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摘 要：汛限水位动态控制能在不降低水库防洪标准的条件下提高水库兴利效益和水资源利用率，本文以万家寨水库为研究背景，建立了汛限水位动态控制下的防洪调度风险分析模型。水库后汛期洪水样本较少，基于典型洪水过程，通过随机微分方程引入水文不确定因素，采用基于随机微分方程的调洪演算分析防洪调度风险。实例结果表明：水文因素的随机性是万家寨水库后汛期防洪风险的主要影响因素，得出了各汛限水位方案下的调洪最高水位。后汛期汛限水位动态控制，可不降低大坝的防洪安全标准显著增加水库的兴利效益。
关键词：防洪调度 风险分析 随机微分方程 汛限水位
中图分类号：TV697 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）04（a）-0000-00
作者简介：黄玫（1987- ），女，硕士，主要从事水资源规划、防洪调度分析计算工作。
1 风险分析模型
对于具体防洪对象的防洪风险极限状态，应规定明确的极限标志和限值[1]。影响水库防洪风险率的主要随机因子是调洪最高水位Z和最高蓄水位 。而最高调洪水位Z及相应的防洪风险率是与水库的整个调洪过程联系起来的[2]。在水库调洪过程中，存在着许多人们难以预料和控制的不确定性因素。这些因素有：①水文不确定性，主要是指入库洪水过程的不确定性；②水力不确定性，包括出库泄流能力的不确定和库容与水位关系的不确定性等方面因素。
在调洪过程中水库蓄水量V（t）由于受多种随机因素的影响，导致V（t）是一个平稳独立增量过程，并且是符合Wiener过程定义的随机过程[3]。根据Wiener过程的定义，任意两个不同的时间间隔内，V（t）的增量△V（t）是独立的，也即V（t）遵循马尔科夫过程；并且△V（t）服从均值为 ，方差为 的正态分布，其中 称为t时刻的方差率。由此可以得到水库调洪演算的随机微分方程[3]：
（3）
式中： 和 分别为dt时段内的平均入库和出库流量； 为水库起调时刻；B（t）是一均值为零的Wiener过程，代表调洪过程的随机因素。式（3）属于典型的Ito型随机微分方程，除了采用姜树海等介绍的Fokker-Planck方程解外，还可采用Euler法和Milstein法进行数值求解，Euler法的迭代公式为[4]：
（4）
式中： ， ，分别为代表时间节点和轨道，M是时间节点的个数，K是轨道数。由水位库容关系曲线可进一步得出第k条轨迹上，不同时间节点的库水位值H（1，k），H（2，k），…，H（M，k），进而可统计出库水位超过防洪极限标志的风险。
2 实例
以黄河中上游的万家寨水库为例，万家寨入库洪水分为两部分，干流洪水受水库及河道调蓄的影响，汛期洪水过程比较平稳，基本上无不确定性。头道拐至坝址的河万区间为丘陵地区，受地形的影响经常发生局地暴雨（历时以24小时为主），历史上坝址断面发生的最大洪水即产自该区间。河万区间仅红河放牛沟有实测资料，控制面积占区间面积的61.7%，河万区间洪水是将支流红河放牛沟站的洪水按面积比放大到区间。因此，万家寨水库入库洪水过程随机模拟主要是针对河万区间洪水过程的模拟。
2.1 水文不确定性
区间洪水的不确定性是万家寨水库防洪的一个重要风险因子。采用河万区间红河放牛沟站实测洪水资料，经选样放大后生成河万区间洪水过程，再考虑与河口镇站干流洪水叠加，形成万家寨水库汛期入库洪水过程。入库洪水计算式为
（6）
式中， —第 时刻入库流量； —第 时刻黄河干流入库流量； —第 时刻河万区间入库流量。基于河口镇站干流汛期洪水过程比较平稳的特性，假定 ， 取一组2000 m3/s、3000 m3/s离散值。
2.2 水力不确定性
万家寨水库水力不确定性重点考虑库容与水位关系及泄流能力两方面。调洪演算时主要采用15年淤积（A1）、11年淤积（A2）、设计淤积平衡（A3）、现状2008年（A4）的库容曲线。对于泄流能力的随机模拟[2]，本次采用三角形分布并假定在任何水位下相应的泄流量计算的最大相对误差不超过±5%。
2.3 后汛期风险分析
