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摘 要：本文以蝴蝶定理为载体，以蝴蝶定理的教育价值为切入点，从体现数学之美，激发学生学习的兴趣；形式多样的解题策略，提供给学生研究性学习的可能性；寻找方便之解，诱发学生后续学习的兴趣；形式简单的推广，为学生提供数学研究的范例等四个方面谈普通高中数学课程标准理念的实现。
关键词： 蝴蝶定理 数学美 研究性学习 教育价值
一、问题的提出
众所周知，“数学使人理性”，数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的，不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是公民所必须具备的一种基本素质，而公民的数学素养，主要是靠学校教育来形成的。
20世纪以来，世界数学课程改革蓬勃兴起，并逐步深入。2003年，我国正式颁布了《普通高中数学课程标准（试验）》，课程标准对数学课程的性质、理念，对课程的内容、目标，对课程内容的教学、评价有了新的认识。在课程理念中指出：数学课程要体现数学的美学价值，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，并创造各种有利的条件，激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生养成独立思考、积极探索的习惯，并在其中体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。［１］
那么，在具体的课堂教学实践中，如何使课程理念真正落实，以提高学生的数学素养？本文试图以蝴蝶定理为载体，以蝴蝶定理的教育价值为切入点阐述以上课程理念的实现。
二、蝴蝶定理简介
图1是一只漂亮的蝴蝶，几何图形化、数学文字化后得一个漂亮的命题：过一圆的AB弦中点M引任意两弦CD和EF，连结CF、ED，交AB弦于P、Q两点，则有PM=MQ。命题的图形貌似一只翩翩起舞的蝴蝶，对称、和谐，且在对称、和谐中动静结合，富有诗情画意之美，故命名为蝴蝶定理。蝴蝶定理作为一道著名的平面几何题，有人称誉它为欧氏几何园地里的“一棵生机勃勃的常青树”。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于英国伦敦1815年出版的一份数学科普刊物《先生日记（Gentleman’s Diary）》上，登出的当年，英国一个自学成才的中学教师霍纳(W．G．Horner 1786-1837)就给出第一个证明，证明过程比较繁，使用的知识也比较深；1973年，又一位中学教师斯特温用三角形面积关系给出了一个漂亮而简捷的证明；1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理的证明像雨后春笋般脱颖而出，证法不枚胜举，蝴蝶定理也便在神州大地到处传开。到目前为止，蝴蝶定理的证明已有60多种不同的方法。
三、蝴蝶定理的教育价值
1.体现数学之美，激发学生学习的兴趣。
人的心灵是知、情、意的统一，有了兴趣，才会有学习的主动性和积极性。但谈起几何的学习时总会说：几何几何，三尖八角，老师好教，学生难学。使我们所看到的只是几何图形的纷繁复杂，几何证明的抽象多变。几何就像一把双刃剑，一方面帮助一部分学生在数学学习的道路上披荆斩棘，使他们越行越远，另一方面却把一部分学生从数学学习的道路上挥剑斩下，从此厌恶几何、远离几何，并丧失学习的兴趣和信心。
对美的向往，是人类的共同追求；对美的热爱，总能够激起人类的内心需求。数学是人类文化的重要组成部分，数学课程要反映数学的美学价值。数学美包括简洁美、对称美、和谐美和奇异美等，蝴蝶定理，把平面图形中最完美的图形——圆和大自然生命中的精灵——蝴蝶和谐地统一在一起，再加上教师的语言诱导，使学生恍惚置身于美丽的田园、清澈的山水之间，身心得到愉悦的享受。在学生良好的情感体验之下，“角”不再坚硬，“证明”不再抽象，而是自己的一种内心需求，从而激发起学生学习的兴趣，在兴趣的指引下，经历一次次的成功，最终建立起对几何的热爱。
