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【摘要】数学教学渗透模型思想教育的途径为：知识感知，由生活到模型;知识内化，由模型到生活;解题应用，由问题到模型;解题创新，由模型到问题。
【关键词】模型思想 生活 模型 应用 创新
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）40-0001-02
数学模型思想，指用数学语言模式描述现实事物间数量关系或空间形式的方法。《数学课程标准》明确指出了模型思想教育的过程与途径：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。本文就小学数学渗透模型思想教育的问题，谈谈个人的认识。
小学是人生系统教育的关键时期。同时，这个时期也是学生性格形成的重要阶段。学生很多优秀品质以及综合素质的培养，都是在这一时间段建立起来的。数学是小学阶段非常重要的一门学科，也是当前我国社会建设，应用最为广泛的一门基础学科。生活中的购物买卖，学习中的数据运算、逻辑推理，工作中的会计核算，计算机编程等，全部都离不开数学的应用，可以说人们的生活离不开数学。
一、基于模型思想的小学数学教学中存在的问题
就目前来看，很多教师对模型思想教学缺乏系统的认识，应用水平较低，模型思想教学和实际的教学内容融合度欠缺，难以发挥真正的作用，教学效果也不甚理想。以下是结合实践和本人自身经验对小学的教学现状进行分析总结出来的几个主要问题，仍需相关教师进一步改进和完善，从而提升数学教学的有效性。
（一）对数学模型思想的认知过于片面
现阶段，仍有很多教师对数学模型的认识不够全面，依然认为只有当涉及到一些比较复杂的数学知识的教学过程中，才适合应用数学模型这项教学手段。相对来讲，小学生的思维能力较差，大部分教师认为小学生无法理解数学模型的应用方法、无法利用数学模型的方式解决实际的数学问题。教师的这种思想本身就是一种受限的表现，在这种情况下，难以对学生进行正确的引导。就事实而言，数学模型本身的应用是不受限制的，具有丰富的内涵定义。弗里德曼曾经说过，“学校数学的任何一个概念都是一个数学模型。数学模型思想是数学的基本思想之一”。
（二）对非常规数学问题接纳度较低
在实际的教学过程中，学生偶尔会向教师提出一些非常规的数学问题，针对这种现象，教师可能会感觉到不习惯，甚至会产生一种排斥和抵抗的心理。非常规问题是一些现实意义较强的问题，通常情况下，这类非常规数学问题一般表现于问题的解决理由缺乏科学性、无关信息的内容过多，甚至是一些学生自己主动制造的问题，虽然已经做出了相应的答案，然而答案的准确性仍需进一步验证。针对这个问题，教师如果没有进行正确的引导，学生就会丧失很多应用数学模型解决实际问题的经历，学生对数学问题的理解和解题思路也会受到限制，不仅不能達到培养学生创新意识和探索意识的目的，更可能会打击学生的自信心。
（三）对应用数学模型解决问题的自觉性较低
人们在遇到数学问题的时候，自身的思维会出现一个逐渐转变的过程：首先需要明确该数学问题所想表达的真正意义，其次是经过思考制定合理的解决办法，有一个大致的解题思路，接下来就是进行正式的解题环节，最后进行检查和回顾。然而在实际的教学当中，很多教师对这四个流程缺乏全面的了解，并且也没有过多关注这方面的内容，这样就无法为学生树立正确的方向，难以在教学当中为学生提供专业的指导，在这种情况下，不利于学生掌握数学模型方法的应用和特点。
二、小学数学教学渗透模型思想的教学策略探析
（一）知识感知，由生活到模型
从课标描述可知，模型思想的形成主要包括模型建立和模型求解。数学知识包括概念、定理、规律、法则、性质等，它们都可以用数量关系式即数学模型来描述。学生对数学知识的理解与构建过程就是数学模型思想的形成过程，要较好地实现这个过程的学习目标，既依赖于学生对事物的表象认识，更依赖于学生抽象、概括、归纳的思维能力。
