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集合中蕴涵着丰富的数学思想方法，在解有关集合问题时，充分运用这些数学思想方法，可使许多问题获得简捷、巧妙的解答。
一、数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的“數”和直观的“形”双向联系与沟通，使抽象思想与形象思维有机地结合起来，以期达到化抽象为形象、化难为易的目的。
例1设集合A={x|a+1≤x4}，若AB，求实数a的取值范围。
解：由AB，画出数轴，如图1，
应有两种情形：
a+5≤-2或a+1>4，
解得a≤-7或a>3。
故实数a的取值范围是a≤-7或a>3。
二、分类讨论思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要根据数学对象本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案，这一思想方法称之为“分类讨论思想”。
例2设集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，则实数a的取值范围是（）。
A.＼[1，3＼]B.＼[3，+∞）
C.＼[1，+∞）D.（1，3）
解：A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}。
若BA，则当B=时，可得2a>a+3，即a>3；
当B≠时，可得2a≤a+3，2a≥2，a+3≤6，解得1≤a≤3。
故实数a的取值范围是[1，+∞）。
透视：集合B的元素由不等式2a≤x≤a+3的解集确定，该不等式可能有解也可能无解，故需要分B=与B≠两种情况讨论求解。
三、函数与方程思想
所谓方程思想，就是在分析变量间的等量关系时，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
例3设集合A={1，a，b}，集合B={a2，a，ab}，且A=B。求实数a，b的值。
解：由A=B，得：
1+a+b=a+a2+ab，1·a·b=a·a2·ab。
即ab（a3-1）=0，（a-1）（a+b+1）=0。①②
又由集合中元素的互异性，知a≠0，a≠1。由①得b=0，由②得a=-1。所以a=-1，b=0。
透视：若两个有限数集相等，则有如下三个性质：（1）两个集合中的元素个数相等；（2）两个集合中的元素之和相等；（3）两个集合中的元素之积相等。
四、补集转化思想
转化思想在集合问题中的应用主要体现在解题的巧妙性，正难则反的数学思想主要体现为补集运算方面。
例4已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，若A∩R-≠，则实数m的取值范围为。（R-表示负实数集，R+表示正实数集）
解：由非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，可设全集U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}=mm≤-1或m≥32。
方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是m∈U，4m≥0，2m+6≥0，解得m≥32。
所以当A∩R-=时，实数m的取值范围是mm≥32；
当A∩R-≠时，实数m的取值范围是{m|m≤-1}。
作者单位：河南省信阳高中高三（15）班
一、数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的“數”和直观的“形”双向联系与沟通，使抽象思想与形象思维有机地结合起来，以期达到化抽象为形象、化难为易的目的。
例1设集合A={x|a+1≤x
解：由AB，画出数轴，如图1，
应有两种情形：
a+5≤-2或a+1>4，
解得a≤-7或a>3。
故实数a的取值范围是a≤-7或a>3。
二、分类讨论思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要根据数学对象本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案，这一思想方法称之为“分类讨论思想”。
例2设集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，则实数a的取值范围是（）。
A.＼[1，3＼]B.＼[3，+∞）
C.＼[1，+∞）D.（1，3）
解：A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}。
若BA，则当B=时，可得2a>a+3，即a>3；
当B≠时，可得2a≤a+3，2a≥2，a+3≤6，解得1≤a≤3。
故实数a的取值范围是[1，+∞）。
透视：集合B的元素由不等式2a≤x≤a+3的解集确定，该不等式可能有解也可能无解，故需要分B=与B≠两种情况讨论求解。
三、函数与方程思想
所谓方程思想，就是在分析变量间的等量关系时，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
例3设集合A={1，a，b}，集合B={a2，a，ab}，且A=B。求实数a，b的值。
解：由A=B，得：
1+a+b=a+a2+ab，1·a·b=a·a2·ab。
即ab（a3-1）=0，（a-1）（a+b+1）=0。①②
又由集合中元素的互异性，知a≠0，a≠1。由①得b=0，由②得a=-1。所以a=-1，b=0。
透视：若两个有限数集相等，则有如下三个性质：（1）两个集合中的元素个数相等；（2）两个集合中的元素之和相等；（3）两个集合中的元素之积相等。
四、补集转化思想
转化思想在集合问题中的应用主要体现在解题的巧妙性，正难则反的数学思想主要体现为补集运算方面。
例4已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，若A∩R-≠，则实数m的取值范围为。（R-表示负实数集，R+表示正实数集）
解：由非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，可设全集U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}=mm≤-1或m≥32。
方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是m∈U，4m≥0，2m+6≥0，解得m≥32。
所以当A∩R-=时，实数m的取值范围是mm≥32；
当A∩R-≠时，实数m的取值范围是{m|m≤-1}。
作者单位：河南省信阳高中高三（15）班