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跟进就是在后面紧跟着行动，教学中的跟进是指教师根据课堂的情势变化、发展而进行的恰到好处的点拨和灵活巧妙的引导，从而推动课堂教学向纵深发展。叶澜教授曾经说过：课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的过程。在日益深化的新课程改革中，我们已形成了一种共识，课堂教学是教师和学生共同的生命历程，我们的课堂正逐步走向平等、民主、自由和真实，学生的思维和活动不再受教案的束缚，而是实现教师引领着学生的思维，学生的思维又推着教师走的境界。教师既不扼制学生的看法，又不搁置学生的问题，而是顺着学生的思维探究下去，时时刻刻都体现“心中有学生”的教学理念。在这样充满着思维碰撞和情感迸涌的新课堂上，教师必须时刻关注课堂的动态，主动地倾听，准确及时地把握学生的动机和思维动态，实现有效的跟进，不断把师生的思维活动向前推进，从而最终实现教师的有效教学和学生的有效学习。
一、在亮点处跟进，让参与走向深层
学生是鲜活的生命个体，他们所具有的主观能动性及丰富创造力，使他们在课堂中呈现出超乎想象的活力。而正是这种生机活力，使得进行中的课堂连续不断地生成着新的发现、新的体验、新的收获。课堂的发展因为学生体现出了多种的可能性，教学过程始终充满悬念，因而可能不断产生令人激动的亮点。我们常常可以在课堂上听到这样的话语：“我的想法和大家不一样”“我反对”“我喜欢自己的算法”……这样的话语往往会引出令人耳目一新的新信息。这时，教师要充分运用自己的教育智慧，根据学生提供的信息，敏锐地捕捉亮点，让学生充分展示自己的思维，积极跟进，顺水推舟，引导其余学生共享这富有个性的智慧，实现共享、共识、共进，从而使参与走向深层。
这是一位教师在教学《加法结合律》时的片段：
生1：我觉得加法交换律等号左边（a b） c只要写成a b c就可以了，本来就先算a b根本不用加括号。
（一席话引起了全班的议论：对呀，反正先算a b，括号不用也可以）
师：你们说的非常有道理，那你们觉得该怎样表示加法结合律呢？
生1：a b c=a （b c）。
生2：我觉得加法中谁和谁先加都可以，所以a b c=a （b c）=b （a c）。
师：这样一来，算式中还运用了什么定律？
（学生异口同声道：加法交换律）
师：对！又有交换又有结合，看来不能叫结合律了。你们给它起个名字吧！
生：叫加法任意运算定律吧！
师：任意运算定律，那你们也用文字表述一下吧。
生1：三个数相加，把其中任意两个数相加，再加第三个数，和不变。
生2：我觉得不止三个数，更多也可以，几个数相加，先把几个数相加，再和一个数相加，和不变。
生3：不好不好，不够准确。
生4：可以这样说——几个数相加，先把其中一些数相加，再和剩下的数相加，和不变。
师：真了不起！这就是加法的任意运算定律，是你们自己发现总结的，就叫四（2）定律吧。
在这里，生1提出了一个疑问，教师抓住学生这一“亮点问题”作为教学资源，让它成为学生思维新的生长点，引发了学生的思考，又积极把这种思维引向深化。在这次教案预设之外的交流中，教师不断提问、点拨、引导，学生则在一连串的发问中，大胆联想，互相启发补充，最后把对加法交换律和结合律的认识和已有的经验进行了有机的融合，生成了“加法的任意运算定律”，这正是我们课堂所追求的。
二、在争论时跟进，让个性闪耀光芒
这个世界上找不到两片完全相同的叶子，更不可能有两个完全相同的人。因为每个学生认知基础和思维方式的差异，课堂上的争论是不可避免的。
这是一位教师教学“长方形的周长”的片断：
师：（出示一个长方形图形）这个长方形的长是5分米，宽是3分米，周长怎么计算呢？
