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[摘要]在小学数学教学中，学生對面积概念理解错误是一个常见的现象。为探索小学生面积概念学习的规律并为数学教师的教学提供对策，本研究对已学过面积概念的不同学校的四、五年级共80名学生进行问卷调查和课后访谈，并结合教学实际情况进行深入的研究。研究结果表明，面积教学时应整体把握单元教学内容，紧紧围绕面积的本质属性，设计直观、可感的操作和活动，让学生在熟悉的生活情境中积累面积的学习经验。
[关键词]面积概念 理解 对策
一、研究的背景及现状
在小学数学课程中，面积概念兼有几何和测量的概念，不仅在生活中常被使用，对数学知识系统来说，更是整合各个知识体系的桥梁。面积概念既可以作为解释乘法关系的基础，也常被当成理解分数、小数、除法等概念的工具，就是说面积并非只限于“面积”，更是一种“数形结合”思想的体现。因此，在小学阶段巩固面积概念的基础，发展空间观念，对学生未来数学概念的学习具有良好而深远的影响。
在实际教学面积概念时我们发现，学生既要面对几何结构、测量这两大方面的变化，又要理解面积概念的内涵，这对于刚刚接触图形的学生来说是有一定困难的。作为课堂教学的引导者，我们必须帮助学生克服面积概念学习中的困难。
学生在利用面积概念解决问题的过程中出现的错误，是学生学习困难的一种体现，是我们教学中最宝贵的第一手材料。因此，我们对学生面积概念学习困难的了解，可以首先从学生常犯错误的表象入手。“学生学习面积概念的困难主要表现在哪些方面”“常犯的错误有哪一些”“这一错误产生的原因是什么”“学生是如何理解面积概念的”“面对学生理解错误，教师应该如何应对”，这些问题都值得教师关注。
通过大量的课堂观察和分析，深刻认识到，要想克服面积概念教师难教、学生难于理解的现状，就必须对学生的学习情况、对学生面积概念理解错误的表现进行研究。
二、研究的目的和意义
1.为教师的教学提供诊断依据
有效的诊断必须从学生的角度出发，了解学生真实的思维过程，不能仅将从教师角度出发的推断作为矫正的依据。那么学生面积概念理解错误的原因在哪里？如果教师不了解原因，必将导致对学生的纠正缺乏针对性。同样，错误的纠正方式还会让学生不明就里，产生厌烦情绪。为了避免误诊，教师了解学生的真实思维状态必需、必要。
通过对学生面积概念理解错误表现的研究，有助于教师了解学生的困难所在，根据学生的实际需要和困难设计教学，从而使教学更具针对性，为提高教学质量打好基础。
2.探索小学生面积概念学习的规律
面积概念是学生学习的一个难点，不同国家的学生都存在相当大的困难。国外学者们对于学生如何学习面积概念的研究比较丰富，而且形成了各自的理论体系；国内对于小学生面积概念学习的研究还较为零散，尚未找到其中的规律性。本研究对学生面积概念理解错误表现的成因分析及对策有助于探索学生面积概念学习中的规律，帮助学生真正理解面积概念。
三、面积概念理解错误表现种类及原因分析
1.学生面积概念理解错误的表现种类
研究之初，我们对已经学习过面积概念的不同学校的四、五年级共80名学生进行了学习后的问卷调查。
（1）四年级测试题。
①小明家要用木条和画布制作一个长60 cm，宽50 cm的长方形的画框，至少需要多长的木条？需要一块多大的画布？（学生做完后进行面积单位的转换）
②运用所学的知识解释下面算式的结果。
3×5=15 4×7=28
（2）五年级测试题。
给棱长为0.8 m的正方体木箱表面涂油漆，至少需要涂多大面积？
（3）问卷调查统计。
第一小题统计结果见表1。
对于第二小题，全部学生都用文字叙述来解释计算结果，没有人用面积模型解释。
在进行问卷调查之后，我们又对学生在面积概念学习中有什么困惑作了访谈。
访谈内容：你在学习面积概念的时候有哪些困难？为什么会觉得有这些困难？
访谈情况统计结果见表2。
从调研情况看，学生面积概念理解错误的主要表现有以下几种类型：①面积、周长概念混淆不清；②面积单位和周长单位的使用混淆；③对面积单位的含义缺乏理解；④理解面积的现实存在性存在困惑；⑤语言表达和理解存在问题；⑥测量工具（包括单位面积应用）的操作存在困难；⑦对解决问题缺乏直观的表征形式；⑧部分学生对面积计算存在困难。
2.学生面积概念理解错误表现产生的原因
（1）学生心理和认识原因。
