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【摘要】线性代数是工程数学的重要组成部分，针对线性代数课程教学中存在的一些问题，笔者提出了有针对性的改革措施，并在教学过程中进行了实践，切实提高了线性代数的教学质量.
【关键词】线性代数;教学改革;数学实验
线性代数是工程数学的重要组成部分，是科学技术的语言，在理论研究和工程技术领域有着广泛的应用，线性代数是计算机辅助设计、数值分析、控制理论、加密解密、图像处理等技术的重要基础.近年来，线性代数也在向经济、金融、管理、社会科学等领域渗透.线性代数是通过各种相关问题的解决方法的总结和凝练，抽象出一系列概念、表达方法和计算方法，教师只是简单地向学生直接灌输这些抽象的内容，往往很难取得较好的教学效果.笔者认为当前线性代数教学面临的问题主要有以下几个方面：教材内容局限于抽象的概念和方法，未能通过应用案例展现利用线性代数解决各类实际问题的能力;教师教学主要以教授概念和理论为主，缺乏与相关背景知识、应用场景、案例分析的结合;课堂教学手段单一，与现代化的手段结合得不好.课题组通过多年的教学实践，对这门课程进行了改革，收到很好的教学效果.采取的主要措施有：
一、编写了《线性代数》教材
好的教材是保证教学效果的关键.翻看当前主流线性代数教材，浏览众多的线性代数网课，绝大部分都是“开门见山”，从开篇介绍线性方程组，到行列式、矩阵、矩阵变换等内容，讲的基本上都是抽象的定义、定理及其推理证明，内容多、理论性强、枯燥乏味，导致学生学习热情不高.为什么要学习线性代数？线性代数能够解决哪些问题？那些抽象概念是从何而来的？在教材中缺少配套的背景知识，书上习题也鲜有案例应用，几乎不涉及数值计算，这几乎是大学数学教育共同的痛点，只是给学生灌输抽象、枯燥的概念和理论，不联系实际，导致学生应用能力不足，对自己熟悉的領域不会用矩阵建模解题，基础课成了纯粹的“考研课”，不能学以致用，造成了教材和教学目标有偏差.随着计算机技术的发展，集成线性代数理论的工具软件种类繁多、功能强大，可以解决各种类型的问题.因此，如何在掌握线性代数基础知识的基础上，学会运用工具软件解决实际问题，是学用结合，提高大学生的实践能力和创新能力，适应素质教育和能力培养的有益尝试.为此，我们编写了一部面向应用，满足广大的非数学专业学生的需要的线性代数教材，该教材在保留传统线性代数理论体系的基础上，克服了上述不足.主要特色是：（1） 引入大量应用实例，使得课程具有实用性和趣味性;（2）把数学软件MATLAB引入教材.教材在每章后面都加入了数学实验的内容，要求学生以MATLAB为工具完成数学实验.使学生对MATLAB的使用有初步的了解以及加强对相关知识的理解和运用;（3）引入知识纵横，讲述数学知识背后的故事，加强数学教材的趣味性，使得学习更有“带入感”.
二、以数学建模为牵引，将应用案例融入教学中
现实世界的问题纷繁复杂，要想利用数学知识解决实际问题，第一个步骤就是将问题抽象为数学模型，也就是数学建模.建模是数学知识和应用之间的桥梁，不会建模，只会算法是无法解决实际问题的.在教学中，我们紧密结合具体的专业实际并结合生产、生活实践，穿插讲解一些应用实例，例如，用可逆阵进行保密编译码、交通流量问题、投入产出模型、人口迁移问题及基因问题等.下面举两个具体应用实例：
例1 用可逆阵进行保密编译码.
为了实现英文文本的密文传输，可以利用一种简单的保密措施，就是把文本中的英文字母用一个对应的整数来表示，然后传送这组整数.例如，26个英文字母A，B，…，Y，Z依次对应数字1，2，…，25，26，若要发送单词“battle”，则编码是2，1，20，20，12，5.用这种简单的编码方法，在一个长文本中，根据编码数字出现的频率，能估计它所代表的字母，容易被破译.因此，可以利用矩阵的乘法对编码进一步加密.
现任选一个行列式等于-1的整数矩阵，如
所以，将所收到的编码写成两个向量后，经过乘A-1解码，为2，1，20，20，12，5，最后，利用使用的代码将编码恢复为明码，得到单词“battle”.
教师在教学中引入这些应用实例，灌输数学建模思想，并把一些应用问题纳入课程的习题，使学生深切地感受到线性代数确实有许多重要的应用，从而激发学生学习的积极性，在一定程度上克服畏难情绪，有效提升线性代数的教学效果.