2.形式多样的解题策略，提供给学生研究性学习的可能性。
现代学习理论研究表明：学习是学生的一个积极主动的建构过程。积极主动的建构过程指学生“整个人”（包括情感和认知两方面）都负责地投入学习活动中，开展交流、磋商，并进行自我调整和修正等。
研究性学习是指在教学过程中以问题为载体，创设一种类似科学研究的情境和途径，让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程，进而了解社会，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力。研究性学习的核心是要改变学生的学习方式，强调一种主动探究式的学习，让学生通过自己的努力去积极主动地建构知识，是培养学生的创新精神和实践能力、推行素质教育的一种新的尝试和实践。
蝴蝶定理至今所发现的60多中证法中，初等证法就有综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、全等三角形法等等，证明见参考文献［２］［３］。这些方法，都是证明两线段相等方法的深入应用，方法非常灵活，有的实在不易想到。但我们改变以往传统的课堂讲授的形式，改师生共同完成为学生自主探索、合作交流、动手实践、阅读自学完成，把学生分成小组，通过思考问题、提出方案、尝试解决、拓宽思路、查阅资料、展示成果这样的几个环节，让学生带着问题去查阅资料，去开阔思路，相互交流，共同讨论。在他们的集思广议之下，一定会使得问题有所突破。并在这样的学习过程中，让他们体会集体的力量，学会合作，学会分析问题、解决问题的方法。周春荔教授也曾指出，蝴蝶定理是一个研究性学习的好课题［２］。
3.寻找方便之解，诱发学生后续学习的兴趣。
对于蝴蝶定理，参考文献［２］［３］提供了众多的初等证法。这些初等证法不仅解题过程繁琐，而且所涉及的知识点都比较多，包括中心对称、三角形全等、四点共圆、正弦定理等等。这些知识点，又基本上都是几何学习中的难点，而且除解析法外，都涉及作辅助线。作辅助线，是部分学生在学习几何是难以越跃的一条鸿沟。
蝴蝶定理有没有形式简洁的证明呢？当然有，此时可向学生指出，在图2中，连接FA、FB、DA、DB，则A、P、M、B是从点C（或从点F）出发的四条直线与直线AB的交点，A、M、Q、B是从点E（或从点D）出发的四条直线与直线AB的交点，对于点A、P、M、B与点A、M、Q、B，具有
而已知AM=MB，所以得到
再应用分比定理，并注意PB-PM=AQ-MQ，就得到PM=MQ。
这一证明过程，简洁明了，玲珑剔透，所涉及的知识点较少，在经历了初等解法的繁琐后，学生一定会被它的简洁美所折服，也会被［A，P，M，B］=［A，M，Q，B］，从而 = 所迷惑。这时，教师指出这一证明所需的知识点是“交比”，并简要介绍“交比”这一概念，指出“交比”是《高等几何》课程研究的内容之一，激发起学生学习《高等几何》的兴趣，并把学生诱向学习《高等几何》的大门。
4.形式简单的推广和演变，为学生提供数学研究的范例。
数学书似乎永远都是一个样：打开之后，首先进入眼帘的是密密麻麻的数学符号，纵横交错的几何图形，大串大串的公理、定理、公式，连篇累牍的推理、推理、再推理。几乎所有学习数学的人都认为，数学研究，数学的发展，那是数学家的事。实际上，“数学的发展正是由数学中某些概念的推广和由此而引发的新内容、新概念、新方法、新问题的出现而导致”。［４］
下面，我们借助蝴蝶定理的推广和演变，向学生阐述数学知识的创造过程：
蝴蝶定理的内容要求CF和ED与弦AB有交点，这就限制了弦CD和EF的范围，当CF和ED与弦AB交于圆外时，产生了一个推论；当CF和ED交圆外的一条直线于两点时，又产生了另一个推论，于是由蝴蝶定理的内容要求产生了两个简单的推论。
