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【摘要】本文论述有效开展数学教学要遵循学生的思维轨迹，设计符合学生认知能力的数学问题，构建思维自然生成的氛围，启发学生逐层深入探究新知，提升学生的思维品质，提高数学课堂教学的有效性。
【关键词】小学数学 有效教学 思维轨迹 思维发展
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）03A-0123-02
学生的思维轨迹，代表着学生对事物探知的具体路径，同时其思维的规律也代表着学生分析问题的具体方法。教师应注重学生思维方式的发展，重视思维的引导、发展和维护，并促成学生探究性思维、创造性思维的有效发生。本文针对如何在数学教学中遵循学生的思维轨迹以达成有效教学进行探究。
一、關注原始思维的起点，激发学习的主动性
在日常备课中，教师在设计教学某一个知识点时，大多是从知识的层次、知识的重点、难点以及需要学生掌握某项经验、技能出发，往往忽视学生刚接触这个知识点的第一印象，即学生原始的思维状态。每个学生都有各自不同的思维方式，而且因为生活环境及生活经验的不同，往往会有独特的思维模式，因此他们的思考方向、思维结果可能与教师的教学预设存在偏差。当课堂上出现了非预设的知识生成时，我们该怎么办？我们是否还要把学生拉回到既定的教学思路上？笔者认为，教师要充分尊重每个学生的原始思维，要学会因材施教，并顺应其思维路径，引导学生主动地学习，有效构建新的知识体系。
在一次教学点调研活动中，笔者发现一位教师在教学《小数乘小数》一课时，开课伊始首先出示了一道乘法计算题4.2×3.7，让学生尝试计算。结果出乎教师的意料，有不少学生的计算结果为“155.4”。为什么会出现这样的错误呢？教师请其中一名答错的学生说说自己的想法。该生答道：“小数的计算应该要保证小数点对齐，这是老师之前在小数加减法教学时说过的。”教师在感到诧异的同时，也洞悉了学生的原始思维。
小学生对新知识还没有全面、有效的了解时，通常会利用自身已有的经验进行新知探究，这也是基于原始思维的学习起点的重要因素。此时，如果直接否定或忽视学生的真实想法，或直接进入结论或方法的讲授，学生的思维就很难得到有效发展。同时，在已有知识向新知识迁移的过程中，教师要引导学生找出新旧知识间的“同”与“异”，在让学生明白其相同点的基础上，促使他们思考“异”。
在接下来的教学中，执教教师抛出一个问题：“小数乘小数可以在一定的情况下将小数点对齐，但是如果要计算3.72×4.2或0.42×0.3，又该如何对齐呢？”通过小组合作、探究、分析、交流，学生讨论得出计算方法：首先按照整数乘法的计算方法计算，看因数一共有几位小数，再从积的右边起数出几位，点上小数点;当位数不够时，要添“0”补足。在基本算法归纳出来后，教师及时呈现“小数乘小数”计算方法的顺口溜：“小数乘法整数算，不同之处积中看。看好因数小数位，小数点儿积中点。小数末尾如有0，根据性质把0删。切记先点再删0，否则错误连成片。”在整节课的学习中，学生对学习充满兴趣，他们积极思考，运用发现的规律解决问题，收到了令人满意的教学效果。
教师要更多地关注学生的原始思维，引导学生个性化思考，真正落实“教是为了更好地促进学”的目标要求;更要有换位意识，要站在学生的角度设计教学流程，针对学生“可能会怎样学”思考相应的对策，尽可能让所有的学生都得到表现和发展。
二、关注多向思维的发展，增强学习的灵活性
在解决数学问题时，教师要充分发挥组织者、引导者和参与者的角色作用，努力开发学生的大脑智慧，让学生大胆猜想，多角度思考问题，促使不同的思维方法的呈现。正是这些“不同”，让我们的数学课堂充满了精彩。
（一）创设问题情境，激发学生多向思维