三、将MATLAB引入线性代数教学中
在每章后面都加入了数学实验的内容，围绕线性代数课程的教学内容来介绍如何用MATLAB完成各种运算.例如，投入产出模型矩阵形式AX Y=X，解出总产品列向量X=（E-A）-1Y，当列向量矩阵E-A阶数很大时，靠手算这个高阶矩阵的逆，相当烦琐与费时.但若用MATLAB算，输入语句：X=inv（E-A）-1Y，则几秒钟就出结果了，使学生对线性代数的复杂运算不再恐惧，并体会到数学软件的强大功用.当然，线性代数的整个理论体系并不因使用计算机而有所改变.但是若原有的线性代数教学没有引入现代化的工具软件，只教笔算，则就像明明有先进的电动工具，还让大家拿手动工具干活一样，效率低而且缺少乐趣.将MATLAB软件应用引入教学实践中，使学生通过工具软件体验线性代数理论各种算法的实际应用，做到了理论与实践相结合.
下面举一个用数学实验完成的应用题：
例2 在直流电路图中，直流电源的电动势E1=15 V，E2=70 V，E3=5 V.各支路的负载电阻R1=6 Ω，R2=5 Ω，R3=10 Ω，R4=2.5 Ω，R5=15 Ω，求通过各支路的电流I1，I2，I3，I4，I5各是多少安培.
于是解得I1=5A，I2=8A，I3=1A，I4=-6A，I5=2A.I4为负值，表明其方向与图示相反.
上面这类例子能增强学生的实践能力及分析问题、解决问题的能力，学生在形成良好的数学思维前提下，对数学软件的灵活使用为专业课题研究及数学建模能力的培养做了必要的准备. 四、综合运用现代化教学手段，增强课程吸引力
传统教学中，教师仅通过板书和口述进行讲解，表现形式单一，很难让学生持续保持专注度.在教学中求新、求变是保持“吸引力”的不二法门，将多媒体演示与MATLAB数学软件展示等手段引入课堂，在学生产生疲倦情绪之前，通过动画展示、软件编程演示、与学生互动交流等方式，调动学生的好奇心、参与感和成就感，让学生在不知不觉中接受了本来枯燥的概念和理论，同时积极思考、积极参与解决问题，取得了非常好的教学效果.
五、改革考核方式，促进学生综合能力的提升
为了将培养大学生的数学思维能力和数值计算能力落到实处，将实践教学的结果纳入线性代数课程的考核中，除了原有的考核方式外，还增加撰写一篇小论文（题目可由老师拟定，也可自定），成绩占总评成绩的10[WTB3]%[WTBX]，要求学生根据论文题目从建立数学模型入手，联系所学的线性代数知识，利用MATLAB软件编制简单的程序，完成求解，并将完整的过程编制成小论文.这种考核方式可以较好地锻炼学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质.
课题组编写的教材于2012年1月由机械工业出版社出版发行，我校已使用7个学期，任课教师和学生普遍反映良好.教材的知识体系合理，学生能由浅入深地理解概念和掌握知识，对线性代数的应用有一个比较深刻的理解，在使用该教材之前的线性代数教学中经常有同学问线性代数有什么用处，任课教师只能泛泛地谈，在该教材中有大量应用方面的例子，这些例子和实际结合得比较紧密，通过学习学生都能感到线性代数课程在以后的学习和工作中有很大的用处.教学中加强了概念与理论的背景和应用介绍，在一定程度上克服了理论学习的抽象性和枯燥性，理论和实际结合得比较紧密，激发了学生学习线性代数的兴趣.把MATLAB软件引入线性代数教学，使学生对线性代数的烦琐运算不再惧怕.学生在掌握了线性代数的基础知识的同时，还通过实际操作初步掌握了这个强大的计算工具，熟练运用这个“强大武器”必将在其他各门功课的学习乃至今后的工作中发挥更大的作用.在计算中运用MATLAB解题，提高了学生的科学计算能力及理论与实践相结合的能力.对四届试点班的学生调查显示，他们都反对只教筆算，对试点中自己学会机算很自豪.其主要好处有：①学以致用，有目的，有兴趣;②节省了算题时间，可以多看书和思考;③会解任意高阶题目，对后续课程很有用处.试点班学生的实践能力远高于普通班，普通班学生只能笔算四阶及以下简单的实数方程组，也给后续课的机算创造了条件.我们将在线性代数教学改革之路上继续前进，并争取在今后的教学中取得更大的效果.
【参考文献】
[1]艾玲，沙萍等.线性代数：第1版[M].北京：机械工业出版社，2012.
[2]马思遥，宫春梅.浅谈线性方程组与线性空间的联系[J].数学学习与研究，2018（03）：2-4，6.
[3]林建青.基于线性方程组理论应用的研究[J].景德镇学院学报，2019，34（06）：46-49.
[4]何季阳.线性规划问题矩阵调配求解法初探[J].吉林工学院学报，1983（00）：6-15.