生1：（5 3）×2=16。
生2：5 5 3 3=16。
生3：5×2 3×2=16。
教师逐一肯定后又点了后面的一个男生。
生：3×4 4=16。
这位学生刚坐下，大部分学生就笑了起来，明显认为他是错误的。也有学生小声说，答案是正确的呀！小组之中不由自主地发生了争论。一分钟后，老师示意大家安静下来。大家随即等待着老师的评价。
师（笑了笑问生）：你是怎么想的呢？
那个学生显然还没思考成熟。可旁边的女生手举得高高的。老师就把机会给了这位女同学。
生：把四条边都看成是3，那就是3×4=12，然后把剩下的2×2=4加上去就是3×4 4=16。
掌声雷鸣般地响了起来，老师用赞许的目光向她点了点头说：你的方法有创意，好样的。这时，课堂上的小手又不断举了起来。
生：老师，我还有好办法。把四条边都看成是5，那就是5×4=20，然后把多算的2×2=4减去就是5×4-4=16。
……
马克思曾经说过“真理是由争论确立的。”学生思维的差异，使我们的课堂上出现了争论。但是也并不是所有的争论都是有价值的，有的争论可能只是一些没有触及到问题实质的无谓争议。这时，作为教师就应对学生的争论作出正确的处理，对于没有价值的争论，可以一带而过，及时平息。而对于像上述案例中这样有较高“含金量”的争论，教师可以给学生一个自由的时间和空间，让他们在争论中充分暴露自己思维，使思维越辩越明。而教师在学生争论的过程中，应该密切关注学生的思维动机，不必过早表明自己的观点或作出评判，不妨“因学而导”“见风使舵”，帮助学生的思维逐步趋于清晰和深入，让学生富有个性的智慧闪耀光芒，增强其学习数学的信心。 三、在偏差处跟进，让错误演绎美丽
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”“错误”不仅仅是错误，错误的想法也是有价值的，也是可以利用的宝贵资源。因为研究问题既可以从正面（正确的）开始，也可以从反面（错误的）入手，而从反面探讨往往对人的触动更大，给人留下的印象更深刻，效果自然会更好。
这是我在教学三年级下册“分数的认识”时碰到的一个问题：学生在三年级（上册）已学过把一个物体或图形平均分成几份，认识了它的几分之一和几分之几，在此基础上，学习把一些物体组成的一个整体平均分成几份，认识它的几分之一和几分之几。当学生做到“想想做做”第1题看图写分数，把六个苹果平均分成3份，每份是这些苹果的几分之几时，我发现有好多学生写成六分之二，当与学生交流时，我没有马上指出学生是错误的，而以此为“跟进”信息，抛出前导词：“大家说法到底谁对谁错呢，老师不想当裁判，请大家一起来辩一辩，都说说自己的理由。”我让学生分成正反两方，讨论为什么表示成三分之一，或为什么表示成六分之二，通过辩论交流，学生从分数的意义上理解了把一些物体平均分成几份，其中的一份就表示这些物体的几分之一。
学生课上出现错误，教师应该怎么办？我认为，错误并不意味着教师的失误，把学生的错误“抖”出来，也创造出了极佳的教育契机。学生课上出现错误时，教师不应急于用自己的思想去“同化”学生的错误观点、错误认识，不妨欲擒故纵，择机跟进，先站在学生的立场去“顺应”他们的认识，掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，让正确、错误思想在学生的大脑中形成认识冲突，产生“头脑风暴”。最终使学生发现自己的错误，想办法改正错误，获得正确的方法，这样学生不仅能得到一个问题的答案，而且可以得到解决问题的经验，体验探索、创造和成功的乐趣。这样曲折而生动的课堂，才能使学生体验到什么是“茅塞顿开”“豁然开朗”，课堂也因为错误而更加美丽。
四、在冷场时跟进，让空白孕育精彩
