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数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈. 纵观近几年各地的中考题，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目，精彩四射.
以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等.
动态几何型试题题目灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点. 下面以各地中考题为例，将动态几何问题进行分类分析.
题型一：点动型
点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究.
1. 单动点型
例1如图,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD ，过D作DE⊥OD ，交AB于点E，连OE，记CD的长为t.
（1） 当t =时,求直线DE的函数表达式；
（2） 若记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在,求出这个最大值及此时t的值;若不存在,请说明理由.
（3）当 OD２+DE2的算术平方根取最小值时,求E点的坐标.
2. 双动点型
例2如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21. 动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动. 设运动的时间为t（秒）.
（1） 设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2） 当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3） 当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4） 是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
3. 多动点型
例3如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O.
（1） 判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2） 如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
① 四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
② 当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论. 类比发现法大致可遵循如下步骤：（1） 根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况. （2） 结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论. （3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.
题型二：线动型
1. 线平移型
例4如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，２（长度单位/秒）.一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点.设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1） 过A，B两点的直线解析式是 ；
（2） 当t=4时，点P的坐标为 ；当t=
，点P与点E重合；
（3） ① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t＝2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP ？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 线旋转型
例5已知：如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
（1） 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2） 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3） 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
题型三：面动型
1. 图形平移型
例6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4．左右做平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E，F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G，H．当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上．
（1） 求△DEF的边长；
（2） 在△DEF做平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3） 假设点C与点F的距离为x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围．
图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系. 本题是一道利用三角板为背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求解我们还可以看出，
三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题，近两年的中考中就频频出现此类问题.
2. 图形旋转型
例7如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
（1） 在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.
① 证明DM＝DN；
② 在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重疊部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2） 继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3） 继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请写出结论，不用证明.
3. 图形翻折型
例8如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=5，且tan∠EDA= ．
（1） 判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2） 求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3） 是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等. 常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系. 解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量.
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
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以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等.
动态几何型试题题目灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点. 下面以各地中考题为例，将动态几何问题进行分类分析.
题型一：点动型
点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究.
1. 单动点型
例1如图,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD ，过D作DE⊥OD ，交AB于点E，连OE，记CD的长为t.
（1） 当t =时,求直线DE的函数表达式；
（2） 若记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在,求出这个最大值及此时t的值;若不存在,请说明理由.
（3）当 OD２+DE2的算术平方根取最小值时,求E点的坐标.
2. 双动点型
例2如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21. 动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动. 设运动的时间为t（秒）.
（1） 设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2） 当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3） 当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4） 是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
3. 多动点型
例3如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O.
（1） 判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2） 如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
① 四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
② 当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论. 类比发现法大致可遵循如下步骤：（1） 根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况. （2） 结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论. （3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.
题型二：线动型
1. 线平移型
例4如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，２（长度单位/秒）.一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点.设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1） 过A，B两点的直线解析式是 ；
（2） 当t=4时，点P的坐标为 ；当t=
，点P与点E重合；
（3） ① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t＝2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP ？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 线旋转型
例5已知：如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
（1） 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2） 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3） 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
题型三：面动型
1. 图形平移型
例6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4．左右做平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E，F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G，H．当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上．
（1） 求△DEF的边长；
（2） 在△DEF做平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3） 假设点C与点F的距离为x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围．
图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系. 本题是一道利用三角板为背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求解我们还可以看出，
三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题，近两年的中考中就频频出现此类问题.
2. 图形旋转型
例7如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
（1） 在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.
① 证明DM＝DN；
② 在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重疊部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2） 继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3） 继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请写出结论，不用证明.
3. 图形翻折型
例8如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=5，且tan∠EDA= ．
（1） 判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2） 求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3） 是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等. 常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系. 解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量.
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文