推论1.过圆的AB弦的中点M，引任意两条弦CD和EF，直线CF与ED与直线AB交于P、Q两点，则有MP=MQ。(如图3)
推论2：l为圆O外的一直线，OM垂直于l于M点，过M引圆的任意两条割线MCD，MEF，直线CF和ED与直线l交于P、Q两点，则有MP=MQ。（如图4）
在蝴蝶定理中，如果点M不是AB的中点，又可得如下的推广：
推广：如图5，设M是圆的弦AB上（除端点外）的任一点，过M作圆的任意两弦CD，EF，线段CF，DE分别交AB于G，H两点，则
此定理成为坎迪定理，当AM=BM时，即可得GM=HM，所以蝴蝶定理是坎迪定理的特殊情形。
然后想，把蝴蝶定理中的圆演变为椭圆会是什么样一种状况呢？如图6，此时，平面几何的证法已经无能为力，解析几何证法的优越性凸显。事实上，在椭圆中确实也有类似的结论：过椭圆的AB弦中点作任意两弦CD和EF，直线CF和ED交直线AB于P，Q两点，则有PM=MQ。更有推广到任一条非退化的二次曲线中的情形。而由二弦我们也容易想到多弦的问题，比如，在圆中拓广可成“三翅蝴蝶问题”，但是以上都是在二维平面上的推广情形，说到这里，就会不自觉地要去想三维空间乃至实n维欧氏空间中的二次超曲面的情形。像这样我们不停地从特殊从一般、从常态到非常态地进行思维，通过对问题的实验，对问题的类比，对问题结论的直觉猜想，对结论的逻辑推理证明，不断地学习，不断地获得新的结论，这个过程，就是数学研究的过程。
总之，蝴蝶定理这一教学内容，不仅能有效地发展学生的推理能力，而且能引导学生感受数学的思想方法，提高数学的鉴赏力，体验学习数学的乐趣，发展空间观念和自主创新的意识。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］周春荔.蝴蝶定理——一个研究性学习的好课题［J］.数学通报，2004，(1).
［3］左宗明编著.世界数学命题选讲［M］.上海：上海科学技术出版社，1990.
［4］吴振奎，吴旻编著.数学的创造［M］.上海：上海教育出版社，2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 蝴蝶定理 数学美 研究性学习 教育价值
一、问题的提出
众所周知，“数学使人理性”，数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的，不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是公民所必须具备的一种基本素质，而公民的数学素养，主要是靠学校教育来形成的。
20世纪以来，世界数学课程改革蓬勃兴起，并逐步深入。2003年，我国正式颁布了《普通高中数学课程标准（试验）》，课程标准对数学课程的性质、理念，对课程的内容、目标，对课程内容的教学、评价有了新的认识。在课程理念中指出：数学课程要体现数学的美学价值，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，并创造各种有利的条件，激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生养成独立思考、积极探索的习惯，并在其中体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。［１］
那么，在具体的课堂教学实践中，如何使课程理念真正落实，以提高学生的数学素养？本文试图以蝴蝶定理为载体，以蝴蝶定理的教育价值为切入点阐述以上课程理念的实现。
二、蝴蝶定理简介
