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摘 要：《义务教育数学课程标准》明确将“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识．”作为总目标之一，以上提到“作为教育任务的数学不是现成的数学，而是创造的数学”。提出通过数学问题解决的学习，可以发展数学思维能力，发展学生独立地、创造性地解决问题的能力，而问题解决的主要形式和途径是数学解题的关键。从创设良好的数学问题情境，激发创造热情；关注数学解题的思维过程，培养创造意识；优化数学解题的引导策略，发展创造力三部分对在数学解题教学过程中发展学生的数学创造力作了理性思考，并联系教学实践做了操作性的阐述．
关键词：数学解题；教学过程；发展学生创造力
一、解题教学发展学生创造力的理念解析
创造力一般是指产生新的想法，发现和制造新的事物的能力．创造力与一般能力的区别在于它的新颖性和独创性．它的主要成分是发散思维，即无定向、无约束地由已知探索未知的思维方式.数学本身的特点使它与创造力有着不解之缘。数学问题解决的能力是数学能力的核心．解题在数学学习活动中有其不可替代的重要作用：（1）解题是数学学习的核心内容；（2）解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径；（3）解题是评价学习的重要方式。数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”．学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义．
二、在数学解题教学过程中发展学生的创造力
（一）关注数学解题思维过程，培养创造意识
我们在数学问题的解决过程中，不仅要关心问题的结果，更要关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程．数学解题思维过程的四个阶段实质是：理解、转换、实施、反思，关注数学问题解决的过程，就应关注解题的每个阶段：
1.理解题目
任何问题解决的过程，首先是理解这个问题，对它进行表征以形成问题空间．例如：
求■+■（x≥0）的最小值.
学生从代数意义上理解问题，因此，尝试用函数的思想解决问题，但感到困难．此时我们可以带学生重新审题：（1）你能重述问题吗？（2）你用到了所有的条件吗？（3）你能从几何角度来理解■的意义吗？
学生在熟悉题目的基础上对问题进行几何叙述，从而解决问题．具有创造力的人在解决问题时，总是以独特的方式联结不同的概念、知识，从而对问题作出创造性的理解.
2.拟定计划
当学生开始解决数学问题时，我引导学生对自己提出开阔思路的问题：
（1）见到过这个问题吗？见到过类似的问题吗？（条件、图、结论）
（2）见过与问题相关的问题吗？（相关问题的条件，结论和方法可以利用吗？）
例如，在四边形ABCD中AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点，延长AD、BC与直线EF分别交于Ｐ、Ｑ两点，求证：∠APE=∠BQE
这时可以联想到已经做过的问题：在四边形ABCD中AD=BC，点E、F、M分别是AB、CD、AC的中点，求证：△EFM是等腰三角形.
不难发现两题条件是相同的，三角形中位线定理可以利用，因而解决新问题的大门钥匙已经握在手中了．
创造力来自基本的认知过程，通过关注学生这一阶段观察、比较、分析、特殊化、一般化、模型化等数学思维方法的训练，必定促使其数学创造力的发展．
3.实施计划
执行解题方案时，要检查每一个步骤．在这一过程中我既会采用抽象、分类、归纳、演绎等逻辑思维的方式，也常常运用直觉灵感等非逻辑思维的方式来解决问题．在实施解题计划时我们要清楚地“看出”这个步骤的正确性，并且“证明”这个步骤的正确性．
例如，已知x2+■=14，求x+■_______．
比较条件和目标，直觉告诉我们运算过程与乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有关．但问题的解决还需借助恰当的逻辑推理：x2+■与（x+■）2相差一项2x·■=2也就是说后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16则x+■=±4．
直觉灵感属非逻辑思维方式，它具有爆发性、灵活性，富有创造力．非逻辑思维能力的发展有赖于长期的有目的的逻辑思维，而逻辑思维也往往借助于直觉、灵感，发展学生的直觉思维和逻辑思维能力，从而促进创造力的发展．
4.回顾反思
引导学生自己去做，就必然出现学生经常不用教师讲的或课本上现成的方法和思路去解决问题的现象．教师对解决错误问题时仅仅加以点评、引导、总结是远远不够的．反思应该是数学学习必不可少的一个环节．引导学生进行反思是数学问题解决过程中重要的引导策略．
例如，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中线，且CD=1，若△ABC的周长为2+■，求△ABC的面积．
■
通常设AC=x，BC=y用方程组x+y=■（1）x2+y2=22 （2）
求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.