学生面积概念理解错误的表现是否都是概念本身造成的呢？要想清楚这一点，首先应该了解学生理解面积概念的心理过程。很多面积概念的研究显示，学生常以视觉作为判别面积大小及求算面积的主要依据，这个现象与范希尔提出的视觉、分析、非形式化的演绎、形式化的演绎、严密性五个几何思维的发展层次相吻合。只依靠视觉理解概念对于学生学习面积概念来说，有好处也有副作用。好处在于面积的现实存在性和度量意义的理解以及面积估算能力的培养，都需要通过视觉加以辅助；副作用也很明显，视觉仅仅是一种主观的感觉，对于客观存在的面积难免存在误差，容易形成错误的认识。
（2）教师的教学行为原因。
基于以上对学生的学习心理和认识面积概念过程的分析，结合学生面积概念理解错误的表现种类，我们在研究中对部分教师的课堂教学进行了分析。发现有些教师教学时急于把知识传授给学生，从面的认识到面积概念的建立应该经历怎样的过程，教学过程中没有，学生更无法体验；为什么要建立面积单位，计算物体的面积为什么要数，为什么要用乘法来算，教师也没有让学生体验，学生在今后的计算中毫无疑问会产生困惑。通过进一步观察教师的教学行为，发现还存在以下不足：①教师对面积概念的形成过程认识不够，教学提问目的不明确，不能很好地揭示概念的本质；②过于注重面积公式结果的应用，对面积概念形成的过程解释太少；③学生自主操作过少，教师包办过多，从视觉辨识到建立正确表象之间缺乏联系，如面积单位的建立等；④教师对面积概念探索中的多元表征不够，导致学生对面积概念缺少多角度的理解或者说理解得不透彻、模棱两可；⑤教师为学生准备的学习材料过少；⑥部分教师对学生要求过高。 四、学生面积概念理解错误的对策
1.清楚面积概念的本质，认识学生对其理解的困难
面积概念的学习让学生对空间形式的认识从一维跨越到了二维。二维的面积概念涉及几何和测量两个方面的内容，存在两个方面的意义：一个是面积的现实存在性，即面积的大小是现实存在的，不会因为位置、方向、形状等形式的改变而改变；另一个是面积的度量，即借助一个面积单位或等效的测量工具，探索封闭图形内或物体表面覆盖情况，包括测量工具的使用、比较量的大小、计算测量的数据等，还包括面积单位的选择、测量技巧等，从而发展感受平面封闭图形和物体表面大小的能力。
面积的现实存在性和面积的度量意义互相交错连接才能形成完整的面积概念。首先，面积概念的现实存在性是理解面积度量意义的先决条件。只有理解了面积的现实存在性，才能对面积的度量意义有进一步的了解；其次，面积的度量意义是在对现实存在的物体的面进行探索的基础上才得以体现的。面积的度量是从用身边的对象如课本描述课桌面的大小，到非正式的单位面积如用报纸的张数描述黑板大小，进而用规范的单位面积如方格纸来计数，最后在计算单位面积的个数中发現面积公式的由来。
2.重视学生的操作经验
学生对面积概念的认识是从最初的直觉空间转化为表征空间，再发展到概念空间的。其教学也必须循序渐进，先从操作经验中开始感受发现，慢慢进入半具体表征，逐步发展到文字表达的阶段。最后通过多次的经验和概括抽象，才能清晰而牢固地建立相关的概念。因此，教学应该遵循认识面积概念的过程顺序，除此之外，教师应该为学生提供实物操作、半具体图表以及文字等多元表征的教学活动或练习，并鼓励学生积极讨论、叙述自己的理解、反思思维过程，借助各种感官加深学生对面积概念的理解。
面积的计算虽然是面积概念发展的最后目标，但是应该在操作一测量实践活动经验一将图形表征内化一解释的实施步骤中，让学生通过独立思考，真正理解面积计算公式的由来。
3.贴近学生的生活情境
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，义务教育阶段的数学学习不但要考虑数学本身的学科特点，更应遵循学生数学学习的心理规律，强调从学生已有生活经验出发。这就要求教师关注学生的学习过程，以学生的学习为前提进行教学。教师备课不仅要备教材，更重要的是备学生。每一个学生都是在自己已有经验（包括学科知识、日常生活经验、学习态度等）的基础上，来建构对新信息、新现象、新事物、新问题的理解。因此，教学面积概念的过程中要从学生身边的、他们感兴趣的生活情境中挖掘教学资源，使学生体验从生活情境中抽象出数学问题，在观察、实验、猜测、验证、推理与交流的数学活动中，建构面积概念的数学模型、寻求解决问题的方法。
五、结语