图1是一只漂亮的蝴蝶，几何图形化、数学文字化后得一个漂亮的命题：过一圆的AB弦中点M引任意两弦CD和EF，连结CF、ED，交AB弦于P、Q两点，则有PM=MQ。命题的图形貌似一只翩翩起舞的蝴蝶，对称、和谐，且在对称、和谐中动静结合，富有诗情画意之美，故命名为蝴蝶定理。蝴蝶定理作为一道著名的平面几何题，有人称誉它为欧氏几何园地里的“一棵生机勃勃的常青树”。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于英国伦敦1815年出版的一份数学科普刊物《先生日记（Gentleman’s Diary）》上，登出的当年，英国一个自学成才的中学教师霍纳(W．G．Horner 1786-1837)就给出第一个证明，证明过程比较繁，使用的知识也比较深；1973年，又一位中学教师斯特温用三角形面积关系给出了一个漂亮而简捷的证明；1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理的证明像雨后春笋般脱颖而出，证法不枚胜举，蝴蝶定理也便在神州大地到处传开。到目前为止，蝴蝶定理的证明已有60多种不同的方法。
三、蝴蝶定理的教育价值
1.体现数学之美，激发学生学习的兴趣。
人的心灵是知、情、意的统一，有了兴趣，才会有学习的主动性和积极性。但谈起几何的学习时总会说：几何几何，三尖八角，老师好教，学生难学。使我们所看到的只是几何图形的纷繁复杂，几何证明的抽象多变。几何就像一把双刃剑，一方面帮助一部分学生在数学学习的道路上披荆斩棘，使他们越行越远，另一方面却把一部分学生从数学学习的道路上挥剑斩下，从此厌恶几何、远离几何，并丧失学习的兴趣和信心。
对美的向往，是人类的共同追求；对美的热爱，总能够激起人类的内心需求。数学是人类文化的重要组成部分，数学课程要反映数学的美学价值。数学美包括简洁美、对称美、和谐美和奇异美等，蝴蝶定理，把平面图形中最完美的图形——圆和大自然生命中的精灵——蝴蝶和谐地统一在一起，再加上教师的语言诱导，使学生恍惚置身于美丽的田园、清澈的山水之间，身心得到愉悦的享受。在学生良好的情感体验之下，“角”不再坚硬，“证明”不再抽象，而是自己的一种内心需求，从而激发起学生学习的兴趣，在兴趣的指引下，经历一次次的成功，最终建立起对几何的热爱。
2.形式多样的解题策略，提供给学生研究性学习的可能性。
现代学习理论研究表明：学习是学生的一个积极主动的建构过程。积极主动的建构过程指学生“整个人”（包括情感和认知两方面）都负责地投入学习活动中，开展交流、磋商，并进行自我调整和修正等。
研究性学习是指在教学过程中以问题为载体，创设一种类似科学研究的情境和途径，让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程，进而了解社会，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力。研究性学习的核心是要改变学生的学习方式，强调一种主动探究式的学习，让学生通过自己的努力去积极主动地建构知识，是培养学生的创新精神和实践能力、推行素质教育的一种新的尝试和实践。
蝴蝶定理至今所发现的60多中证法中，初等证法就有综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、全等三角形法等等，证明见参考文献［２］［３］。这些方法，都是证明两线段相等方法的深入应用，方法非常灵活，有的实在不易想到。但我们改变以往传统的课堂讲授的形式，改师生共同完成为学生自主探索、合作交流、动手实践、阅读自学完成，把学生分成小组，通过思考问题、提出方案、尝试解决、拓宽思路、查阅资料、展示成果这样的几个环节，让学生带着问题去查阅资料，去开阔思路，相互交流，共同讨论。在他们的集思广议之下，一定会使得问题有所突破。并在这样的学习过程中，让他们体会集体的力量，学会合作，学会分析问题、解决问题的方法。周春荔教授也曾指出，蝴蝶定理是一个研究性学习的好课题［２］。
3.寻找方便之解，诱发学生后续学习的兴趣。
对于蝴蝶定理，参考文献［２］［３］提供了众多的初等证法。这些初等证法不仅解题过程繁琐，而且所涉及的知识点都比较多，包括中心对称、三角形全等、四点共圆、正弦定理等等。这些知识点，又基本上都是几何学习中的难点，而且除解析法外，都涉及作辅助线。作辅助线，是部分学生在学习几何是难以越跃的一条鸿沟。