我们曾经追求“精雕细刻，完美顺畅”的课堂教学，但是今天我们更希望我们的课堂是真实的，是能充分体现学生的思维发展过程的。因此，在这样的课堂上，当学生的思维受到阻碍，停滞不前时，我们往往会面临“冷场”的局面。当我们面对冷场时，应该及时冷静下来，迅速而正确地作出判断，机敏而妥善地及时跟进。
这是我教学两位数减一位数（退位减）时的一个教学片断：
师：36-8等于多少呢？请小朋友们看看算式和图，该怎样计算。在小组里交流你是怎样想的。
（独立思考）
师：大家刚才讨论得很积极，很热烈。请把你的想法说给大家听听。
生1：36-8=28，因为10-8=2，26 2=28。
生2：36-8=28，因为30-8=22，22 6=28。
生3：36-8=28，因为6-6=0，30-2=28。
生4：36-8=28，因为6-4=2，30-4=26，26 2=28。
生5：36-8=28，因为6-2=4，30-6=24，24 4=28。
汇报完了，没有一位同学说出书上提供的方法：16-8=8，20 8=28。我接着问：“同学们，你们还有不同的做法吗？”没有学生举手，课堂顿时出现了“冷场”。怎么办呢？书上的解法相对来说是最优化的解法，不能不讲，但是难道直接给学生讲解吗？可是他们已经有了自己的想法，能理解和接受吗？很明显，学生的思维形成了定势，固执于自己的解法，思维受阻了，怎样才能激活他们的思维呢？我稍作停顿，肯定了学生的多种解法，然后出了这样一组题：36-8，46-8，56-8，66-8。让学生先计算，再汇报结果，然后让学生讨论每道题什么没变，什么变了，他们的变化有规律吗？学生在全班交流中，很快发现了减数没变，被减数和差变了，后一道题的被减数比前一道题的被减数多10，每道题差的十位上的数都比被减数的十位上少1，每道题的个位上都是6。大家为这发现兴奋不已。我又接着问：“这是为什么呢？”学生又很快发现：因为16-8=8。最后学生意见达成一致，先想16-8=8，差的个位上就是8，十位上的数比被减数的十位上的数少1就行了。
课堂上的冷场是难以避免的，也是允许出现的。当我们的课堂上出现冷场局面时，往往就是学生的思维形成定势，或者难以发散的时候，这时，就需要教师担当好组织者、引导者和促进者的角色，运用敏锐的洞察力，寻找新的突破口，沉着冷静，步步为营，把学生的思维引导出困境，让冷场重燃激情，让空白孕育精彩。
五、在尴尬时跟进，让干戈化为玉帛
新课程下的课堂是动态生成的课堂，既有预设的生成，也会出现非预设的生成。而当我们“遭遇”非预设生成时，有时会把教师推到一个尴尬的境地，面对自己没有设想到的意外，我们该如何处理呢？这就更需要教师及时的跟进，灵活地调整教学程序和教学方法，使课堂的非预设生成更有价值，同时也使自己摆脱尴尬。
如一位教师在教学“三角形面积计算”一课时，师说：“你们想知道三角形面积计算方法吗？”突然，一位学生站起来：“我知道，三角形面积=底×高÷2。”学生的回答出乎老师的意料之外，这样一来，教师原先精心设计的各个精妙的教学环节与预先设计好了的精心提问，一下子全泡了汤？但是，老师马上微微一笑说：“你怎么知道的？”生回答：“我从书上看到的。”是啊，学生已经进行了预习。师接着问：“那么三角形的面积计算公式是怎样推导出来的呢？”生说：“我知道，把一个平行四边形沿着对角线剪开，分成了两个等底等高相同的三角形，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。”师问：“那你知道为什么要沿着对角线剪，不沿着对角线剪可以吗？”该生摇头。师说：“不要紧，下面我们就一起来动手试一试。”这样，原定让学生探索结论的教学变成了让学生验证结论的教学。
这位老师在面临尴尬时，没有把学生的回答往自己预设的“轨道”上死拉硬拽，而是采取了巧妙的应急措施，调整课堂教学环节，化干戈为玉帛，使自己也摆脱了困境。同时也抓住了学生思维的盲点，使课堂教学向着有利于学生发展的方向纵深推进。
