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众所周知,在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费尔马点.其结论是：若三角形顶角不超过120°,则“费尔马点”就是对各边的张角都是120°的点；若三角形一个顶角等于或大于120°,则“费尔马点”就是最大的内角的顶点.
一个自然的问题是：在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最大的点是哪一点？对于一个确定的三角形,其和的最大值是多少？对于这个问题的结论,有下面的命题.
命题 在三角形内或其边界上的点到三顶点的距离之和的最大值等于三角形的两条大边和,取到最大值的点是三角形的最小角顶点.
要证明这个命题,我们首先来证明下面的几个引理.
引理1 在△ABC中,AB≥AC,点P是边BC上一点,则AP≤AB.
证明如图1,由AB≥AC,所以∠C≥∠B,又∠APB=∠C+∠PAC≥∠C,从而∠APB≥∠B,所以有AP≤AB(显然,当点P在点B处时取得到等号)
引理2 点P是△ABC内或其边界上一点,则BP+PC≤AB+AC(点P在点A处时取到等号).
证明 (1)若点P在△ABC内,如图2,延长BP交AC于点D,则AB+AC=AB+AD+DC≥BD+DC=BP+PD+DC≥BP+PC(前“≥”处,当且仅当A、B、D三点共线,即点P在边AB上时取到等号；后“≥”处,当且仅当P、D、C三点共线,即点P在边AC上取到等号)；
(2)若点P在△ABC的边界上,易知BP+PC≤AB+AC；
综合(1)(2)可得：BP+PC≤AB+AC(点P在点A处时取到等号).
引理3 四边形ABCD满足AB+BC=AD+DC,点P是对角线BD上一点,则AP+PC≤AB+BC.
证明 如图3,连AC,由引理2可知,点B、D分别在AC两侧.因点P是对角线BD上一点,则点P在△ADC或△ABC内或它们的边界上,不妨设点P在△ABC内或其边界上,由引理2知AP+PC≤AB+BC.
引理4 如图4,在凸四边形ABCD中,AC+BC=AD+BD,点P是四边形ABCD内或其边界上一点,则AP+BP≤AC+BC.
证明 记AC与BD交于点O,
(1) 若点P在△ABC内或其边界上、在△ABD内或其边界上,由引理2知：AP+BP≤AC+BC；
(2) 若点P在△OCD内或在边CD上,延长AP交CD于E,连接BE,则BE+AE=BE+EP+AP≥BP+AP；作B点关于直线CD的对称点B′,连接B′E、B′C、B′D,则B′C=BC,B′E=BE,B′D=BD,由AC+BC=AD+BD,知AC+B′C=AD+B′D,点E在DC上,由引理3知B′E+AE≤AC+B′C,从而AP+BP≤AC+BC.
综上所述,AP+BP≤AC+BC,由证明过程容易知道等号当点P在点C、D处时取到.
下面我们来证明前面的命题,也就是要证明：
在△ABC中,已知AC≥BC≥AB,点P是△ABC内或其边界上一点,则PA+PB+PC≤AC+BC(等号在三角形最小角顶点处取到)[TP17-3.TIF，Y，PZ][TS(][JZ]图5[TS)]
证明 (1)若点P在边AB上,则AP+BP=AB,由引理1知：CP≤AC,所以PA+PB+PC≤AC+AB≤AC+BC；
(2)若点P在边CB或AC上,同上可证：PA+PB+PC≤AC+BC；
(3)若点P在△ABC内(如图5),由引理2知：AP+BP＜AC+BC,在边AC、BC上分别取点E、F,使得AE+BE=AF+BF=AP+BP,由引理4知,点P在四边形ABFE外,即在△CEF内,连接CP并延长交FE于H,则CP＜CH,由引理1知CH≤max{CE,CF},不妨设CE≥CF,则max{CE,CF}=CE,故AP+BP+CP＜AE+BE+CE=AC+BE≤AC+BC.
综上所述,可得PA+PB+PC≤AC+BC,在证明过程中可以得到：等号当点P在三角形的顶点处才可能取到,即取到最大两边之和点在最小角顶点处.
值得一提的是,在文［1］中由费尔马点提出一个“是非明点”,是指在三角形内到三角形三边距离之和最小的点,而满足这个条件的点是三角形最大角的顶点,若有两个相等的最大角,则是两个顶点所在的三角形的一条边上所有点,若有三个相等的最大角即三角形为正三角形,则三个顶点所围成的三角形及其内部的所有点.
在文［1］中采取建立直角坐标系,借助于线性规划的处理方法,较为繁琐.下面提供的方法可谓简洁明了.
在△ABC中,边AB、BC、CA的长分别为c、b、a,点P是△ABC内或其边界上的一点,点P到三边的距离分别为dc,db,da,已知a≥b≥c,BC边上的高为ha则dc+db+da≥ha,取到等号时点P的位置是：当a＞b≥c时,点A；当 a=b＞c时,边AB上所有点；当 a=b=c时,△ABC内及其边界上所有点.
证明：因为a≥b≥c,
文［1］中所提到其它问题利用以上解决问题的方法都能方便处理,这里不再赘述.