人对事物的认知是由感性到理性的过程，感性认识是认知的基础，理性认识则是对信息或表象进行处理或加工后的产物。教学时，首先要提供形式多样且内涵丰富的素材让学生充分感知，为形成理性认识夯实根基。如“比”概念的建立，教材仅给出两个感知素材：一是杨利伟在太空中展示中国国旗和联合国旗及其长宽数据之比，二是介绍“神州五号”绕地球一周的路程和时间数据之比。这两个素材可以引导学生建立“比”的概念，但学生对“比”的认识则属肤浅。如果再引入班级男女学生数之比、混凝土的水泥与砂石量之比等，那么学生既能认识到“比”是表征两个事物间某方面的数量关系特点，又能领悟到生活中“比”事物的普遍性。其次是引导学生建立数学模型。如“比”的数量关系特点，可提出下列问题促进学生思考：“你可以采用怎样的数学形式说明这种特点呢？”“它们是加减乘除的关系吗？”“还可以怎样表示呢？”对这些问题，学生既要做由具体生活到数学模型的辨析性思考，又要做归纳与概括的抽象性思考，这就是认知过程中的理性认识的形成过程。
应用现实生活中的实例，往往可以加深学生对于知识的理解能力。在日常生活中，学生对于父母及家人都非常的了解，利用家庭的因素对学生进行系统的教学，可以起到意想不到的积极效果，同时还能调动学生对于数学学习的热情。教师通过适当的指导，使学生认识到数学之间的逻辑关系，进而使学生的发散思维得到更好的培养，综合素质得以具体的展现。
（二）知识内化，由模型到生活
认识过程包括两次飞跃，一是由实践到认识，即由感性认识到理性认识，二是由认识到实践，即把理性认识用于实践并接受实践的检验。作为数学模型思想的孕育，教学中必须促使学生完成这两个认识飞跃，也称感知飞跃与内化飞跃。 在某类问题的数学模型建立后，完成认识到实践的教学过程就是把数学模型用于具体化的生活描述，这就是模型到生活的教学过程。如分数概念模型建立后，教师就可以给出某个分数（如1/4要求学生描述。这是一种开放性的问题，通常每个学生都能描述，但就他们对分数内涵理解来说，却存在着思想差异。如下面事例：
①一个西瓜切成四块，每一块就是整个西瓜的1/4;
②早上六点到12点这段时间是一天时间的1/4;
③我家早餐费用是一天膳食费用的1/4;
不难看出，事例①中，学生对数学模型应用仅是以具体实物为主的形象思维;事例②中的数学模型应用，既包含着具体数据和时间段的形象思维，又包含着6/24数学演绎的逻辑思维;事例③中，既包含着膳食品种的形象思维，又包含对食品价格与数量的分析与统计思维及实物转化为货币的抽象思维。应该说，后者对数学模型思想的理解更深刻，蕴含着个性化的见解。所谓知识内化，就是将看、听、想等所形成的知识经过内证思维活动转化为个性化的认知体系，这种对知识的内化过程，也正是数学模型思想的形成与发展过程。
（三）解题应用，由问题到模型
渗透模型思想教育的焦点在于解题中的应用教学。解题活动是学生形成数学模型思想的必要且重要过程。解题活动是“问题→模型→结论”的数学演变，其中既蕴含着数学模型的类化辨析，又包含着数学模型的再度构建，还伴随着数学模型的演绎与推理，有时还涉及结论的探讨。教学活动中的“问题到模型”，即以问题为起点而引导学生建立数学模型并解决问题的过程。渗透模型思想教育的最佳载体是数学应用题，解题的关键是数学模型的构建，因为其中蕴含着解题者对模型思想的灵活运用。如下面问题：
猎豹是世界上跑得最快的动物，速度能达到每小时110km，比大象的2倍还多30km，大象最快能达到每小时多少千米？本问题至少有如下三种解法：
1.方程模型：设大象的速度为x，即2x+30=110;
2.算式模型：（110-30）是大象速度的2倍，那么大象速度为：（110-30）÷2;
3.比例模型：设大象速度x，（110-30）是大象速度的2倍，即x：（110-30）=1：2。
上面解法中，所建立数学模型有区别，思维活动也不同。方程模型思维切入点是建立两者速度的等量关系，算式模型思维切入点是列出大象速度的计算式，比例模型思维切入点是确定两者速度的比例关系，在求解模型过程中，比例模型既可以转化为方程模型，也可以转化为算式模型。以上足以显示了模型思想的活力思维。所谓数学模型思想的培养，就是要着重培养学生这种灵活的数学模型思维。解题应用中还牵涉到求解模型，其实质就是对原理、定理、法则的运用，因此，解题应用教学的重点就是由问题到构建数学模型思维的启迪和引导。要善于铺垫启发，给学生足够的独立思考时间，切不可越俎代庖。
