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摘 要：本文研究了低维结合代数上修改的λ微分算子。通过方程转化的方法将修改的λ微分算子所满足的等式转换为非齐次方程，然后借助MATLAB对二、三维结合代数上的情况进行求解，从而将二、三维结合代数上修改的微分算子给予分类和刻画。
关键词：结合代数;修改的λ微分算子;MATLAB
Classification of modifiedλdifferential operators
in associative algebras of dimensions two and three
Wu Fengjiao1 Wu Zhiguo2
1.Basic Course Teaching Department of Wuxi Taihu University JiangsuWuxi 214000;
2.Huaibei Normal University Information Institute AnhuiHuaibei 235000
Abstract：In this paper，we study modifiedλdifferential operators in associative algebra of low dimensions.We convert the modifiedλdifferential identity to nonhomogeneous equations，then we solve these equations by the software MATLAB under the case of associative algebras of dimension two and three.Hence we classify modifiedλdifferential operators in associative algebras of dimensions two and three.
Keywords：Associative algebras;Modified λdifferential operators;MATLAB
结合代数A称作微分结合代数，如果有线性映射d：A→A满足d（xy）=xd（y）+d（x）y x，y∈A。
微分结合代数是由Ritt于1950年提出[1]。后经过Kolchin以及其他数学家的工作，微分结合代数的研究得到快速发展，如今在数学和物理方面有着广泛的应用，包括：代数群[2]，operad[3-4]，范畴[5]和泊松Hopf代数[6]等。
作为微分结合代数的推广，Guo和Keigher[7]提出了λ微分结合代数的概念。λ微分结合代数是一个结合代数A以及一个线性映射d：A→A满足d（1A）=0，d（xy）=xd（y）+d（x）y+λd（x）d（y） x，y∈A，其中λ为某个固定的常数。d称为A上的权为λ的微分算子。围绕λ微分代数有很多成果，比如在文献[7]和文献[8]中考虑了λ微分算子和罗巴算子的不同相容条件，[9]从范畴的观点研究了λ微分算子。
最近，作为（λ）微分代数的推广，文献[10]中提出另一个算子，称为修改的λ微分算子。修改的λ微分结合代数是一个结合代数A以及一个线性映射d：A→A满足：
d（xy）=d（x）y+xd（y）+λxy x，y∈A（1）
其中λ为某个固定的常数。
作为新提出的概念，修改的λ微分结合代数的研究還不是太多。但是鉴于（λ）微分代数的研究成果，我们值得对修改的λ微分结合代数给予关注。本文通过方程转化的方法将等式（1）转化为非齐次方程。用MATLAB解决相关线性代数的问题是一个非常有趣的课题[11]，在二、三维含单位元结合代数中，借助MATLAB对得到的方程进行求解，从而对二、三维结合代数上修改的微分代数给予分类和刻画。
本文内容如下：第二节，我们将修改的λ微分结合代数转化为非齐次方程，并给出了结合代数中修改的λ微分算子所满足的充分必要条件;第三节，我们将复数域C上含单位元的二维结合代数中修改的λ微分算子进行分类。作为推论，也将二维结合代数中的微分算子给予了分类;第四节，我们将复数域C上含单位元的三维结合代数中修改的λ微分算子进行分类，同时也将三维结合代数中的微分算子给予分类。
注记：本文在不特殊说明的情况下，所考虑的域都是指复数域C。 1 结合代数中方程的转化
设A是复数域C上的含单位元的结合代数，有一组C线性基e1，e2，…，en。假设ei·ej=∑nm=1cmijem，其中cmij是结构常数。
称结合代数A为修改的λ微分结合代数，如果有线性算子d：A→A满足等式（1）。由于d是线性的，我们假设：
de1
e2
en=r11r12…r1n
r21r22…r2n
…
rn1rn2…rnne1
e2
en
其中rij∈C，1
n，称r：=rijn×n为d的矩阵。
取x=ei，y=ej，其中1
n，则：
xy=∑nm=1cmijem，
d（xy）=d∑nm=1cmijem=∑nm=1cmijd（em）=∑nm=1∑nk=1cmijrmkek，
d（x）y=d（ei）ej=∑nm=1rimemej=∑nm=1∑nk=1rimckmjek，
xd（y）=eid（ej）=ei∑nm=1rjmem=∑nm=1∑nk=1rjmckimek，
λxy=λ∑nm=1cmijem
因此我们有：
定理1：设A是复数域C上含单位元的结合代数并且有一组C线性基e1，e2，…，en。则线性算子d：A→A是修改的λ微分算子当且仅当有如下等式成立：
∑nm=1（cmijrmk-rimckmj-rjmckim）=λckij （1n）。（2）
2 含单位元的二维结合代数中修改的微分算子
2.1 含单位元的二维结合代数
通过文献[12]，我们知道复数域C上含单位元的二维结合代数在同构意义下，关于一组C线性基e1，e2下的乘法表有如下两类：（a） e1e1=e1
e1e2=e2
e2e1=e2
e2e2=0 （b） e1e1=e1
e1e2=0
e2e1=0
e2e2=e2
下面我们考虑这两类代数上修改的λ微分算子。
2.2 含单位元的二维结合代数中修改的微分算子
定理2复数域C上含单位元的二维结合代数中，所有修改的λ微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