这时应当回顾解题过程：题目要求什么？为什么要解方程组？求出x，y的值后是怎样求面积的？不难看出本题的求解过程还可以优化：把（1）式平方减去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．
解题回顾的过程中，要回顾：一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等．久而久之，就可以总结出带有规律性的经验．这些带有规律性的经验，有的是解题的策略，有的是解题的元认知知识，它们都是今后解题的行动指南。
（二）优化数学解题的引导策略，发展创造力
1.一题多解，发展学生的创造性思维
一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程．教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维．
例如，如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，EF⊥MN，求证：∠AEF=∠DFE．
同学们有以下证法：
解法一（如图1）：
延长BA，NM，CD，交于点G，H，连接BD，取中点P，连接MP，NP
∵AB=CD，M，N，P为中点，∴MP=NP（中位线的意义）
∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．
∵MN⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD
解法二（如图2）：
分别过点D，B作AB，AD的平行线，交于点G连接CG，取CG的中点H，连接NH，DH
∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可证△CGD为等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四边形MDHN为平行四边形，
易得∠AEF=∠DFE
解法三（如图3）：
过点M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行线，交于点O，P，连接OP
∵M为中点，易得BP=OC，
∵N为中点，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON
可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE
■
学生的学习积极性空前高涨，信心倍增．
2.多题一解，培养学生提炼数学模型的能力
发展数学创造力，需要有把握问题的实质的能力，学生在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起意义上的联系．新课程标准也要求培养学生的建模思想．
例如，（1）如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底边BC上任一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足为F，求证：DE+DF为定值．
■
图4 图5
（2）如图5，已知正方形ABCD中，G是BC边上任一点，对角线BD，AC交于点O，过点G作GE⊥BD，垂足为E，GF⊥AC，垂足为F，求证：GE+GF为定值．
至此，再将问题的背景变化到其他四边形，如，矩形、等腰梯形等，或者将条件中点的位置更一般化，如（图4）中的D是直线BC上一点等．
学生通过分析对比，不仅加深了对图形的几何性质的理解，更重要的是体验了化归的思想．
总之，在日常教学中，我们不仅要培养学生具有现代化科学的系统的基础知识和基本技能，更应注重学生数学活动经验的积累，促使学生学会思考，具有独立地、创造性地解决问题的能力．笔者通过创设良好的数学问题情境，激发创造热情；关注数学解题的思维过程，培养创造意识；优化数学解题的引导策略，发展创造力三部分对数学解题教学过程中发展创造力进行了理性思考和实践探究。
参考文献：
［1］马忠林.数学学习论.广西教育出版社，2001.
［2］邵瑞珍.教育心理学.上海教育出版社，1998.
［3］G·波利亚.怎样解题.科学出版社，1982.
［4］罗增儒，罗新兵.作为数学教育任务的数学解题.数学教育学报，2005（01）.
编辑 王团兰
关键词：数学解题；教学过程；发展学生创造力
一、解题教学发展学生创造力的理念解析
创造力一般是指产生新的想法，发现和制造新的事物的能力．创造力与一般能力的区别在于它的新颖性和独创性．它的主要成分是发散思维，即无定向、无约束地由已知探索未知的思维方式.数学本身的特点使它与创造力有着不解之缘。数学问题解决的能力是数学能力的核心．解题在数学学习活动中有其不可替代的重要作用：（1）解题是数学学习的核心内容；（2）解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径；（3）解题是评价学习的重要方式。数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”．学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义．
二、在数学解题教学过程中发展学生的创造力
（一）关注数学解题思维过程，培养创造意识
我们在数学问题的解决过程中，不仅要关心问题的结果，更要关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程．数学解题思维过程的四个阶段实质是：理解、转换、实施、反思，关注数学问题解决的过程，就应关注解题的每个阶段：
1.理解题目
任何问题解决的过程，首先是理解这个问题，对它进行表征以形成问题空间．例如：
求■+■（x≥0）的最小值.
学生从代数意义上理解问题，因此，尝试用函数的思想解决问题，但感到困难．此时我们可以带学生重新审题：（1）你能重述问题吗？（2）你用到了所有的条件吗？（3）你能从几何角度来理解■的意义吗？
学生在熟悉题目的基础上对问题进行几何叙述，从而解决问题．具有创造力的人在解决问题时，总是以独特的方式联结不同的概念、知识，从而对问题作出创造性的理解.
2.拟定计划
当学生开始解决数学问题时，我引导学生对自己提出开阔思路的问题：
（1）见到过这个问题吗？见到过类似的问题吗？（条件、图、结论）
（2）见过与问题相关的问题吗？（相关问题的条件，结论和方法可以利用吗？）
例如，在四边形ABCD中AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点，延长AD、BC与直线EF分别交于Ｐ、Ｑ两点，求证：∠APE=∠BQE
这时可以联想到已经做过的问题：在四边形ABCD中AD=BC，点E、F、M分别是AB、CD、AC的中点，求证：△EFM是等腰三角形.