在小学数学教学的过程中，教师通过不断的提问，可以更好的对学生学习数学知识，进行引领。从而学生的思辨能力，以及空间想象能力，得到更好的培养。利用问题对学生进行教学指导。让问题变得更加生动形象。在对学生进行问题教学期间，要理解“问题”的设定，才是指引学生兴趣的具体方法。因此，在具体教学方法的应用上，既可注意情境的合理应用，还要注意问题的合理铺设。情境是为了问题而服务。
（四）解题创新，由模型到问题
关于实践与认识，马克思主义认为：实践不仅是认识的来源，而且是认识发展的动力。学习中，学生模型思想的形成离不开生活实践。“模型举例”是一种实践，解题应用也是一种实践，前一种实践是孕育认识，后一种实践则是发展认知。为促进学生对数学模型思想更好把握和灵活运用，引导学生依据某类数学模型来编制习题则是最佳的教学方式。编题即由模型到问题，它首先要求对数学模型内涵有着较好的理解，其次要求具有一定的数学模型再构建能力，其三还要求把数学模型转化为实际问题情境的能力。由模型到问题的编题，既是一种研究性的实践，也是一种解题创新。
引导学生围绕数学模型来编题，首先要给出一定的要求，如包含“分数除法”的问题;其次对问题情境作适当要求，如必须是“三个事物”间的数量关系;其三是要求建立一个或多个数学模型求解。要编好这类题目，要求对“分数”内涵有着深刻的认识、对“分數除法”模型有着很好的把握，还要求具有一定生活常识与经验。如学生编拟的如下问题：
综上所述，由生活到模型是引导学生对模型思想的认识，由模型到生活是促使学生对模型思想的理解，由问题到模型是训练学生对模型思想的运用，而由模型到问题则是开发模型思想运用方面的活力思维，实践创新就是从活力思维起步。
参考文献：
[1]杨启贤主编.《数学思想方法解读》.河南大学出版社，2012年05月
[2]欧阳康著.《马克思主义认识论研究》.北京师范大学出版社，2017年06月
【关键词】模型思想 生活 模型 应用 创新
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）40-0001-02
数学模型思想，指用数学语言模式描述现实事物间数量关系或空间形式的方法。《数学课程标准》明确指出了模型思想教育的过程与途径：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。本文就小学数学渗透模型思想教育的问题，谈谈个人的认识。
小学是人生系统教育的关键时期。同时，这个时期也是学生性格形成的重要阶段。学生很多优秀品质以及综合素质的培养，都是在这一时间段建立起来的。数学是小学阶段非常重要的一门学科，也是当前我国社会建设，应用最为广泛的一门基础学科。生活中的购物买卖，学习中的数据运算、逻辑推理，工作中的会计核算，计算机编程等，全部都离不开数学的应用，可以说人们的生活离不开数学。
一、基于模型思想的小学数学教学中存在的问题
就目前来看，很多教师对模型思想教学缺乏系统的认识，应用水平较低，模型思想教学和实际的教学内容融合度欠缺，难以发挥真正的作用，教学效果也不甚理想。以下是结合实践和本人自身经验对小学的教学现状进行分析总结出来的几个主要问题，仍需相关教师进一步改进和完善，从而提升数学教学的有效性。
（一）对数学模型思想的认知过于片面
现阶段，仍有很多教师对数学模型的认识不够全面，依然认为只有当涉及到一些比较复杂的数学知识的教学过程中，才适合应用数学模型这项教学手段。相对来讲，小学生的思维能力较差，大部分教师认为小学生无法理解数学模型的应用方法、无法利用数学模型的方式解决实际的数学问题。教师的这种思想本身就是一种受限的表现，在这种情况下，难以对学生进行正确的引导。就事实而言，数学模型本身的应用是不受限制的，具有丰富的内涵定义。弗里德曼曾经说过，“学校数学的任何一个概念都是一个数学模型。数学模型思想是数学的基本思想之一”。