9月1日～10月15日为流域后汛期。统计黄河干流和河万区间放牛沟站洪水资料，10月份干流和河万区间洪水较少，为抬高水库汛限水位创造了有利条件。由于后汛期缺少实测洪水资料，无法如主汛期一般取出足够数量的原始样本，通过随机模拟生成长系列的洪水过程。此情况下，基于随机微分方程的水库调洪演算，便可实现在设计洪水过程下固定洪水频率的防洪风险分析。首先在后汛期河万区间实测洪水资料中，选取若干场典型洪水过程（1966年、1969年、1970年、1971年），对其进行同频率放大（放大为万年一遇洪水）处理，然后加上干流洪水，作为入库洪水调洪计算。
据式（3），水库蓄水量过程的离散程度取决于方差率 ，仅考虑入库洪水的不确定性时，其大小仅入库洪水过程的方差 有关，关系式如下：
（7）
万家寨水库后汛期，基于典型洪水过程，通过随机微分方程引入水文不确定因素（采用汛期区间洪水的方差 ）；水力不确定性、入库洪水叠加方式及调度规则均按主汛期调洪计算方式考虑。后汛期（10月份）汛限水位动态控制拟在目前汛限水位966m的基础上，初拟汛限水位为974m（考虑干流洪水预报来水为6000m3/s）、977m（考虑干流洪水预报来水为3000m3/s）。经随机微分方程（Euler法求解）调洪计算得到成果见表1。
表1 基于典型洪水的调洪最高水位
起调水位/（m） 库容曲线 调洪最高水位/（m）
1966年 1969年 1970年 1971年
977 A1 978.64 978.75 978.87 978.17 A2 978.42 978.71 978.81 977.97
A3 978.16 978.35 978.48 977.61
A4 977.73 978.12 978.19 977.51
974 A1 978.10 978.45 978.53 978.34
A2 978.03 978.36 978.42 977.94
A3 978.01 977.81 978.15 977.63
A4 977.34 977.78 978.00 977.27
从表1中可知，1970年典型洪水对万家寨水库防洪最不利，为充分考虑水文、水力不确定性对防洪的影响，在汛限水位977m、15年淤积（防洪最不利）的库容曲线、泄流能力为设计泄流能力的0.95倍下，特模拟100次1970年典型洪水的调洪演算，调洪最高水位见图1。
图1 1970年典型洪水的调洪最高水位
从表1及图1可得出以下结论。
①无论是汛限水位是977m还是974m，4场典型洪水的万年一遇洪水，其最高调洪水位为978.87m，未超过979.1m。1970年典型洪水为防洪最不利洪水。
②基于1970年典型洪水的汛限水位977m（考虑干流洪水预报来水为3000m3/s）方案，模拟100次的调洪最高水位在977.88m～978.96m波动，但未超过979.1m。调洪最高水位的波动性说明水文不确定性对万家寨水库后汛期防洪影响较为明显。
总之，按拟定的汛限水位动态控制的调度原则进行调洪演算，后汛期（10月份）适当抬高汛限水位（974m或977m）的方案，在不增加防洪风险的前提下，显著提高万家寨水库兴利效益和水资源利用率。
3 结语
本文建立了汛限水位动态控制的防洪调度风险分析模型，以黄河中上游的万家寨水库为研究实例，水库后汛期洪水样本较少，基于典型洪水过程，通过随机微分方程引入水文不确定因素，调洪结果表明：水文不确定性对万家寨水库后汛期防洪影响较为明显，在干流洪水预报可用的前提下，后汛期汛限水位取974m或977m能显著增加万家寨水库后汛期的兴利效益。
参考文献
[1] Xiang Li， Shenglian Guo， Pan Liu， et al. Dynamic control of flood limited water level for reservoir operation by considering inflow uncertainty[J]. Journal of Hydrology，2010，391：124-132.
[2] 梅亚东，谈广鸣. 大坝防洪安全的风险分析[J]. 武汉大学学报（工学版）， 2002，35（6）：11-15.