认知始于问题。能否让问题成为知识的纽带，使问题贯穿于教学的全过程，关键在于教师能否设计出易于产生问题的教学情境。从小学数学教学的角度来看，数学问题情境的创设一般有两种途径：一是让学生在日常生活中挖掘数学知识的原型;二是在原有的知识基础和生活经验上制造新的认知冲突。
例如，在教学人教版数学五年级上册《平行四边形的面积》时，教师可先让学生猜想怎样求平行四边形的面积。由于受长方形面积公式的定势干扰，大部分学生认为用邻边相乘。教师随即演示“拉动平行四边形木框”，然后提问：“邻边长度不变，为什么面积却发生了变化？平行四边形的面积究竟与什么有关？”这样在新旧知识的联结点上提出问题，既新奇又有挑战性，促使学生的思维产生冲突，进而促进学生对数学的理解。
课堂教学中，教师还可以通过由表及里、由浅入深、层层深入、环环相扣等问题序列的设计，让学生在解决一次又一次的认知矛盾冲突中自主构建、反思升华、提炼思维，从而让数学理解不断向纵深推进。例如四年级上册《角的度量》一课，教师设计了如下的问题串：①如果在比较角的大小时，得出的结果不精确应该怎么办？——由此引出用单位小角来测量角的大小;②如果用单位小角测量不方便时应该怎么办？——由此引出可以把单位小角合并的半圆工具;③如果半圆工具在测量过程中也不准确，应该怎么办？——由此引出可以把单位小角划分得小一点;④可是划分小一点后的读数不方便，应该怎么办？——由此引出可以加刻度，这样可以方便读数，从而引出量角器的两圈刻度。通过这一系列问题的设计，学生循着量角器设计者的思维轨迹，正确地掌握了量角的具体方法和实施步骤，也明白了其中蕴含的数学原理，不仅体现了逻辑上的层次性，更体现了思维过程螺旋上升的生成性。
（二）设计开放性问题，激发学生多向思维
开放题是培养学生创新精神和实践能力的重要载体，设计开放性的问题，可以有效地激发学生的多向思维。教学中，教师要依据学生的年龄特点和认知规律，精心设计出具有探索性和开放性的问题。编制开放题的关键在于制造认知空隙，拓宽学生的思维活动空间。这种认知空隙不能太大，也不能太小。太大，学生无力填补，会挫伤积极性;太小，不利于充分激活学生的创新思维。 编制开放题，一般可以从以下几个方面入手：
1.条件开放：设计条件多余或不充分的问题，要求学生对现有条件进行重组、筛选、补充。
2.结论开放：学生在解答问题时联系实际考虑可能出现的种种情况，得出不同的答案，有效地引导学生摆脱“答案唯一”的僵化思维模式。
3.解题策略开放：学生在解题过程中，可以采用不同的方法和策略来寻求答案，培养学生多向思维的能力。
在教学六年级数学上册《整数除以分數》时，教师出示例题：一辆汽车[25]小时行驶18千米，1小时行驶多少千米？学生根据教材呈现的线段图开展了小组讨论：这道题可以怎样算？试图让学生自主建立“一个数除以分数”的模型。通过交流，学生得到：18÷2×5、18÷[25]及18×[52]（2份为1倍，5份是[52]倍）等几种算法，让学生充分感受到一个问题可以有多种不同的解题方法，又使学生在解决分数问题和整数问题之间建立联系，达到知识的融会贯通。可见，在实际教学中教师要为学生排除思维定势的干扰，并为他们的数学思考创造更多的条件，从而让学生明白多角度分析问题的意义。
三、重视问题反思，提升学生的数学理解能力
数学理解要靠学生对知识的自主构建才能达成，而自主构建又靠不断反思、调整重建得以实现。因此，教师要想方设法引导学生进行自我反思，在反思上实现自我更新，提高学习能力。
（一）加强过程性反思
过程性反思指的是在学习过程中，需要不断地回顾以往的想法，在不同的时间段，面对相同的问题，往往会有不一样的感知，这就需要教师在不同的环境条件下，引导学生反思自己的思维过程，找出不足之处，并及时纠正。在教学过程中，教师可以设计如下问题引导学生进行反思：“刚开始是如何思考的？在这个过程中碰到难题又是如何解决的？”“为什么会遇到这些难题呢？在解决问题的过程中有没有发现一些规律性的东西？”“你的方法和别人的方法有不同的地方吗？这其中的不同之处体现在哪些方面？为什么会出现这样的不同？”“在这个过程中，有没有适当地做出改变？为什么会做出这些改变？”“独立思考的时候，有没有提前做出预测，并做出统一的规划管理？”