[5]吴天毅.线性代数教学内容改革的研究与实践[J].天津轻工业学院学报，2003（S1）：93-95，114.
【关键词】线性代数;教学改革;数学实验
线性代数是工程数学的重要组成部分，是科学技术的语言，在理论研究和工程技术领域有着广泛的应用，线性代数是计算机辅助设计、数值分析、控制理论、加密解密、图像处理等技术的重要基础.近年来，线性代数也在向经济、金融、管理、社会科学等领域渗透.线性代数是通过各种相关问题的解决方法的总结和凝练，抽象出一系列概念、表达方法和计算方法，教师只是简单地向学生直接灌输这些抽象的内容，往往很难取得较好的教学效果.笔者认为当前线性代数教学面临的问题主要有以下几个方面：教材内容局限于抽象的概念和方法，未能通过应用案例展现利用线性代数解决各类实际问题的能力;教师教学主要以教授概念和理论为主，缺乏与相关背景知识、应用场景、案例分析的结合;课堂教学手段单一，与现代化的手段结合得不好.课题组通过多年的教学实践，对这门课程进行了改革，收到很好的教学效果.采取的主要措施有：
一、编写了《线性代数》教材
好的教材是保证教学效果的关键.翻看当前主流线性代数教材，浏览众多的线性代数网课，绝大部分都是“开门见山”，从开篇介绍线性方程组，到行列式、矩阵、矩阵变换等内容，讲的基本上都是抽象的定义、定理及其推理证明，内容多、理论性强、枯燥乏味，导致学生学习热情不高.为什么要学习线性代数？线性代数能够解决哪些问题？那些抽象概念是从何而来的？在教材中缺少配套的背景知识，书上习题也鲜有案例应用，几乎不涉及数值计算，这几乎是大学数学教育共同的痛点，只是给学生灌输抽象、枯燥的概念和理论，不联系实际，导致学生应用能力不足，对自己熟悉的領域不会用矩阵建模解题，基础课成了纯粹的“考研课”，不能学以致用，造成了教材和教学目标有偏差.随着计算机技术的发展，集成线性代数理论的工具软件种类繁多、功能强大，可以解决各种类型的问题.因此，如何在掌握线性代数基础知识的基础上，学会运用工具软件解决实际问题，是学用结合，提高大学生的实践能力和创新能力，适应素质教育和能力培养的有益尝试.为此，我们编写了一部面向应用，满足广大的非数学专业学生的需要的线性代数教材，该教材在保留传统线性代数理论体系的基础上，克服了上述不足.主要特色是：（1） 引入大量应用实例，使得课程具有实用性和趣味性;（2）把数学软件MATLAB引入教材.教材在每章后面都加入了数学实验的内容，要求学生以MATLAB为工具完成数学实验.使学生对MATLAB的使用有初步的了解以及加强对相关知识的理解和运用;（3）引入知识纵横，讲述数学知识背后的故事，加强数学教材的趣味性，使得学习更有“带入感”.
二、以数学建模为牵引，将应用案例融入教学中
现实世界的问题纷繁复杂，要想利用数学知识解决实际问题，第一个步骤就是将问题抽象为数学模型，也就是数学建模.建模是数学知识和应用之间的桥梁，不会建模，只会算法是无法解决实际问题的.在教学中，我们紧密结合具体的专业实际并结合生产、生活实践，穿插讲解一些应用实例，例如，用可逆阵进行保密编译码、交通流量问题、投入产出模型、人口迁移问题及基因问题等.下面举两个具体应用实例：
例1 用可逆阵进行保密编译码.
为了实现英文文本的密文传输，可以利用一种简单的保密措施，就是把文本中的英文字母用一个对应的整数来表示，然后传送这组整数.例如，26个英文字母A，B，…，Y，Z依次对应数字1，2，…，25，26，若要发送单词“battle”，则编码是2，1，20，20，12，5.用这种简单的编码方法，在一个长文本中，根据编码数字出现的频率，能估计它所代表的字母，容易被破译.因此，可以利用矩阵的乘法对编码进一步加密.
现任选一个行列式等于-1的整数矩阵，如
所以，将所收到的编码写成两个向量后，经过乘A-1解码，为2，1，20，20，12，5，最后，利用使用的代码将编码恢复为明码，得到单词“battle”.
教师在教学中引入这些应用实例，灌输数学建模思想，并把一些应用问题纳入课程的习题，使学生深切地感受到线性代数确实有许多重要的应用，从而激发学生学习的积极性，在一定程度上克服畏难情绪，有效提升线性代数的教学效果.
