（浙江省瑞安市塘下镇鲍二村塘下实验小学 325204）
【关键词】旋转；思维水平；测查；分析；启示
人教版教材五（下）第5单元“图形的运动（三）”是小学阶段最后一次以新课形式学习此领域的相关知识，具体内容包括4个例题（图形旋转的含义、特点、把一个简单图形旋转90°和解决问题）。学生在二（下）初步感知生活中的对称、平移和旋转现象，四（下）学习轴对称图形，本单元内容承上启下：既要关注新旧知识的联结点，用原有知识推动“旋转”的学习，又要为中学进一步学习“旋转”的基本性质打下坚实的基础。笔者试图通过两次测查，收集与整理相关数据，分析与思考学生学习“旋转”的困难点，以便一线教师在教学设计时有的放矢，有效提高学生几何思维水平。
一、测查结果的统计与分析
（一）学生真的能结合生活实例正确判断旋转现象吗？
从上表不难看出，无论哪个年级，8个图全部判断正确的学生占比不高，车道出入杆误判率最高，秋千图误判率第二。笔者特意请各个年级学生访谈（现以5名五年级学生回答为例）。笔者问荡秋千图是不是旋转，其中2名学生说不是，3名学生说是。判断不是旋转的学生说：“因为荡秋千没有荡一圈，所以不是。”判断是的学生反驳：“这秋千可以荡一圈的，只是图上的人不敢荡一圈！荡得太高会摔下来的。”笔者指着车道出入杆图问：“这条杆总不能转一圈了吧？怎么你也说是旋转呢？”判断此图不是旋转的学生赶紧附和逼问：“对呀对呀！你们说理由啊！”几位判断是旋转的学生说不出理由，只是说：“反正这就是旋转。”按范希尔的观点，直观水平的学生能按照外观从整体上识别图形，这种识别常常依赖于具体的范例。正因为学生只能通过整体轮廓辨认旋转，而无法使用旋转的三要素来分析荡秋千和车道出入杆这两幅图，所以导致误判。
（二）旋转三要素错况分析：学生对哪个要素的理解感到最困难？
1.关于旋转中心的调查与分析
从上表看出，除了六年级学生刚在暑假前的五（下）学过旋转正确率最高外，其他年级能正确填0点的不多。笔者选几种出错率高的学生个别访谈后还发现：填什么与学生最近学过什么有关。例如三年级填“绕15点”的学生说：老师你看从秒针12到3走过15小格15秒呀（学生刚在本学期第一单元学过“秒的认识”）。四、五年级填“绕3点或12点”的学生说：从12走到3，我想就填12（或3）点钟好了。
2.关于旋转方向的调查与分析
旋转方向是把握图形旋转的三要素之一，用下面的题目测试，得到了表格中的结果。
从此表可看出，学生“顺时针”方向不是不知道，笔者访谈每个年级填“右”或“3”的学生，他们都能用手势在钟面上比画顺时针方向，只是不会用“顺时针”这个词而已。语言是思维的外壳，由此可验证范希尔的观点：每一个层次都有其专属的阶段性语言符号，在某一层次使用的语言符号，可能到了另一层次就必须调整为另一种语言符号。
3.旋转角度的测试与分析
旋转角度是描述旋转重要维度，用下面的问题测试学生，得到表格中的结果。
学生对旋转角度的理解，除三年级空白没填占比比填90°高外，其他年级正确率比各种错误填法占比高。
从上述分析可知，旋转三要素中旋转角度表述学生元认知基础较好，随年级升高稳步增长。而旋转中心、旋转方向则是从低水平开始，经过五（下）的教学活动分别跳到93.71%和89.51%，似乎有点跳跃式发展，恰恰验证范希爾理论的又一个特点：从一个水平过渡到另一个水平不是平缓的，而是一个“跳跃”的过程，在到达新水平前，学生会经历一个“思维的危机”。
（三）画图操作过程中哪里最难？
从上表可看出，学生到六年级刚开始的时候，能正确画图的学生占77.62%，方向画反的学生最多。为进一步寻找学生画图操作的困难点，笔者在本学期对五年级两个班的66位学生做了小范围的调查，结果如下：
上图显示有20位学生（占30.3%）能把线段旋转90°后的图形正确画出，而会画三角形、长方形旋转90°后的图形仅占15%左右。在各种错误画法里，移动旋转中心而其他要素都对的有12人，占18.18%；旋转方向画错的有8人，占12.12%；还有少部分学生与轴对称和平移画法混淆。旋转中心在图形外（第三学段的要求）的正确率只有3%，每班仅1位学生。
（四）学生会表述什么是旋转吗？
能用三要素准确描述旋转图形的只有六年级的15位学生，仅占10.49%。要求学生用自己的话说说什么是旋转时，部分学生说“像钟面（门、风车、飞机的机翼）一样的就是旋转”。用范希尔理论来解释，“能画图，使用标准或不标准名称描述图形”，这依然是直观视觉思维水平。这个问题苏联学者皮什卡罗曾花4年时间调查研究过，其中有2个结论是：（1）在前五个年级中，大多数儿童都从“整体”上知觉图形。（2）在几何发展的第一水平，学生要停留很长时间，到五年级末，只有10%到15%的学生能达到水平2，这是进一步学习几何的基础。
二、基于测查数据的教学建议
（一）整合教材，分解难度
既然线段的旋转承载了对旋转要素的深化理解的作用，是后面平面图形旋转的基础，那么在实际教学中，像北师大版这样设计线段旋转的环节，是不是对突破画图这一难点更加有效呢？从测查数据中也能证明学生对画线段绕一点旋转90°的图形最容易上手。专门从旋转图形画法指导这一课时内容来看，让学生从点、线、面的逐步旋转，从用三角尺或三角形学具的实物旋转再到在方格纸上画出几何图形的旋转，这样设计拾级而上，更加有利于全体学生（特别是学困生）有效操作。
（二）丰富素材，理解要素
图1是人教版二（下）的学习内容，图2是人教版五（下）的学习内容，一对比就明白在测查中学生为什么对车道杆和秋千图的判断错误率最高。（1）是否能转满360°成为学生判断的标准。（2）学生的判断基本来自生活经验：运动的整体感知大于部分的感知。（3）位置的描述偏向结果的描述。二年级旋转中所有的素材都是完整旋转，教学重点在于辨别平移和旋转，学生自然形成第一印象——旋转必须绕一点做圆周运动。建议教师在教学设计时多用局部旋转图形（如荡秋千等），帮助学生理解旋转三要素，并领悟用几何要素来分析图形的方法。
（三）语言表征，精准科学
尊重学生思维的现实起点，教师的学习素材、教具选择和课堂用语都要与学生的思维水平匹配，否则学生将无法理解、思考“旋转”过程及结果。从测查中的学生三要素错况分析和学生自主表述什么是旋转的思考中，再一次验证范希尔理论：教师应该帮助学生把元认知不规范语言转化为数学语言，以促进学生早日提升几何思维水平。
一线数学教师最值得研究的是学生的思维水平，而有效的测查是深度琢磨学生思维水平的重要路径。对学情的把握，不能仅凭教参的要求，也不能过分依赖教学经验，而应通过科学的方法，收集、分析数据并深入思考，在此基础上设计学案，实施课堂教学，方能提高教学实效，提升学生数学素养。
参考文献：
[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2] 朱乐平，章颖.平移、旋转和轴对称教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.
（浙江省瑞安市塘下镇鲍二村塘下实验小学 325204）