不难发现两题条件是相同的，三角形中位线定理可以利用，因而解决新问题的大门钥匙已经握在手中了．
创造力来自基本的认知过程，通过关注学生这一阶段观察、比较、分析、特殊化、一般化、模型化等数学思维方法的训练，必定促使其数学创造力的发展．
3.实施计划
执行解题方案时，要检查每一个步骤．在这一过程中我既会采用抽象、分类、归纳、演绎等逻辑思维的方式，也常常运用直觉灵感等非逻辑思维的方式来解决问题．在实施解题计划时我们要清楚地“看出”这个步骤的正确性，并且“证明”这个步骤的正确性．
例如，已知x2+■=14，求x+■_______．
比较条件和目标，直觉告诉我们运算过程与乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有关．但问题的解决还需借助恰当的逻辑推理：x2+■与（x+■）2相差一项2x·■=2也就是说后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16则x+■=±4．
直觉灵感属非逻辑思维方式，它具有爆发性、灵活性，富有创造力．非逻辑思维能力的发展有赖于长期的有目的的逻辑思维，而逻辑思维也往往借助于直觉、灵感，发展学生的直觉思维和逻辑思维能力，从而促进创造力的发展．
4.回顾反思
引导学生自己去做，就必然出现学生经常不用教师讲的或课本上现成的方法和思路去解决问题的现象．教师对解决错误问题时仅仅加以点评、引导、总结是远远不够的．反思应该是数学学习必不可少的一个环节．引导学生进行反思是数学问题解决过程中重要的引导策略．
例如，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中线，且CD=1，若△ABC的周长为2+■，求△ABC的面积．
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通常设AC=x，BC=y用方程组x+y=■（1）x2+y2=22 （2）
求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.
这时应当回顾解题过程：题目要求什么？为什么要解方程组？求出x，y的值后是怎样求面积的？不难看出本题的求解过程还可以优化：把（1）式平方减去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．
解题回顾的过程中，要回顾：一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等．久而久之，就可以总结出带有规律性的经验．这些带有规律性的经验，有的是解题的策略，有的是解题的元认知知识，它们都是今后解题的行动指南。
（二）优化数学解题的引导策略，发展创造力
1.一题多解，发展学生的创造性思维
一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程．教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维．
例如，如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，EF⊥MN，求证：∠AEF=∠DFE．
同学们有以下证法：
解法一（如图1）：
延长BA，NM，CD，交于点G，H，连接BD，取中点P，连接MP，NP
∵AB=CD，M，N，P为中点，∴MP=NP（中位线的意义）
∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．
∵MN⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD
解法二（如图2）：
分别过点D，B作AB，AD的平行线，交于点G连接CG，取CG的中点H，连接NH，DH
∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可证△CGD为等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四边形MDHN为平行四边形，
易得∠AEF=∠DFE
解法三（如图3）：
过点M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行线，交于点O，P，连接OP
∵M为中点，易得BP=OC，
∵N为中点，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON
可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE
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学生的学习积极性空前高涨，信心倍增．
2.多题一解，培养学生提炼数学模型的能力
发展数学创造力，需要有把握问题的实质的能力，学生在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起意义上的联系．新课程标准也要求培养学生的建模思想．
例如，（1）如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底边BC上任一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足为F，求证：DE+DF为定值．
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图4 图5
（2）如图5，已知正方形ABCD中，G是BC边上任一点，对角线BD，AC交于点O，过点G作GE⊥BD，垂足为E，GF⊥AC，垂足为F，求证：GE+GF为定值．
至此，再将问题的背景变化到其他四边形，如，矩形、等腰梯形等，或者将条件中点的位置更一般化，如（图4）中的D是直线BC上一点等．
学生通过分析对比，不仅加深了对图形的几何性质的理解，更重要的是体验了化归的思想．
总之，在日常教学中，我们不仅要培养学生具有现代化科学的系统的基础知识和基本技能，更应注重学生数学活动经验的积累，促使学生学会思考，具有独立地、创造性地解决问题的能力．笔者通过创设良好的数学问题情境，激发创造热情；关注数学解题的思维过程，培养创造意识；优化数学解题的引导策略，发展创造力三部分对数学解题教学过程中发展创造力进行了理性思考和实践探究。
参考文献：
［1］马忠林.数学学习论.广西教育出版社，2001.
［2］邵瑞珍.教育心理学.上海教育出版社，1998.
［3］G·波利亚.怎样解题.科学出版社，1982.
［4］罗增儒，罗新兵.作为数学教育任务的数学解题.数学教育学报，2005（01）.
编辑 王团兰