（二）对非常规数学问题接纳度较低
在实际的教学过程中，学生偶尔会向教师提出一些非常规的数学问题，针对这种现象，教师可能会感觉到不习惯，甚至会产生一种排斥和抵抗的心理。非常规问题是一些现实意义较强的问题，通常情况下，这类非常规数学问题一般表现于问题的解决理由缺乏科学性、无关信息的内容过多，甚至是一些学生自己主动制造的问题，虽然已经做出了相应的答案，然而答案的准确性仍需进一步验证。针对这个问题，教师如果没有进行正确的引导，学生就会丧失很多应用数学模型解决实际问题的经历，学生对数学问题的理解和解题思路也会受到限制，不仅不能達到培养学生创新意识和探索意识的目的，更可能会打击学生的自信心。
（三）对应用数学模型解决问题的自觉性较低
人们在遇到数学问题的时候，自身的思维会出现一个逐渐转变的过程：首先需要明确该数学问题所想表达的真正意义，其次是经过思考制定合理的解决办法，有一个大致的解题思路，接下来就是进行正式的解题环节，最后进行检查和回顾。然而在实际的教学当中，很多教师对这四个流程缺乏全面的了解，并且也没有过多关注这方面的内容，这样就无法为学生树立正确的方向，难以在教学当中为学生提供专业的指导，在这种情况下，不利于学生掌握数学模型方法的应用和特点。
二、小学数学教学渗透模型思想的教学策略探析
（一）知识感知，由生活到模型
从课标描述可知，模型思想的形成主要包括模型建立和模型求解。数学知识包括概念、定理、规律、法则、性质等，它们都可以用数量关系式即数学模型来描述。学生对数学知识的理解与构建过程就是数学模型思想的形成过程，要较好地实现这个过程的学习目标，既依赖于学生对事物的表象认识，更依赖于学生抽象、概括、归纳的思维能力。
人对事物的认知是由感性到理性的过程，感性认识是认知的基础，理性认识则是对信息或表象进行处理或加工后的产物。教学时，首先要提供形式多样且内涵丰富的素材让学生充分感知，为形成理性认识夯实根基。如“比”概念的建立，教材仅给出两个感知素材：一是杨利伟在太空中展示中国国旗和联合国旗及其长宽数据之比，二是介绍“神州五号”绕地球一周的路程和时间数据之比。这两个素材可以引导学生建立“比”的概念，但学生对“比”的认识则属肤浅。如果再引入班级男女学生数之比、混凝土的水泥与砂石量之比等，那么学生既能认识到“比”是表征两个事物间某方面的数量关系特点，又能领悟到生活中“比”事物的普遍性。其次是引导学生建立数学模型。如“比”的数量关系特点，可提出下列问题促进学生思考：“你可以采用怎样的数学形式说明这种特点呢？”“它们是加减乘除的关系吗？”“还可以怎样表示呢？”对这些问题，学生既要做由具体生活到数学模型的辨析性思考，又要做归纳与概括的抽象性思考，这就是认知过程中的理性认识的形成过程。
应用现实生活中的实例，往往可以加深学生对于知识的理解能力。在日常生活中，学生对于父母及家人都非常的了解，利用家庭的因素对学生进行系统的教学，可以起到意想不到的积极效果，同时还能调动学生对于数学学习的热情。教师通过适当的指导，使学生认识到数学之间的逻辑关系，进而使学生的发散思维得到更好的培养，综合素质得以具体的展现。
（二）知识内化，由模型到生活
认识过程包括两次飞跃，一是由实践到认识，即由感性认识到理性认识，二是由认识到实践，即把理性认识用于实践并接受实践的检验。作为数学模型思想的孕育，教学中必须促使学生完成这两个认识飞跃，也称感知飞跃与内化飞跃。 在某类问题的数学模型建立后，完成认识到实践的教学过程就是把数学模型用于具体化的生活描述，这就是模型到生活的教学过程。如分数概念模型建立后，教师就可以给出某个分数（如1/4要求学生描述。这是一种开放性的问题，通常每个学生都能描述，但就他们对分数内涵理解来说，却存在着思想差异。如下面事例：
①一个西瓜切成四块，每一块就是整个西瓜的1/4;
②早上六点到12点这段时间是一天时间的1/4;
③我家早餐费用是一天膳食费用的1/4;