蝴蝶定理有没有形式简洁的证明呢？当然有，此时可向学生指出，在图2中，连接FA、FB、DA、DB，则A、P、M、B是从点C（或从点F）出发的四条直线与直线AB的交点，A、M、Q、B是从点E（或从点D）出发的四条直线与直线AB的交点，对于点A、P、M、B与点A、M、Q、B，具有
而已知AM=MB，所以得到
再应用分比定理，并注意PB-PM=AQ-MQ，就得到PM=MQ。
这一证明过程，简洁明了，玲珑剔透，所涉及的知识点较少，在经历了初等解法的繁琐后，学生一定会被它的简洁美所折服，也会被［A，P，M，B］=［A，M，Q，B］，从而 = 所迷惑。这时，教师指出这一证明所需的知识点是“交比”，并简要介绍“交比”这一概念，指出“交比”是《高等几何》课程研究的内容之一，激发起学生学习《高等几何》的兴趣，并把学生诱向学习《高等几何》的大门。
4.形式简单的推广和演变，为学生提供数学研究的范例。
数学书似乎永远都是一个样：打开之后，首先进入眼帘的是密密麻麻的数学符号，纵横交错的几何图形，大串大串的公理、定理、公式，连篇累牍的推理、推理、再推理。几乎所有学习数学的人都认为，数学研究，数学的发展，那是数学家的事。实际上，“数学的发展正是由数学中某些概念的推广和由此而引发的新内容、新概念、新方法、新问题的出现而导致”。［４］
下面，我们借助蝴蝶定理的推广和演变，向学生阐述数学知识的创造过程：
蝴蝶定理的内容要求CF和ED与弦AB有交点，这就限制了弦CD和EF的范围，当CF和ED与弦AB交于圆外时，产生了一个推论；当CF和ED交圆外的一条直线于两点时，又产生了另一个推论，于是由蝴蝶定理的内容要求产生了两个简单的推论。
推论1.过圆的AB弦的中点M，引任意两条弦CD和EF，直线CF与ED与直线AB交于P、Q两点，则有MP=MQ。(如图3)
推论2：l为圆O外的一直线，OM垂直于l于M点，过M引圆的任意两条割线MCD，MEF，直线CF和ED与直线l交于P、Q两点，则有MP=MQ。（如图4）
在蝴蝶定理中，如果点M不是AB的中点，又可得如下的推广：
推广：如图5，设M是圆的弦AB上（除端点外）的任一点，过M作圆的任意两弦CD，EF，线段CF，DE分别交AB于G，H两点，则
此定理成为坎迪定理，当AM=BM时，即可得GM=HM，所以蝴蝶定理是坎迪定理的特殊情形。
然后想，把蝴蝶定理中的圆演变为椭圆会是什么样一种状况呢？如图6，此时，平面几何的证法已经无能为力，解析几何证法的优越性凸显。事实上，在椭圆中确实也有类似的结论：过椭圆的AB弦中点作任意两弦CD和EF，直线CF和ED交直线AB于P，Q两点，则有PM=MQ。更有推广到任一条非退化的二次曲线中的情形。而由二弦我们也容易想到多弦的问题，比如，在圆中拓广可成“三翅蝴蝶问题”，但是以上都是在二维平面上的推广情形，说到这里，就会不自觉地要去想三维空间乃至实n维欧氏空间中的二次超曲面的情形。像这样我们不停地从特殊从一般、从常态到非常态地进行思维，通过对问题的实验，对问题的类比，对问题结论的直觉猜想，对结论的逻辑推理证明，不断地学习，不断地获得新的结论，这个过程，就是数学研究的过程。
总之，蝴蝶定理这一教学内容，不仅能有效地发展学生的推理能力，而且能引导学生感受数学的思想方法，提高数学的鉴赏力，体验学习数学的乐趣，发展空间观念和自主创新的意识。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］周春荔.蝴蝶定理——一个研究性学习的好课题［J］.数学通报，2004，(1).
［3］左宗明编著.世界数学命题选讲［M］.上海：上海科学技术出版社，1990.
［4］吴振奎，吴旻编著.数学的创造［M］.上海：上海教育出版社，2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”