在课堂教学双边参与的动态进程中，教师应准确洞察学生心灵的秘密，敏捷地捕捉学生在课堂稍纵即逝的变化。不断捕捉、判断、重组从学生那里涌现出来的各种信息，见机而作，有价值的信息资源应及时纳入课堂临场设计的范畴之中，充分利用，适时跟进，提高教学的有效性，从而真正实现“以学定教”课堂教学的弹性优化。
（汪凌霞，江阴市云亭实验小学，214422）
责任编辑：赵赟
一、在亮点处跟进，让参与走向深层
学生是鲜活的生命个体，他们所具有的主观能动性及丰富创造力，使他们在课堂中呈现出超乎想象的活力。而正是这种生机活力，使得进行中的课堂连续不断地生成着新的发现、新的体验、新的收获。课堂的发展因为学生体现出了多种的可能性，教学过程始终充满悬念，因而可能不断产生令人激动的亮点。我们常常可以在课堂上听到这样的话语：“我的想法和大家不一样”“我反对”“我喜欢自己的算法”……这样的话语往往会引出令人耳目一新的新信息。这时，教师要充分运用自己的教育智慧，根据学生提供的信息，敏锐地捕捉亮点，让学生充分展示自己的思维，积极跟进，顺水推舟，引导其余学生共享这富有个性的智慧，实现共享、共识、共进，从而使参与走向深层。
这是一位教师在教学《加法结合律》时的片段：
生1：我觉得加法交换律等号左边（a b） c只要写成a b c就可以了，本来就先算a b根本不用加括号。
（一席话引起了全班的议论：对呀，反正先算a b，括号不用也可以）
师：你们说的非常有道理，那你们觉得该怎样表示加法结合律呢？
生1：a b c=a （b c）。
生2：我觉得加法中谁和谁先加都可以，所以a b c=a （b c）=b （a c）。
师：这样一来，算式中还运用了什么定律？
（学生异口同声道：加法交换律）
师：对！又有交换又有结合，看来不能叫结合律了。你们给它起个名字吧！
生：叫加法任意运算定律吧！
师：任意运算定律，那你们也用文字表述一下吧。
生1：三个数相加，把其中任意两个数相加，再加第三个数，和不变。
生2：我觉得不止三个数，更多也可以，几个数相加，先把几个数相加，再和一个数相加，和不变。
生3：不好不好，不够准确。
生4：可以这样说——几个数相加，先把其中一些数相加，再和剩下的数相加，和不变。
师：真了不起！这就是加法的任意运算定律，是你们自己发现总结的，就叫四（2）定律吧。
在这里，生1提出了一个疑问，教师抓住学生这一“亮点问题”作为教学资源，让它成为学生思维新的生长点，引发了学生的思考，又积极把这种思维引向深化。在这次教案预设之外的交流中，教师不断提问、点拨、引导，学生则在一连串的发问中，大胆联想，互相启发补充，最后把对加法交换律和结合律的认识和已有的经验进行了有机的融合，生成了“加法的任意运算定律”，这正是我们课堂所追求的。
二、在争论时跟进，让个性闪耀光芒
这个世界上找不到两片完全相同的叶子，更不可能有两个完全相同的人。因为每个学生认知基础和思维方式的差异，课堂上的争论是不可避免的。
这是一位教师教学“长方形的周长”的片断：
师：（出示一个长方形图形）这个长方形的长是5分米，宽是3分米，周长怎么计算呢？
生1：（5 3）×2=16。
生2：5 5 3 3=16。
生3：5×2 3×2=16。
教师逐一肯定后又点了后面的一个男生。
生：3×4 4=16。
这位学生刚坐下，大部分学生就笑了起来，明显认为他是错误的。也有学生小声说，答案是正确的呀！小组之中不由自主地发生了争论。一分钟后，老师示意大家安静下来。大家随即等待着老师的评价。
师（笑了笑问生）：你是怎么想的呢？
那个学生显然还没思考成熟。可旁边的女生手举得高高的。老师就把机会给了这位女同学。