[3] 姜树海. 随机微分方程在泄流风险分析中的运用[J]. 水利学报，1994，3（3）：1-8.
[4] 徐敏，胡良剑，丁永生，等. 随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用[J]. 数学的实践与认识，2006，36（9）：153-157.
关键词：防洪调度 风险分析 随机微分方程 汛限水位
中图分类号：TV697 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）04（a）-0000-00
作者简介：黄玫（1987- ），女，硕士，主要从事水资源规划、防洪调度分析计算工作。
1 风险分析模型
对于具体防洪对象的防洪风险极限状态，应规定明确的极限标志和限值[1]。影响水库防洪风险率的主要随机因子是调洪最高水位Z和最高蓄水位 。而最高调洪水位Z及相应的防洪风险率是与水库的整个调洪过程联系起来的[2]。在水库调洪过程中，存在着许多人们难以预料和控制的不确定性因素。这些因素有：①水文不确定性，主要是指入库洪水过程的不确定性；②水力不确定性，包括出库泄流能力的不确定和库容与水位关系的不确定性等方面因素。
在调洪过程中水库蓄水量V（t）由于受多种随机因素的影响，导致V（t）是一个平稳独立增量过程，并且是符合Wiener过程定义的随机过程[3]。根据Wiener过程的定义，任意两个不同的时间间隔内，V（t）的增量△V（t）是独立的，也即V（t）遵循马尔科夫过程；并且△V（t）服从均值为 ，方差为 的正态分布，其中 称为t时刻的方差率。由此可以得到水库调洪演算的随机微分方程[3]：
（3）
式中： 和 分别为dt时段内的平均入库和出库流量； 为水库起调时刻；B（t）是一均值为零的Wiener过程，代表调洪过程的随机因素。式（3）属于典型的Ito型随机微分方程，除了采用姜树海等介绍的Fokker-Planck方程解外，还可采用Euler法和Milstein法进行数值求解，Euler法的迭代公式为[4]：
（4）
式中： ， ，分别为代表时间节点和轨道，M是时间节点的个数，K是轨道数。由水位库容关系曲线可进一步得出第k条轨迹上，不同时间节点的库水位值H（1，k），H（2，k），…，H（M，k），进而可统计出库水位超过防洪极限标志的风险。
2 实例
以黄河中上游的万家寨水库为例，万家寨入库洪水分为两部分，干流洪水受水库及河道调蓄的影响，汛期洪水过程比较平稳，基本上无不确定性。头道拐至坝址的河万区间为丘陵地区，受地形的影响经常发生局地暴雨（历时以24小时为主），历史上坝址断面发生的最大洪水即产自该区间。河万区间仅红河放牛沟有实测资料，控制面积占区间面积的61.7%，河万区间洪水是将支流红河放牛沟站的洪水按面积比放大到区间。因此，万家寨水库入库洪水过程随机模拟主要是针对河万区间洪水过程的模拟。
2.1 水文不确定性
区间洪水的不确定性是万家寨水库防洪的一个重要风险因子。采用河万区间红河放牛沟站实测洪水资料，经选样放大后生成河万区间洪水过程，再考虑与河口镇站干流洪水叠加，形成万家寨水库汛期入库洪水过程。入库洪水计算式为
（6）
式中， —第 时刻入库流量； —第 时刻黄河干流入库流量； —第 时刻河万区间入库流量。基于河口镇站干流汛期洪水过程比较平稳的特性，假定 ， 取一组2000 m3/s、3000 m3/s离散值。
2.2 水力不确定性
万家寨水库水力不确定性重点考虑库容与水位关系及泄流能力两方面。调洪演算时主要采用15年淤积（A1）、11年淤积（A2）、设计淤积平衡（A3）、现状2008年（A4）的库容曲线。对于泄流能力的随机模拟[2]，本次采用三角形分布并假定在任何水位下相应的泄流量计算的最大相对误差不超过±5%。
2.3 后汛期风险分析
9月1日～10月15日为流域后汛期。统计黄河干流和河万区间放牛沟站洪水资料，10月份干流和河万区间洪水较少，为抬高水库汛限水位创造了有利条件。由于后汛期缺少实测洪水资料，无法如主汛期一般取出足够数量的原始样本，通过随机模拟生成长系列的洪水过程。此情况下，基于随机微分方程的水库调洪演算，便可实现在设计洪水过程下固定洪水频率的防洪风险分析。首先在后汛期河万区间实测洪水资料中，选取若干场典型洪水过程（1966年、1969年、1970年、1971年），对其进行同频率放大（放大为万年一遇洪水）处理，然后加上干流洪水，作为入库洪水调洪计算。