-λ0
0k
b
-λ0
0-λ
其中k为C中任意数。
证明：a此时结构常数为c111=c212=c221=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，可以得到如下的方程：r11+λ=0
r12=0
r21=0，则有r11=-λ，r12=r21=0。从而得到d的矩阵为：-λ0
0k。
其中k为C中任意数。
b此时结构常数为c111=c222=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，可以得到如下的方程：-λ-r11=0
r12=0
r21=0
r22=-λ，则有r11=r22=-λ，r12=r21=0。从而得到d的矩阵为：-λ0
0-λ。
推论1：复数域C上含单位元的二维结合代數中，微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
00
0k
（b）
00
00
其中k为C中任意数。
证明：取λ=0，由定理2即可得出。
3 含单位元的三维结合代数中的修改的微分算子
3.1 含单位元的三维结合代数
通过文献[13]和文献[14]，我们知道复数域C上含单位元的三维结合代数在同构意义下，关于一组C线性基e1，e2，e3下的乘法表有如下五类： （a） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
e2e2=e3 （b） e1e1=e1
e2e2=e2
e3e3=e3 （c） e1e1=e1
e2e2=e2
e2e3=e3e2=e3
（d） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
e3e2=e2
e3e3=e3 （e） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
下面我们考虑这五类代数上修改的微分算子。
3.2 含单位元的三维结合代数中修改的微分算子
定理3复数域C上含单位元的三维结合代数中，所有修改的λ微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
-λ00
0k1k2
00λ+2k1
（b）
-λ00
0-λ0
00-λ
（c）
-λ00
0-λ0
00k1
（d）
-λ00
0k10
0k2-λ
（e）
-λ00
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
证明：（a）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=c322=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r31=0
r32-2r21=0
r33-2r22=λ
r21+r32=0
则有r11=-λ，r12=r13=r21=r31=r32=0。令r22=k1，r23=k2，那么r33=λ+2k1。从而得到d的矩阵：-λ00
0k1k2
00λ+2k1
其中k1，k2为C中任意数。
（b）此时结构常数为c111=c222=c333=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11+λ=0
r12=0
r13=0
r21=0
r31=0
r22+λ=0
r23=0
r32=0
r33+λ=0
則有r11=r22=r33=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=r32=0。从而得到d的矩阵为：-λ00
0-λ0
00-λ
（c）此时结构常数为c111=c222=c323=c332=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可得如下的方程：-r11-λ=0
r12=0
r13=0
r21=0
r31=0
r22+λ=0
r23=0
r32=0
则有r11=r22=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=r32=0。从而得到d的矩阵为：-λ00
0-λ0
00k1
其中k1为C中任意数。
（d）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=c232=c333=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r11+r13+λ=0 2r21+r23=0
r31=0
r21+r23=0
r21=0
r31+r33+λ=0
2r31+r33+λ=0
則有r11=r33=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=0。令r22=k1，r32=k2，从而得到d的矩阵为：-λ00
0k10
0k2-λ
其中k1，k2为C中任意数。
（e）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r31=0
r21=0
则有r11=-λ，r12=r13=r21=r31=0。令r22=k1，r23=k2，r32=k3，r33=k4，从而得到d的矩阵为：-λ00
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
推论2复数域C上含单位元的三维结合代数中，微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
000
0k1k2
002k1
（b）
000
000
000
（c）
000
000
00k1
（d）
000
0k10
0k20
（e）
000
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
证明：取λ=0，由定理3即可得出。
参考文献：
[1]J.F.Ritt，Differential algebra[M].New York：American Mathematical Society Colloquium Publications，1950.