生：把四条边都看成是3，那就是3×4=12，然后把剩下的2×2=4加上去就是3×4 4=16。
掌声雷鸣般地响了起来，老师用赞许的目光向她点了点头说：你的方法有创意，好样的。这时，课堂上的小手又不断举了起来。
生：老师，我还有好办法。把四条边都看成是5，那就是5×4=20，然后把多算的2×2=4减去就是5×4-4=16。
……
马克思曾经说过“真理是由争论确立的。”学生思维的差异，使我们的课堂上出现了争论。但是也并不是所有的争论都是有价值的，有的争论可能只是一些没有触及到问题实质的无谓争议。这时，作为教师就应对学生的争论作出正确的处理，对于没有价值的争论，可以一带而过，及时平息。而对于像上述案例中这样有较高“含金量”的争论，教师可以给学生一个自由的时间和空间，让他们在争论中充分暴露自己思维，使思维越辩越明。而教师在学生争论的过程中，应该密切关注学生的思维动机，不必过早表明自己的观点或作出评判，不妨“因学而导”“见风使舵”，帮助学生的思维逐步趋于清晰和深入，让学生富有个性的智慧闪耀光芒，增强其学习数学的信心。 三、在偏差处跟进，让错误演绎美丽
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”“错误”不仅仅是错误，错误的想法也是有价值的，也是可以利用的宝贵资源。因为研究问题既可以从正面（正确的）开始，也可以从反面（错误的）入手，而从反面探讨往往对人的触动更大，给人留下的印象更深刻，效果自然会更好。
这是我在教学三年级下册“分数的认识”时碰到的一个问题：学生在三年级（上册）已学过把一个物体或图形平均分成几份，认识了它的几分之一和几分之几，在此基础上，学习把一些物体组成的一个整体平均分成几份，认识它的几分之一和几分之几。当学生做到“想想做做”第1题看图写分数，把六个苹果平均分成3份，每份是这些苹果的几分之几时，我发现有好多学生写成六分之二，当与学生交流时，我没有马上指出学生是错误的，而以此为“跟进”信息，抛出前导词：“大家说法到底谁对谁错呢，老师不想当裁判，请大家一起来辩一辩，都说说自己的理由。”我让学生分成正反两方，讨论为什么表示成三分之一，或为什么表示成六分之二，通过辩论交流，学生从分数的意义上理解了把一些物体平均分成几份，其中的一份就表示这些物体的几分之一。
学生课上出现错误，教师应该怎么办？我认为，错误并不意味着教师的失误，把学生的错误“抖”出来，也创造出了极佳的教育契机。学生课上出现错误时，教师不应急于用自己的思想去“同化”学生的错误观点、错误认识，不妨欲擒故纵，择机跟进，先站在学生的立场去“顺应”他们的认识，掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，让正确、错误思想在学生的大脑中形成认识冲突，产生“头脑风暴”。最终使学生发现自己的错误，想办法改正错误，获得正确的方法，这样学生不仅能得到一个问题的答案，而且可以得到解决问题的经验，体验探索、创造和成功的乐趣。这样曲折而生动的课堂，才能使学生体验到什么是“茅塞顿开”“豁然开朗”，课堂也因为错误而更加美丽。
四、在冷场时跟进，让空白孕育精彩
我们曾经追求“精雕细刻，完美顺畅”的课堂教学，但是今天我们更希望我们的课堂是真实的，是能充分体现学生的思维发展过程的。因此，在这样的课堂上，当学生的思维受到阻碍，停滞不前时，我们往往会面临“冷场”的局面。当我们面对冷场时，应该及时冷静下来，迅速而正确地作出判断，机敏而妥善地及时跟进。
这是我教学两位数减一位数（退位减）时的一个教学片断：
师：36-8等于多少呢？请小朋友们看看算式和图，该怎样计算。在小组里交流你是怎样想的。
（独立思考）
师：大家刚才讨论得很积极，很热烈。请把你的想法说给大家听听。