不难看出，事例①中，学生对数学模型应用仅是以具体实物为主的形象思维;事例②中的数学模型应用，既包含着具体数据和时间段的形象思维，又包含着6/24数学演绎的逻辑思维;事例③中，既包含着膳食品种的形象思维，又包含对食品价格与数量的分析与统计思维及实物转化为货币的抽象思维。应该说，后者对数学模型思想的理解更深刻，蕴含着个性化的见解。所谓知识内化，就是将看、听、想等所形成的知识经过内证思维活动转化为个性化的认知体系，这种对知识的内化过程，也正是数学模型思想的形成与发展过程。
（三）解题应用，由问题到模型
渗透模型思想教育的焦点在于解题中的应用教学。解题活动是学生形成数学模型思想的必要且重要过程。解题活动是“问题→模型→结论”的数学演变，其中既蕴含着数学模型的类化辨析，又包含着数学模型的再度构建，还伴随着数学模型的演绎与推理，有时还涉及结论的探讨。教学活动中的“问题到模型”，即以问题为起点而引导学生建立数学模型并解决问题的过程。渗透模型思想教育的最佳载体是数学应用题，解题的关键是数学模型的构建，因为其中蕴含着解题者对模型思想的灵活运用。如下面问题：
猎豹是世界上跑得最快的动物，速度能达到每小时110km，比大象的2倍还多30km，大象最快能达到每小时多少千米？本问题至少有如下三种解法：
1.方程模型：设大象的速度为x，即2x+30=110;
2.算式模型：（110-30）是大象速度的2倍，那么大象速度为：（110-30）÷2;
3.比例模型：设大象速度x，（110-30）是大象速度的2倍，即x：（110-30）=1：2。
上面解法中，所建立数学模型有区别，思维活动也不同。方程模型思维切入点是建立两者速度的等量关系，算式模型思维切入点是列出大象速度的计算式，比例模型思维切入点是确定两者速度的比例关系，在求解模型过程中，比例模型既可以转化为方程模型，也可以转化为算式模型。以上足以显示了模型思想的活力思维。所谓数学模型思想的培养，就是要着重培养学生这种灵活的数学模型思维。解题应用中还牵涉到求解模型，其实质就是对原理、定理、法则的运用，因此，解题应用教学的重点就是由问题到构建数学模型思维的启迪和引导。要善于铺垫启发，给学生足够的独立思考时间，切不可越俎代庖。
在小学数学教学的过程中，教师通过不断的提问，可以更好的对学生学习数学知识，进行引领。从而学生的思辨能力，以及空间想象能力，得到更好的培养。利用问题对学生进行教学指导。让问题变得更加生动形象。在对学生进行问题教学期间，要理解“问题”的设定，才是指引学生兴趣的具体方法。因此，在具体教学方法的应用上，既可注意情境的合理应用，还要注意问题的合理铺设。情境是为了问题而服务。
（四）解题创新，由模型到问题
关于实践与认识，马克思主义认为：实践不仅是认识的来源，而且是认识发展的动力。学习中，学生模型思想的形成离不开生活实践。“模型举例”是一种实践，解题应用也是一种实践，前一种实践是孕育认识，后一种实践则是发展认知。为促进学生对数学模型思想更好把握和灵活运用，引导学生依据某类数学模型来编制习题则是最佳的教学方式。编题即由模型到问题，它首先要求对数学模型内涵有着较好的理解，其次要求具有一定的数学模型再构建能力，其三还要求把数学模型转化为实际问题情境的能力。由模型到问题的编题，既是一种研究性的实践，也是一种解题创新。
引导学生围绕数学模型来编题，首先要给出一定的要求，如包含“分数除法”的问题;其次对问题情境作适当要求，如必须是“三个事物”间的数量关系;其三是要求建立一个或多个数学模型求解。要编好这类题目，要求对“分数”内涵有着深刻的认识、对“分數除法”模型有着很好的把握，还要求具有一定生活常识与经验。如学生编拟的如下问题：
综上所述，由生活到模型是引导学生对模型思想的认识，由模型到生活是促使学生对模型思想的理解，由问题到模型是训练学生对模型思想的运用，而由模型到问题则是开发模型思想运用方面的活力思维，实践创新就是从活力思维起步。
参考文献：
[1]杨启贤主编.《数学思想方法解读》.河南大学出版社，2012年05月
[2]欧阳康著.《马克思主义认识论研究》.北京师范大学出版社，2017年06月