面积是小学阶段最重要的概念之一，面积的本质是对二维空间延展性的度量，对学生空间观念的建立起着至关重要的作用。因此，在教学时应该整体把握单元的教学内容，紧紧围绕面积的本质属性，设计直观、可感的操作和体验活动，打造厚重的学习过程，让学生多一些感受和经验的积累，帮助学生理解面积既是一个“几何”概念，也是一个“测量”概念的本质属性。
[关键词]面积概念 理解 对策
一、研究的背景及现状
在小学数学课程中，面积概念兼有几何和测量的概念，不仅在生活中常被使用，对数学知识系统来说，更是整合各个知识体系的桥梁。面积概念既可以作为解释乘法关系的基础，也常被当成理解分数、小数、除法等概念的工具，就是说面积并非只限于“面积”，更是一种“数形结合”思想的体现。因此，在小学阶段巩固面积概念的基础，发展空间观念，对学生未来数学概念的学习具有良好而深远的影响。
在实际教学面积概念时我们发现，学生既要面对几何结构、测量这两大方面的变化，又要理解面积概念的内涵，这对于刚刚接触图形的学生来说是有一定困难的。作为课堂教学的引导者，我们必须帮助学生克服面积概念学习中的困难。
学生在利用面积概念解决问题的过程中出现的错误，是学生学习困难的一种体现，是我们教学中最宝贵的第一手材料。因此，我们对学生面积概念学习困难的了解，可以首先从学生常犯错误的表象入手。“学生学习面积概念的困难主要表现在哪些方面”“常犯的错误有哪一些”“这一错误产生的原因是什么”“学生是如何理解面积概念的”“面对学生理解错误，教师应该如何应对”，这些问题都值得教师关注。
通过大量的课堂观察和分析，深刻认识到，要想克服面积概念教师难教、学生难于理解的现状，就必须对学生的学习情况、对学生面积概念理解错误的表现进行研究。
二、研究的目的和意义
1.为教师的教学提供诊断依据
有效的诊断必须从学生的角度出发，了解学生真实的思维过程，不能仅将从教师角度出发的推断作为矫正的依据。那么学生面积概念理解错误的原因在哪里？如果教师不了解原因，必将导致对学生的纠正缺乏针对性。同样，错误的纠正方式还会让学生不明就里，产生厌烦情绪。为了避免误诊，教师了解学生的真实思维状态必需、必要。
通过对学生面积概念理解错误表现的研究，有助于教师了解学生的困难所在，根据学生的实际需要和困难设计教学，从而使教学更具针对性，为提高教学质量打好基础。
2.探索小学生面积概念学习的规律
面积概念是学生学习的一个难点，不同国家的学生都存在相当大的困难。国外学者们对于学生如何学习面积概念的研究比较丰富，而且形成了各自的理论体系；国内对于小学生面积概念学习的研究还较为零散，尚未找到其中的规律性。本研究对学生面积概念理解错误表现的成因分析及对策有助于探索学生面积概念学习中的规律，帮助学生真正理解面积概念。
三、面积概念理解错误表现种类及原因分析
1.学生面积概念理解错误的表现种类
研究之初，我们对已经学习过面积概念的不同学校的四、五年级共80名学生进行了学习后的问卷调查。
（1）四年级测试题。
①小明家要用木条和画布制作一个长60 cm，宽50 cm的长方形的画框，至少需要多长的木条？需要一块多大的画布？（学生做完后进行面积单位的转换）
②运用所学的知识解释下面算式的结果。
3×5=15 4×7=28
（2）五年级测试题。
给棱长为0.8 m的正方体木箱表面涂油漆，至少需要涂多大面积？
（3）问卷调查统计。
第一小题统计结果见表1。
对于第二小题，全部学生都用文字叙述来解释计算结果，没有人用面积模型解释。
在进行问卷调查之后，我们又对学生在面积概念学习中有什么困惑作了访谈。
访谈内容：你在学习面积概念的时候有哪些困难？为什么会觉得有这些困难？
访谈情况统计结果见表2。
从调研情况看，学生面积概念理解错误的主要表现有以下几种类型：①面积、周长概念混淆不清；②面积单位和周长单位的使用混淆；③对面积单位的含义缺乏理解；④理解面积的现实存在性存在困惑；⑤语言表达和理解存在问题；⑥测量工具（包括单位面积应用）的操作存在困难；⑦对解决问题缺乏直观的表征形式；⑧部分学生对面积计算存在困难。
2.学生面积概念理解错误表现产生的原因
（1）学生心理和认识原因。
学生面积概念理解错误的表现是否都是概念本身造成的呢？要想清楚这一点，首先应该了解学生理解面积概念的心理过程。很多面积概念的研究显示，学生常以视觉作为判别面积大小及求算面积的主要依据，这个现象与范希尔提出的视觉、分析、非形式化的演绎、形式化的演绎、严密性五个几何思维的发展层次相吻合。只依靠视觉理解概念对于学生学习面积概念来说，有好处也有副作用。好处在于面积的现实存在性和度量意义的理解以及面积估算能力的培养，都需要通过视觉加以辅助；副作用也很明显，视觉仅仅是一种主观的感觉，对于客观存在的面积难免存在误差，容易形成错误的认识。