生1：36-8=28，因为10-8=2，26 2=28。
生2：36-8=28，因为30-8=22，22 6=28。
生3：36-8=28，因为6-6=0，30-2=28。
生4：36-8=28，因为6-4=2，30-4=26，26 2=28。
生5：36-8=28，因为6-2=4，30-6=24，24 4=28。
汇报完了，没有一位同学说出书上提供的方法：16-8=8，20 8=28。我接着问：“同学们，你们还有不同的做法吗？”没有学生举手，课堂顿时出现了“冷场”。怎么办呢？书上的解法相对来说是最优化的解法，不能不讲，但是难道直接给学生讲解吗？可是他们已经有了自己的想法，能理解和接受吗？很明显，学生的思维形成了定势，固执于自己的解法，思维受阻了，怎样才能激活他们的思维呢？我稍作停顿，肯定了学生的多种解法，然后出了这样一组题：36-8，46-8，56-8，66-8。让学生先计算，再汇报结果，然后让学生讨论每道题什么没变，什么变了，他们的变化有规律吗？学生在全班交流中，很快发现了减数没变，被减数和差变了，后一道题的被减数比前一道题的被减数多10，每道题差的十位上的数都比被减数的十位上少1，每道题的个位上都是6。大家为这发现兴奋不已。我又接着问：“这是为什么呢？”学生又很快发现：因为16-8=8。最后学生意见达成一致，先想16-8=8，差的个位上就是8，十位上的数比被减数的十位上的数少1就行了。
课堂上的冷场是难以避免的，也是允许出现的。当我们的课堂上出现冷场局面时，往往就是学生的思维形成定势，或者难以发散的时候，这时，就需要教师担当好组织者、引导者和促进者的角色，运用敏锐的洞察力，寻找新的突破口，沉着冷静，步步为营，把学生的思维引导出困境，让冷场重燃激情，让空白孕育精彩。
五、在尴尬时跟进，让干戈化为玉帛
新课程下的课堂是动态生成的课堂，既有预设的生成，也会出现非预设的生成。而当我们“遭遇”非预设生成时，有时会把教师推到一个尴尬的境地，面对自己没有设想到的意外，我们该如何处理呢？这就更需要教师及时的跟进，灵活地调整教学程序和教学方法，使课堂的非预设生成更有价值，同时也使自己摆脱尴尬。
如一位教师在教学“三角形面积计算”一课时，师说：“你们想知道三角形面积计算方法吗？”突然，一位学生站起来：“我知道，三角形面积=底×高÷2。”学生的回答出乎老师的意料之外，这样一来，教师原先精心设计的各个精妙的教学环节与预先设计好了的精心提问，一下子全泡了汤？但是，老师马上微微一笑说：“你怎么知道的？”生回答：“我从书上看到的。”是啊，学生已经进行了预习。师接着问：“那么三角形的面积计算公式是怎样推导出来的呢？”生说：“我知道，把一个平行四边形沿着对角线剪开，分成了两个等底等高相同的三角形，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。”师问：“那你知道为什么要沿着对角线剪，不沿着对角线剪可以吗？”该生摇头。师说：“不要紧，下面我们就一起来动手试一试。”这样，原定让学生探索结论的教学变成了让学生验证结论的教学。
这位老师在面临尴尬时，没有把学生的回答往自己预设的“轨道”上死拉硬拽，而是采取了巧妙的应急措施，调整课堂教学环节，化干戈为玉帛，使自己也摆脱了困境。同时也抓住了学生思维的盲点，使课堂教学向着有利于学生发展的方向纵深推进。
在课堂教学双边参与的动态进程中，教师应准确洞察学生心灵的秘密，敏捷地捕捉学生在课堂稍纵即逝的变化。不断捕捉、判断、重组从学生那里涌现出来的各种信息，见机而作，有价值的信息资源应及时纳入课堂临场设计的范畴之中，充分利用，适时跟进，提高教学的有效性，从而真正实现“以学定教”课堂教学的弹性优化。
（汪凌霞，江阴市云亭实验小学，214422）
责任编辑：赵赟