（二）促进经验性反思
经验性反思指的是要正确引导学生总结学习经验，学会寻找不同方法的优劣之处，寻找知识的纵向、横向联系，从而积累数学活动经验，促进对数学知识的理解。教学时教师可设计下列问题引导学生进行经验性反思：“现在的问题和之前的问题有什么不一样的地方吗？”“有没有把今天学的新知识和以往的知识联系在一起？”“解决这些问题有没有共同之处？”
（三）重视错误性反思
重视错误性反思，指的是在帮助学生解决问题的过程中，找准错误的根源，找到有效的解决办法，实现对数学知识的真正理解。例如，当学生出现“0.75÷0.12=6……3”的典型错误时，教师首先引导学生观察分析：“你从哪儿看出余数有问题？”接着引导学生独立思考，找出解决问题的方法：和除数作对比;和被除数作对比;对运算结果进行验算，这样可以确保正确率。然后，教师再提出问题：“为什么这道题会出错？出错的根源在哪儿？怎样纠正？你的理由是什么？”这样教学，学生在“知其错”的同时，也找到了“知其所以错”的根源，进一步提高学生的学习能力，以便在下次遇到类似的题型时学会冷静思考、沉稳而灵活应对。
总之，有效的数学教学不仅要求教师能直面数学的本质和学生的真实需求，还要以学生为主体，尊重学生的思维模式，循着学生的思维轨迹，设计适合学生认知能力的数学问题，保持开放性的教学心态，构建思维自然生长的氛围，启发学生对知识探究的逐层深入，并注重学生自身的反思作用，提升他们的数学思维品质，进而提高数学课堂教学的有效性。
作者简介：杨海生（1978— ），男，汉族，广西钦州人，中小学一级教师，大专学历，现任广西北海市银海区平阳学校副校长，先后获得“北海市学校安全管理工作先进个人”“银海区优秀教师”等荣誉称号，研究方向：小学数学教学与研究。
（责编 林 剑）
【关键词】小学数学 有效教学 思维轨迹 思维发展
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）03A-0123-02
学生的思维轨迹，代表着学生对事物探知的具体路径，同时其思维的规律也代表着学生分析问题的具体方法。教师应注重学生思维方式的发展，重视思维的引导、发展和维护，并促成学生探究性思维、创造性思维的有效发生。本文针对如何在数学教学中遵循学生的思维轨迹以达成有效教学进行探究。
一、關注原始思维的起点，激发学习的主动性
在日常备课中，教师在设计教学某一个知识点时，大多是从知识的层次、知识的重点、难点以及需要学生掌握某项经验、技能出发，往往忽视学生刚接触这个知识点的第一印象，即学生原始的思维状态。每个学生都有各自不同的思维方式，而且因为生活环境及生活经验的不同，往往会有独特的思维模式，因此他们的思考方向、思维结果可能与教师的教学预设存在偏差。当课堂上出现了非预设的知识生成时，我们该怎么办？我们是否还要把学生拉回到既定的教学思路上？笔者认为，教师要充分尊重每个学生的原始思维，要学会因材施教，并顺应其思维路径，引导学生主动地学习，有效构建新的知识体系。
在一次教学点调研活动中，笔者发现一位教师在教学《小数乘小数》一课时，开课伊始首先出示了一道乘法计算题4.2×3.7，让学生尝试计算。结果出乎教师的意料，有不少学生的计算结果为“155.4”。为什么会出现这样的错误呢？教师请其中一名答错的学生说说自己的想法。该生答道：“小数的计算应该要保证小数点对齐，这是老师之前在小数加减法教学时说过的。”教师在感到诧异的同时，也洞悉了学生的原始思维。
