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1．忽视定义域优先原则
例1 判断函数[f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx]的奇偶性.
错解 [f(x)=sin2x+sinx1+sinx=sinx]，
又[∵f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)]，
[∴f(x)]是奇函数.
分析 利用公式将[f(x)]化简，是本题的突破口，得到结果是[f(x)=sinx]，但在求函数奇偶性时，忽略了定义域优先的原则. 要使函数有意义，[1+sinx≠0]，即须满足[x|x≠3π2+2kπ,k∈Z],且此定义域关于原点不对称，从而[f(x)]是非奇非偶函数.
正解 要使函数有意义，[1+sinx≠0.]
则有[x≠3π2+2kπ,k∈Z.]
即[f(x)]的定义域是[x|x≠3π2+2kπ,k∈Z]不关于原点对称，
故[f(x)]是非奇非偶函数．
点拨 定义域关于原点对称是判断函数是奇函数还是偶函数的前提，另外注意等价变形以及诱导公式在判断[f(x)]与[f(-x)]时的作用.
2．产生增根，不易排除
例2 已知[α、β]均为锐角，[sinα=255]，[cosβ=1010]，求[α+β]．
错解 [∵α、β]均为锐角，
[∴]有[α+β∈(0，π).]
由题知[cosα=55]，[sinβ=31010]，
故[sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ]
[=255×1010+55×31010=22]，
[∴α+β=π4]或[α+β=3π4]．
分析1 错解中对角的范围的把握不够准确，导致出现增根．
正解1 因为[α、β]均为锐角，
[∵sinα=255>22]，[∴π2>α>π4]．
[∵cosβ=1010<22]，[∴π2>β>π4].
[∴π2<α+β<π.]
由题意得[cosα=55]，[sinβ=31010]，
[∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22].
[∴α+β=3π4.]
分析2 根据和角的范围，换用三角函数，以免出现增根．因为[0<α+β<π]，若取余弦函数则不会出现增根(若[-π2<α+β<π2]，则应取正弦函数)．
正解2 [∵α、β]均为锐角，
[∴cosα=55]，[sinβ=31010]，[α+β∈(0，π)].
[∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-22]，
[∴α+β=3π4]．
点拨 进一步缩小角的范围，是解决这类问题的通用方法．
3. 考虑不周，范围扩大
例3 函数[y=log12sin2x+π4]的单调减区间为（ ）
A．[kπ-π4，kπ，k∈Z]
B．[kπ-π8，kπ+π8，k∈Z]
C．[kπ-3π8，kπ+π8，k∈Z]
D．[kπ+π8，kπ+3π8，k∈Z]
错解 [∵]正弦函数的增区间为
[2kπ-π2,2kπ+π(k∈Z)],
[∴]令[2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2]，
可解得[kπ-3π8≤x≤kπ+π8]．
[∴]答案为C．
分析 错解忽略了对数对真数的范围要求而导致范围扩大．
正解 由题意知，[sin2x+π4>0]，
解得函数的定义域为
[kπ-π8，kπ+3π8，k∈Z]；
又由正弦函数的增区间为
[2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)]，
所以令[2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2]，
可解得[kπ-3π8≤x≤kπ+π8.]
结合函数的定义域(取交集)可得，原函数的减区间为[kπ-π8,kπ+π8(k∈Z)].
点拨 对于这类问题，需准确理解题意，先确定函数的定义域，以免扩大范围．
4. 变异为同，意识不强
例4 已知[ftanx=1+sin2x,]则[fcos60∘]= ．
错解 [tanx=cos60°=12,∴x=30°.]
故[fcos60°=1+sin230∘°=54.]
分析 考查函数解析式及函数值的求解，求[fx]的解析式在必修1时学过，是一大难点. 本题需要用换元法求解析式. 大家犯错的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了[tanx、sinx、1]等信息，肯定要用“切化弦”“1”的代换等将问题简化.
正解 [ftanx=1+sin2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x]
[=2tan2x+1tan2x+1.]
[∴令t=tan2x,则ft=2t2+1t2+1,]
故[fcos60∘=f12=65.]
点拨 记准特殊角的函数值是快速解题的一大途径，有时不能转化时得先用换元法求出函数解析式.
5．化未知为已知，衔接不当
例5 已知[sinx+π6=14]，则[sin5π6-x+][sin2π3-x=] ．
错解 [∵sinx+π6=sinxcosπ6+cosxsinπ6]
[=32sinx+12cosx=14,]
又[∵sin2x+cos2x=1]，解方程组得，
[sinx=3-158，cosx=1+358.]
再将原式展开，把[sinx、cosx]值代入. （大家往往做到这，就做不下去了.）
分析 上述解法是用常规思路求值，但计算过程比较麻烦，计算量大.本题只需先找准所求式子中的角与已知角的关系，即[5π6-x=π-x+π6,][π3-x=][π2-x+π6,]再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，最后采用整体代入思想即可.
正解 [∵sinx+π6=14]，则原式可整理如下：
[sin5π6-x+sin2π3-x=sinπ-x+π6+sin2π2-x+π6]
[=sinπ-x+π6+cos2x+π6=14+1-116=1916.]
点拨 在求解三角函数值时，有时常常用到整体思想，用已知角来表示未知角，再运用相应的公式求解.
