二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握；二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题、填空题，偶尔也会有大题出现.本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用.
　　一、 求二项展开式
　　1． “(a+b)”型与“(a-b)”型的展开式
　　例1 求(1-x)5(1+x+x2)5的展开式
　　分析：由anbn=(ab)n知，原式可变形为(1-x3)5再展开，比直接展开简便.
　　解：(1-x)5(1+x+x2)5=(1-x3)5=c05-c15x3+c25x6-c35x9+c45x12-c55x15
　　=1-5x3+10x6-10x9+5x12-x15
　　点评：熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时先化简再展开更便于计算；这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的.
　　2． 二项式展开式的“逆用”
　　例2 求Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn.
　　分析：本题系教材习题,若注意二项式定理展开式的特征和组合数的性质，“反序逆用定理求和”使问题简单化.
　　解：∵Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn,Sn=nCnn+(n-1)Cn-1n+…+2C2n+C1n
　　∴2Sn=nCnn+nC1n+nC2n+…+nC0n=n2n,∴Sn=n•2n-1
　　点评：逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用.
　　二、 通项公式的应用
　　1． 确定二项式中的有关元素
　　例3 若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是（ ）
　　A． -2 B. 22
　　C. 34D. 2
　　解析：(ax-1)5的展开式中x3的系数C25(ax)3•(-1)2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，选D.
　　2． 确定二项展开式的常数项
　　例4 已知x2-1xn的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）
　　A. -1 B. 1
　　C. -45 D. 45
　　解：第三项的系数为C2n，第五项的系数为C4n，由第三项与第五项的系数之比为314可得n＝10，则Tr+1＝Cr10(x2)10-r-1xr=(-1)rCr10x40-5r2，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为(-1)8C810=45，选D.
　　3． 求单一二项式指定幂的系数
　　例5 在x-2x7的展开式中，x2的系数中 （用数字作答）.
　　解：Tr+1=Cr7(x)7-r-2xr=(-2)rCr7x7-3r2令7-3r2=2得r＝1故x2的系数为(-2)×C17=-14
　　三、 求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数
　　例6 设(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，则a3= 
　　解：利用等比数列求和公式：左边=(1+x)51-(1+x)x-(1+x)-(1+x)2，易见a3为(1+x)51的展开式中含x4项的系数：a3=C451.
　　点评：对二项式(a+b)n型的一些代数式展开求特定项或系数问题，常化归成二项式利用展开式的通项公式或通项公式推导中组合数模型构造法去思考解决.
　　四、 利用二项式定理的性质解题
　　1. 求中间项
　　例7 求x+13x10的展开式的中间项；
　　解：∵Tr+1=Cr10(x)10-r-13xr,
　　∴展开式的中间项为C510(x)5-13x5 即：-252x56.
　　当n为奇数时，(a+b)n的展开式的中间项是Cn-12nan+12bn-12和Cn+12nan-12bn+12；
　　当n为偶数时，(a+b)n的展开式的中间项是Cn2nan2bn2.
　　2. 求有理项
　　例8 求(5+37)100的展开式中有多少项有理项.
　　解：由Tk+1=Ck1005100-k27k3知：100-k2,k3均为整数时，Tk+1为有理数
　　因此k为6的倍数，且0≤k≤100.即k为0,6,12,…,96时，展开式中共有17项有理数.
　　点评：① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.
　　
　　五、 利用二项式定理求近似值
　　例9 某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为 (精确到0.001)
　　简析：100天后该公司的股票指数为21+21000100=2(1+0.002)100
　　=2•(1+C1100×0.002+C21000.0022+C31000.0023+…)≈2(1+0.2+0.0198+0.0012936)=2.442
　　点评：由(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,…,xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1+x)n≈1+nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1+x)n≈1+nx+n(n-1)2x2.
　　利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值.
　　六、 利用二项式定理证明整除或求余问题
　　例10 求9192除以100的余数.
　　解:9192=(100-9)92=10092-C19210091•9+C29210090•92-…-C9192100•991+992
　　前面各项均能被100整除.只有992不能被100整除
　　992=(10-1)92=1092-C1921091+C2921090-…+C9092102-C919210+(-1)92
　　=1092-C1921091+C2921090-…+C9092102-920+1
　　=1092-C1921091+C2921090-…+C9092102-1000+81
　　可见9192被100除的余数是81.
　　点评：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数.这是解此类问题的最常用技巧.余数要为正整数.
　　七、 利用二项式定理证明等式
　　例11 求证：C1n+2C1n+3C2n+…+nCnn=n•2n-1
　　分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为C0n=Cnn,C1n=Cn-1n…Crn=Cn-rn由此分析求解
　　解：设Sn=0•C0n+C1n+2C1n+3C3n+…(n-1)Cn-1n+nCnn
　　Sn=nC0n+(n-1)C1n+(n-2)C2n+…+Cn-1n+0•Cnn
　　两式相加：2Sn=n(C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn)
　　Sn=n•2n-1
　　点评：利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法,证明等式常用下面的等式：
　　C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n；C0n+C2n+C4n+…=2n-1；C1n+C3n+C5n+…=2n-1；Crn=Cn-rn；mCmn=nCm-1n-1等.
　　八、 利用二项式定理证明不等式
　　例12 已知n∈N*,求证：nn＜2
　　分析：nn＜2n＜2n,令f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx1+C2nx2+…+Cnnxn
　　则2n=f(1)=C0n+C1n+C2n+…+Cnn＞C1n=n
　　故n∈N*,有n＜2n,即nn＜2.
　　点评：构造二项式模型，避开了数学归纳法，简化证明过程.
　　解决与二项式有关的问题时，一定要注意观察、发现、总结变化规律，这是解决这类问题的关键.