三、将MATLAB引入线性代数教学中
在每章后面都加入了数学实验的内容，围绕线性代数课程的教学内容来介绍如何用MATLAB完成各种运算.例如，投入产出模型矩阵形式AX Y=X，解出总产品列向量X=（E-A）-1Y，当列向量矩阵E-A阶数很大时，靠手算这个高阶矩阵的逆，相当烦琐与费时.但若用MATLAB算，输入语句：X=inv（E-A）-1Y，则几秒钟就出结果了，使学生对线性代数的复杂运算不再恐惧，并体会到数学软件的强大功用.当然，线性代数的整个理论体系并不因使用计算机而有所改变.但是若原有的线性代数教学没有引入现代化的工具软件，只教笔算，则就像明明有先进的电动工具，还让大家拿手动工具干活一样，效率低而且缺少乐趣.将MATLAB软件应用引入教学实践中，使学生通过工具软件体验线性代数理论各种算法的实际应用，做到了理论与实践相结合.
下面举一个用数学实验完成的应用题：
例2 在直流电路图中，直流电源的电动势E1=15 V，E2=70 V，E3=5 V.各支路的负载电阻R1=6 Ω，R2=5 Ω，R3=10 Ω，R4=2.5 Ω，R5=15 Ω，求通过各支路的电流I1，I2，I3，I4，I5各是多少安培.
于是解得I1=5A，I2=8A，I3=1A，I4=-6A，I5=2A.I4为负值，表明其方向与图示相反.
上面这类例子能增强学生的实践能力及分析问题、解决问题的能力，学生在形成良好的数学思维前提下，对数学软件的灵活使用为专业课题研究及数学建模能力的培养做了必要的准备. 四、综合运用现代化教学手段，增强课程吸引力
传统教学中，教师仅通过板书和口述进行讲解，表现形式单一，很难让学生持续保持专注度.在教学中求新、求变是保持“吸引力”的不二法门，将多媒体演示与MATLAB数学软件展示等手段引入课堂，在学生产生疲倦情绪之前，通过动画展示、软件编程演示、与学生互动交流等方式，调动学生的好奇心、参与感和成就感，让学生在不知不觉中接受了本来枯燥的概念和理论，同时积极思考、积极参与解决问题，取得了非常好的教学效果.
五、改革考核方式，促进学生综合能力的提升
为了将培养大学生的数学思维能力和数值计算能力落到实处，将实践教学的结果纳入线性代数课程的考核中，除了原有的考核方式外，还增加撰写一篇小论文（题目可由老师拟定，也可自定），成绩占总评成绩的10[WTB3]%[WTBX]，要求学生根据论文题目从建立数学模型入手，联系所学的线性代数知识，利用MATLAB软件编制简单的程序，完成求解，并将完整的过程编制成小论文.这种考核方式可以较好地锻炼学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质.
课题组编写的教材于2012年1月由机械工业出版社出版发行，我校已使用7个学期，任课教师和学生普遍反映良好.教材的知识体系合理，学生能由浅入深地理解概念和掌握知识，对线性代数的应用有一个比较深刻的理解，在使用该教材之前的线性代数教学中经常有同学问线性代数有什么用处，任课教师只能泛泛地谈，在该教材中有大量应用方面的例子，这些例子和实际结合得比较紧密，通过学习学生都能感到线性代数课程在以后的学习和工作中有很大的用处.教学中加强了概念与理论的背景和应用介绍，在一定程度上克服了理论学习的抽象性和枯燥性，理论和实际结合得比较紧密，激发了学生学习线性代数的兴趣.把MATLAB软件引入线性代数教学，使学生对线性代数的烦琐运算不再惧怕.学生在掌握了线性代数的基础知识的同时，还通过实际操作初步掌握了这个强大的计算工具，熟练运用这个“强大武器”必将在其他各门功课的学习乃至今后的工作中发挥更大的作用.在计算中运用MATLAB解题，提高了学生的科学计算能力及理论与实践相结合的能力.对四届试点班的学生调查显示，他们都反对只教筆算，对试点中自己学会机算很自豪.其主要好处有：①学以致用，有目的，有兴趣;②节省了算题时间，可以多看书和思考;③会解任意高阶题目，对后续课程很有用处.试点班学生的实践能力远高于普通班，普通班学生只能笔算四阶及以下简单的实数方程组，也给后续课的机算创造了条件.我们将在线性代数教学改革之路上继续前进，并争取在今后的教学中取得更大的效果.
【参考文献】
[1]艾玲，沙萍等.线性代数：第1版[M].北京：机械工业出版社，2012.
[2]马思遥，宫春梅.浅谈线性方程组与线性空间的联系[J].数学学习与研究，2018（03）：2-4，6.
[3]林建青.基于线性方程组理论应用的研究[J].景德镇学院学报，2019，34（06）：46-49.
[4]何季阳.线性规划问题矩阵调配求解法初探[J].吉林工学院学报，1983（00）：6-15.
[5]吴天毅.线性代数教学内容改革的研究与实践[J].天津轻工业学院学报，2003（S1）：93-95，114.