例1 判断函数[f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx]的奇偶性.
错解 [f(x)=sin2x+sinx1+sinx=sinx]，
又[∵f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)]，
[∴f(x)]是奇函数.
分析 利用公式将[f(x)]化简，是本题的突破口，得到结果是[f(x)=sinx]，但在求函数奇偶性时，忽略了定义域优先的原则. 要使函数有意义，[1+sinx≠0]，即须满足[x|x≠3π2+2kπ,k∈Z],且此定义域关于原点不对称，从而[f(x)]是非奇非偶函数.
正解 要使函数有意义，[1+sinx≠0.]
则有[x≠3π2+2kπ,k∈Z.]
即[f(x)]的定义域是[x|x≠3π2+2kπ,k∈Z]不关于原点对称，
故[f(x)]是非奇非偶函数．
点拨 定义域关于原点对称是判断函数是奇函数还是偶函数的前提，另外注意等价变形以及诱导公式在判断[f(x)]与[f(-x)]时的作用.
2．产生增根，不易排除
例2 已知[α、β]均为锐角，[sinα=255]，[cosβ=1010]，求[α+β]．
错解 [∵α、β]均为锐角，
[∴]有[α+β∈(0，π).]
由题知[cosα=55]，[sinβ=31010]，
故[sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ]
[=255×1010+55×31010=22]，
[∴α+β=π4]或[α+β=3π4]．
分析1 错解中对角的范围的把握不够准确，导致出现增根．
正解1 因为[α、β]均为锐角，
[∵sinα=255>22]，[∴π2>α>π4]．
[∵cosβ=1010<22]，[∴π2>β>π4].
[∴π2<α+β<π.]
由题意得[cosα=55]，[sinβ=31010]，
[∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22].
[∴α+β=3π4.]
分析2 根据和角的范围，换用三角函数，以免出现增根．因为[0<α+β<π]，若取余弦函数则不会出现增根(若[-π2<α+β<π2]，则应取正弦函数)．
正解2 [∵α、β]均为锐角，
[∴cosα=55]，[sinβ=31010]，[α+β∈(0，π)].
[∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-22]，
[∴α+β=3π4]．
点拨 进一步缩小角的范围，是解决这类问题的通用方法．
3. 考虑不周，范围扩大
例3 函数[y=log12sin2x+π4]的单调减区间为（ ）
A．[kπ-π4，kπ，k∈Z]
B．[kπ-π8，kπ+π8，k∈Z]
C．[kπ-3π8，kπ+π8，k∈Z]
D．[kπ+π8，kπ+3π8，k∈Z]
错解 [∵]正弦函数的增区间为
[2kπ-π2,2kπ+π(k∈Z)],
[∴]令[2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2]，
可解得[kπ-3π8≤x≤kπ+π8]．
[∴]答案为C．
分析 错解忽略了对数对真数的范围要求而导致范围扩大．
正解 由题意知，[sin2x+π4>0]，
解得函数的定义域为
[kπ-π8，kπ+3π8，k∈Z]；
又由正弦函数的增区间为
[2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)]，
所以令[2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2]，
可解得[kπ-3π8≤x≤kπ+π8.]
结合函数的定义域(取交集)可得，原函数的减区间为[kπ-π8,kπ+π8(k∈Z)].
点拨 对于这类问题，需准确理解题意，先确定函数的定义域，以免扩大范围．
4. 变异为同，意识不强
例4 已知[ftanx=1+sin2x,]则[fcos60∘]= ．
错解 [tanx=cos60°=12,∴x=30°.]
故[fcos60°=1+sin230∘°=54.]
分析 考查函数解析式及函数值的求解，求[fx]的解析式在必修1时学过，是一大难点. 本题需要用换元法求解析式. 大家犯错的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了[tanx、sinx、1]等信息，肯定要用“切化弦”“1”的代换等将问题简化.
正解 [ftanx=1+sin2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x]
[=2tan2x+1tan2x+1.]
[∴令t=tan2x,则ft=2t2+1t2+1,]
故[fcos60∘=f12=65.]
点拨 记准特殊角的函数值是快速解题的一大途径，有时不能转化时得先用换元法求出函数解析式.
5．化未知为已知，衔接不当
例5 已知[sinx+π6=14]，则[sin5π6-x+][sin2π3-x=] ．
错解 [∵sinx+π6=sinxcosπ6+cosxsinπ6]
[=32sinx+12cosx=14,]
又[∵sin2x+cos2x=1]，解方程组得，
[sinx=3-158，cosx=1+358.]
再将原式展开，把[sinx、cosx]值代入. （大家往往做到这，就做不下去了.）
分析 上述解法是用常规思路求值，但计算过程比较麻烦，计算量大.本题只需先找准所求式子中的角与已知角的关系，即[5π6-x=π-x+π6,][π3-x=][π2-x+π6,]再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，最后采用整体代入思想即可.
正解 [∵sinx+π6=14]，则原式可整理如下：
[sin5π6-x+sin2π3-x=sinπ-x+π6+sin2π2-x+π6]
[=sinπ-x+π6+cos2x+π6=14+1-116=1916.]
点拨 在求解三角函数值时，有时常常用到整体思想，用已知角来表示未知角，再运用相应的公式求解.