据式（3），水库蓄水量过程的离散程度取决于方差率 ，仅考虑入库洪水的不确定性时，其大小仅入库洪水过程的方差 有关，关系式如下：
（7）
万家寨水库后汛期，基于典型洪水过程，通过随机微分方程引入水文不确定因素（采用汛期区间洪水的方差 ）；水力不确定性、入库洪水叠加方式及调度规则均按主汛期调洪计算方式考虑。后汛期（10月份）汛限水位动态控制拟在目前汛限水位966m的基础上，初拟汛限水位为974m（考虑干流洪水预报来水为6000m3/s）、977m（考虑干流洪水预报来水为3000m3/s）。经随机微分方程（Euler法求解）调洪计算得到成果见表1。
表1 基于典型洪水的调洪最高水位
起调水位/（m） 库容曲线 调洪最高水位/（m）
1966年 1969年 1970年 1971年
977 A1 978.64 978.75 978.87 978.17 A2 978.42 978.71 978.81 977.97
A3 978.16 978.35 978.48 977.61
A4 977.73 978.12 978.19 977.51
974 A1 978.10 978.45 978.53 978.34
A2 978.03 978.36 978.42 977.94
A3 978.01 977.81 978.15 977.63
A4 977.34 977.78 978.00 977.27
从表1中可知，1970年典型洪水对万家寨水库防洪最不利，为充分考虑水文、水力不确定性对防洪的影响，在汛限水位977m、15年淤积（防洪最不利）的库容曲线、泄流能力为设计泄流能力的0.95倍下，特模拟100次1970年典型洪水的调洪演算，调洪最高水位见图1。
图1 1970年典型洪水的调洪最高水位
从表1及图1可得出以下结论。
①无论是汛限水位是977m还是974m，4场典型洪水的万年一遇洪水，其最高调洪水位为978.87m，未超过979.1m。1970年典型洪水为防洪最不利洪水。
②基于1970年典型洪水的汛限水位977m（考虑干流洪水预报来水为3000m3/s）方案，模拟100次的调洪最高水位在977.88m～978.96m波动，但未超过979.1m。调洪最高水位的波动性说明水文不确定性对万家寨水库后汛期防洪影响较为明显。
总之，按拟定的汛限水位动态控制的调度原则进行调洪演算，后汛期（10月份）适当抬高汛限水位（974m或977m）的方案，在不增加防洪风险的前提下，显著提高万家寨水库兴利效益和水资源利用率。
3 结语
本文建立了汛限水位动态控制的防洪调度风险分析模型，以黄河中上游的万家寨水库为研究实例，水库后汛期洪水样本较少，基于典型洪水过程，通过随机微分方程引入水文不确定因素，调洪结果表明：水文不确定性对万家寨水库后汛期防洪影响较为明显，在干流洪水预报可用的前提下，后汛期汛限水位取974m或977m能显著增加万家寨水库后汛期的兴利效益。
参考文献
[1] Xiang Li， Shenglian Guo， Pan Liu， et al. Dynamic control of flood limited water level for reservoir operation by considering inflow uncertainty[J]. Journal of Hydrology，2010，391：124-132.
[2] 梅亚东，谈广鸣. 大坝防洪安全的风险分析[J]. 武汉大学学报（工学版）， 2002，35（6）：11-15.
[3] 姜树海. 随机微分方程在泄流风险分析中的运用[J]. 水利学报，1994，3（3）：1-8.
[4] 徐敏，胡良剑，丁永生，等. 随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用[J]. 数学的实践与认识，2006，36（9）：153-157.