参考文献
［1］ 斯飞鸣.一道“费尔马点”姊妹题的探究［J］.中学数学杂志,2008,(7)．
一个自然的问题是：在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最大的点是哪一点？对于一个确定的三角形,其和的最大值是多少？对于这个问题的结论,有下面的命题.
命题 在三角形内或其边界上的点到三顶点的距离之和的最大值等于三角形的两条大边和,取到最大值的点是三角形的最小角顶点.
要证明这个命题,我们首先来证明下面的几个引理.
引理1 在△ABC中,AB≥AC,点P是边BC上一点,则AP≤AB.
证明如图1,由AB≥AC,所以∠C≥∠B,又∠APB=∠C+∠PAC≥∠C,从而∠APB≥∠B,所以有AP≤AB(显然,当点P在点B处时取得到等号)
引理2 点P是△ABC内或其边界上一点,则BP+PC≤AB+AC(点P在点A处时取到等号).
证明 (1)若点P在△ABC内,如图2,延长BP交AC于点D,则AB+AC=AB+AD+DC≥BD+DC=BP+PD+DC≥BP+PC(前“≥”处,当且仅当A、B、D三点共线,即点P在边AB上时取到等号；后“≥”处,当且仅当P、D、C三点共线,即点P在边AC上取到等号)；
(2)若点P在△ABC的边界上,易知BP+PC≤AB+AC；
综合(1)(2)可得：BP+PC≤AB+AC(点P在点A处时取到等号).
引理3 四边形ABCD满足AB+BC=AD+DC,点P是对角线BD上一点,则AP+PC≤AB+BC.
证明 如图3,连AC,由引理2可知,点B、D分别在AC两侧.因点P是对角线BD上一点,则点P在△ADC或△ABC内或它们的边界上,不妨设点P在△ABC内或其边界上,由引理2知AP+PC≤AB+BC.
引理4 如图4,在凸四边形ABCD中,AC+BC=AD+BD,点P是四边形ABCD内或其边界上一点,则AP+BP≤AC+BC.
证明 记AC与BD交于点O,
(1) 若点P在△ABC内或其边界上、在△ABD内或其边界上,由引理2知：AP+BP≤AC+BC；
(2) 若点P在△OCD内或在边CD上,延长AP交CD于E,连接BE,则BE+AE=BE+EP+AP≥BP+AP；作B点关于直线CD的对称点B′,连接B′E、B′C、B′D,则B′C=BC,B′E=BE,B′D=BD,由AC+BC=AD+BD,知AC+B′C=AD+B′D,点E在DC上,由引理3知B′E+AE≤AC+B′C,从而AP+BP≤AC+BC.
综上所述,AP+BP≤AC+BC,由证明过程容易知道等号当点P在点C、D处时取到.
下面我们来证明前面的命题,也就是要证明：
在△ABC中,已知AC≥BC≥AB,点P是△ABC内或其边界上一点,则PA+PB+PC≤AC+BC(等号在三角形最小角顶点处取到)[TP17-3.TIF，Y，PZ][TS(][JZ]图5[TS)]
证明 (1)若点P在边AB上,则AP+BP=AB,由引理1知：CP≤AC,所以PA+PB+PC≤AC+AB≤AC+BC；
(2)若点P在边CB或AC上,同上可证：PA+PB+PC≤AC+BC；
(3)若点P在△ABC内(如图5),由引理2知：AP+BP＜AC+BC,在边AC、BC上分别取点E、F,使得AE+BE=AF+BF=AP+BP,由引理4知,点P在四边形ABFE外,即在△CEF内,连接CP并延长交FE于H,则CP＜CH,由引理1知CH≤max{CE,CF},不妨设CE≥CF,则max{CE,CF}=CE,故AP+BP+CP＜AE+BE+CE=AC+BE≤AC+BC.
综上所述,可得PA+PB+PC≤AC+BC,在证明过程中可以得到：等号当点P在三角形的顶点处才可能取到,即取到最大两边之和点在最小角顶点处.
值得一提的是,在文［1］中由费尔马点提出一个“是非明点”,是指在三角形内到三角形三边距离之和最小的点,而满足这个条件的点是三角形最大角的顶点,若有两个相等的最大角,则是两个顶点所在的三角形的一条边上所有点,若有三个相等的最大角即三角形为正三角形,则三个顶点所围成的三角形及其内部的所有点.
在文［1］中采取建立直角坐标系,借助于线性规划的处理方法,较为繁琐.下面提供的方法可谓简洁明了.
在△ABC中,边AB、BC、CA的长分别为c、b、a,点P是△ABC内或其边界上的一点,点P到三边的距离分别为dc,db,da,已知a≥b≥c,BC边上的高为ha则dc+db+da≥ha,取到等号时点P的位置是：当a＞b≥c时,点A；当 a=b＞c时,边AB上所有点；当 a=b=c时,△ABC内及其边界上所有点.
证明：因为a≥b≥c,
文［1］中所提到其它问题利用以上解决问题的方法都能方便处理,这里不再赘述.
参考文献
［1］ 斯飞鸣.一道“费尔马点”姊妹题的探究［J］.中学数学杂志,2008,(7)．