小学生对新知识还没有全面、有效的了解时，通常会利用自身已有的经验进行新知探究，这也是基于原始思维的学习起点的重要因素。此时，如果直接否定或忽视学生的真实想法，或直接进入结论或方法的讲授，学生的思维就很难得到有效发展。同时，在已有知识向新知识迁移的过程中，教师要引导学生找出新旧知识间的“同”与“异”，在让学生明白其相同点的基础上，促使他们思考“异”。
在接下来的教学中，执教教师抛出一个问题：“小数乘小数可以在一定的情况下将小数点对齐，但是如果要计算3.72×4.2或0.42×0.3，又该如何对齐呢？”通过小组合作、探究、分析、交流，学生讨论得出计算方法：首先按照整数乘法的计算方法计算，看因数一共有几位小数，再从积的右边起数出几位，点上小数点;当位数不够时，要添“0”补足。在基本算法归纳出来后，教师及时呈现“小数乘小数”计算方法的顺口溜：“小数乘法整数算，不同之处积中看。看好因数小数位，小数点儿积中点。小数末尾如有0，根据性质把0删。切记先点再删0，否则错误连成片。”在整节课的学习中，学生对学习充满兴趣，他们积极思考，运用发现的规律解决问题，收到了令人满意的教学效果。
教师要更多地关注学生的原始思维，引导学生个性化思考，真正落实“教是为了更好地促进学”的目标要求;更要有换位意识，要站在学生的角度设计教学流程，针对学生“可能会怎样学”思考相应的对策，尽可能让所有的学生都得到表现和发展。
二、关注多向思维的发展，增强学习的灵活性
在解决数学问题时，教师要充分发挥组织者、引导者和参与者的角色作用，努力开发学生的大脑智慧，让学生大胆猜想，多角度思考问题，促使不同的思维方法的呈现。正是这些“不同”，让我们的数学课堂充满了精彩。
（一）创设问题情境，激发学生多向思维
认知始于问题。能否让问题成为知识的纽带，使问题贯穿于教学的全过程，关键在于教师能否设计出易于产生问题的教学情境。从小学数学教学的角度来看，数学问题情境的创设一般有两种途径：一是让学生在日常生活中挖掘数学知识的原型;二是在原有的知识基础和生活经验上制造新的认知冲突。
例如，在教学人教版数学五年级上册《平行四边形的面积》时，教师可先让学生猜想怎样求平行四边形的面积。由于受长方形面积公式的定势干扰，大部分学生认为用邻边相乘。教师随即演示“拉动平行四边形木框”，然后提问：“邻边长度不变，为什么面积却发生了变化？平行四边形的面积究竟与什么有关？”这样在新旧知识的联结点上提出问题，既新奇又有挑战性，促使学生的思维产生冲突，进而促进学生对数学的理解。
课堂教学中，教师还可以通过由表及里、由浅入深、层层深入、环环相扣等问题序列的设计，让学生在解决一次又一次的认知矛盾冲突中自主构建、反思升华、提炼思维，从而让数学理解不断向纵深推进。例如四年级上册《角的度量》一课，教师设计了如下的问题串：①如果在比较角的大小时，得出的结果不精确应该怎么办？——由此引出用单位小角来测量角的大小;②如果用单位小角测量不方便时应该怎么办？——由此引出可以把单位小角合并的半圆工具;③如果半圆工具在测量过程中也不准确，应该怎么办？——由此引出可以把单位小角划分得小一点;④可是划分小一点后的读数不方便，应该怎么办？——由此引出可以加刻度，这样可以方便读数，从而引出量角器的两圈刻度。通过这一系列问题的设计，学生循着量角器设计者的思维轨迹，正确地掌握了量角的具体方法和实施步骤，也明白了其中蕴含的数学原理，不仅体现了逻辑上的层次性，更体现了思维过程螺旋上升的生成性。
（二）设计开放性问题，激发学生多向思维
开放题是培养学生创新精神和实践能力的重要载体，设计开放性的问题，可以有效地激发学生的多向思维。教学中，教师要依据学生的年龄特点和认知规律，精心设计出具有探索性和开放性的问题。编制开放题的关键在于制造认知空隙，拓宽学生的思维活动空间。这种认知空隙不能太大，也不能太小。太大，学生无力填补，会挫伤积极性;太小，不利于充分激活学生的创新思维。 编制开放题，一般可以从以下几个方面入手：