（2）教师的教学行为原因。
基于以上对学生的学习心理和认识面积概念过程的分析，结合学生面积概念理解错误的表现种类，我们在研究中对部分教师的课堂教学进行了分析。发现有些教师教学时急于把知识传授给学生，从面的认识到面积概念的建立应该经历怎样的过程，教学过程中没有，学生更无法体验；为什么要建立面积单位，计算物体的面积为什么要数，为什么要用乘法来算，教师也没有让学生体验，学生在今后的计算中毫无疑问会产生困惑。通过进一步观察教师的教学行为，发现还存在以下不足：①教师对面积概念的形成过程认识不够，教学提问目的不明确，不能很好地揭示概念的本质；②过于注重面积公式结果的应用，对面积概念形成的过程解释太少；③学生自主操作过少，教师包办过多，从视觉辨识到建立正确表象之间缺乏联系，如面积单位的建立等；④教师对面积概念探索中的多元表征不够，导致学生对面积概念缺少多角度的理解或者说理解得不透彻、模棱两可；⑤教师为学生准备的学习材料过少；⑥部分教师对学生要求过高。 四、学生面积概念理解错误的对策
1.清楚面积概念的本质，认识学生对其理解的困难
面积概念的学习让学生对空间形式的认识从一维跨越到了二维。二维的面积概念涉及几何和测量两个方面的内容，存在两个方面的意义：一个是面积的现实存在性，即面积的大小是现实存在的，不会因为位置、方向、形状等形式的改变而改变；另一个是面积的度量，即借助一个面积单位或等效的测量工具，探索封闭图形内或物体表面覆盖情况，包括测量工具的使用、比较量的大小、计算测量的数据等，还包括面积单位的选择、测量技巧等，从而发展感受平面封闭图形和物体表面大小的能力。
面积的现实存在性和面积的度量意义互相交错连接才能形成完整的面积概念。首先，面积概念的现实存在性是理解面积度量意义的先决条件。只有理解了面积的现实存在性，才能对面积的度量意义有进一步的了解；其次，面积的度量意义是在对现实存在的物体的面进行探索的基础上才得以体现的。面积的度量是从用身边的对象如课本描述课桌面的大小，到非正式的单位面积如用报纸的张数描述黑板大小，进而用规范的单位面积如方格纸来计数，最后在计算单位面积的个数中发現面积公式的由来。
2.重视学生的操作经验
学生对面积概念的认识是从最初的直觉空间转化为表征空间，再发展到概念空间的。其教学也必须循序渐进，先从操作经验中开始感受发现，慢慢进入半具体表征，逐步发展到文字表达的阶段。最后通过多次的经验和概括抽象，才能清晰而牢固地建立相关的概念。因此，教学应该遵循认识面积概念的过程顺序，除此之外，教师应该为学生提供实物操作、半具体图表以及文字等多元表征的教学活动或练习，并鼓励学生积极讨论、叙述自己的理解、反思思维过程，借助各种感官加深学生对面积概念的理解。
面积的计算虽然是面积概念发展的最后目标，但是应该在操作一测量实践活动经验一将图形表征内化一解释的实施步骤中，让学生通过独立思考，真正理解面积计算公式的由来。
3.贴近学生的生活情境
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，义务教育阶段的数学学习不但要考虑数学本身的学科特点，更应遵循学生数学学习的心理规律，强调从学生已有生活经验出发。这就要求教师关注学生的学习过程，以学生的学习为前提进行教学。教师备课不仅要备教材，更重要的是备学生。每一个学生都是在自己已有经验（包括学科知识、日常生活经验、学习态度等）的基础上，来建构对新信息、新现象、新事物、新问题的理解。因此，教学面积概念的过程中要从学生身边的、他们感兴趣的生活情境中挖掘教学资源，使学生体验从生活情境中抽象出数学问题，在观察、实验、猜测、验证、推理与交流的数学活动中，建构面积概念的数学模型、寻求解决问题的方法。
五、结语
面积是小学阶段最重要的概念之一，面积的本质是对二维空间延展性的度量，对学生空间观念的建立起着至关重要的作用。因此，在教学时应该整体把握单元的教学内容，紧紧围绕面积的本质属性，设计直观、可感的操作和体验活动，打造厚重的学习过程，让学生多一些感受和经验的积累，帮助学生理解面积既是一个“几何”概念，也是一个“测量”概念的本质属性。