1.条件开放：设计条件多余或不充分的问题，要求学生对现有条件进行重组、筛选、补充。
2.结论开放：学生在解答问题时联系实际考虑可能出现的种种情况，得出不同的答案，有效地引导学生摆脱“答案唯一”的僵化思维模式。
3.解题策略开放：学生在解题过程中，可以采用不同的方法和策略来寻求答案，培养学生多向思维的能力。
在教学六年级数学上册《整数除以分數》时，教师出示例题：一辆汽车[25]小时行驶18千米，1小时行驶多少千米？学生根据教材呈现的线段图开展了小组讨论：这道题可以怎样算？试图让学生自主建立“一个数除以分数”的模型。通过交流，学生得到：18÷2×5、18÷[25]及18×[52]（2份为1倍，5份是[52]倍）等几种算法，让学生充分感受到一个问题可以有多种不同的解题方法，又使学生在解决分数问题和整数问题之间建立联系，达到知识的融会贯通。可见，在实际教学中教师要为学生排除思维定势的干扰，并为他们的数学思考创造更多的条件，从而让学生明白多角度分析问题的意义。
三、重视问题反思，提升学生的数学理解能力
数学理解要靠学生对知识的自主构建才能达成，而自主构建又靠不断反思、调整重建得以实现。因此，教师要想方设法引导学生进行自我反思，在反思上实现自我更新，提高学习能力。
（一）加强过程性反思
过程性反思指的是在学习过程中，需要不断地回顾以往的想法，在不同的时间段，面对相同的问题，往往会有不一样的感知，这就需要教师在不同的环境条件下，引导学生反思自己的思维过程，找出不足之处，并及时纠正。在教学过程中，教师可以设计如下问题引导学生进行反思：“刚开始是如何思考的？在这个过程中碰到难题又是如何解决的？”“为什么会遇到这些难题呢？在解决问题的过程中有没有发现一些规律性的东西？”“你的方法和别人的方法有不同的地方吗？这其中的不同之处体现在哪些方面？为什么会出现这样的不同？”“在这个过程中，有没有适当地做出改变？为什么会做出这些改变？”“独立思考的时候，有没有提前做出预测，并做出统一的规划管理？”
（二）促进经验性反思
经验性反思指的是要正确引导学生总结学习经验，学会寻找不同方法的优劣之处，寻找知识的纵向、横向联系，从而积累数学活动经验，促进对数学知识的理解。教学时教师可设计下列问题引导学生进行经验性反思：“现在的问题和之前的问题有什么不一样的地方吗？”“有没有把今天学的新知识和以往的知识联系在一起？”“解决这些问题有没有共同之处？”
（三）重视错误性反思
重视错误性反思，指的是在帮助学生解决问题的过程中，找准错误的根源，找到有效的解决办法，实现对数学知识的真正理解。例如，当学生出现“0.75÷0.12=6……3”的典型错误时，教师首先引导学生观察分析：“你从哪儿看出余数有问题？”接着引导学生独立思考，找出解决问题的方法：和除数作对比;和被除数作对比;对运算结果进行验算，这样可以确保正确率。然后，教师再提出问题：“为什么这道题会出错？出错的根源在哪儿？怎样纠正？你的理由是什么？”这样教学，学生在“知其错”的同时，也找到了“知其所以错”的根源，进一步提高学生的学习能力，以便在下次遇到类似的题型时学会冷静思考、沉稳而灵活应对。
总之，有效的数学教学不仅要求教师能直面数学的本质和学生的真实需求，还要以学生为主体，尊重学生的思维模式，循着学生的思维轨迹，设计适合学生认知能力的数学问题，保持开放性的教学心态，构建思维自然生长的氛围，启发学生对知识探究的逐层深入，并注重学生自身的反思作用，提升他们的数学思维品质，进而提高数学课堂教学的有效性。
作者简介：杨海生（1978— ），男，汉族，广西钦州人，中小学一级教师，大专学历，现任广西北海市银海区平阳学校副校长，先后获得“北海市学校安全管理工作先进个人”“银海区优秀教师”等荣誉称号，研究方向：小学数学教学与研究。
（责编 林 剑）