[2]E.Kolchin，Differential Algebra and Algebraic Groups[M].New YorkLondon：Academic Press，1973.
[3]V.Ginzburg and M.Kaparnov，Koszul duality for operads[J].Duke Math，1994，76：203272.
[4]L.J.Loday，On the operad of associative algebras with derivation[J].Georgian Math，2010，17：347372.
[5]L.Pacaud and S.Jean，Differential algebras in codifferential categories[J].Pure Appl.Algebra，2019，223：41914225.
[6]M.Guo，X.Hu，J.Lü and X.Wang，The structures on the universal enveloping algebras of differential graded Poisson Hopf algebras[J].Comm.Algebra，2018，46：27142729.
[7]L.Guo and W.Keigher，On differential RotaBaxter algebras[J].Pure Appl.Algebra，2008，212：522540.
[8]X.Gao，L.Guo and M.Rosenkranz，On rings of differential RotaBaxter operators[J].Internat.J.Algebra Comput.，2018，28：136. [9]S.Zhang，L.Guo and W.Keigher，Monads and distributive laws for RotaBaxter and differential algebras[J].Adv.in Appl.Math.，2016，72：139165.
[10]X.S.Peng，Y.Zhang，X.Gao and Y.F.Luo，Universal enveloping of （modified） λdifferential Lie algebras[J].Linear Multilinear algebra，DOI：10.1080/03081087.2020.1753641
[11]車畅.MATLAB实验融入线性代数教学的探究[J].教育现代化，2017，4（49）：256257.
[12]B.Peirce，Linear associative algebra[J].Amer.Math.，1881，4：97229.
[13]Y.Kobayashi，K.Shirayanagi，S.E.Takahasi and M.Tsukada，A complete classification of three dimensional algebras over R and C[J].arXiv：1903.01623.
[14]E.Study，Uber systeme complexer zahlen und ihre anwendung in der theorie dertransformationsgruppen[J].Monatsh.Math.u.Phisik，1890，1：283354.
作者简介：吴凤娇（1991— ），女，汉族，安徽萧县人，硕士，无锡太湖学院基础课教学部教师，研究方向：计算数学;吴治国（1995— ），男，汉族，安徽萧县人，2018级本科在读，淮北师范大学信息学院，研究方向：应用数学。
关键词：结合代数;修改的λ微分算子;MATLAB
Classification of modifiedλdifferential operators
in associative algebras of dimensions two and three
Wu Fengjiao1 Wu Zhiguo2
1.Basic Course Teaching Department of Wuxi Taihu University JiangsuWuxi 214000;
2.Huaibei Normal University Information Institute AnhuiHuaibei 235000
Abstract：In this paper，we study modifiedλdifferential operators in associative algebra of low dimensions.We convert the modifiedλdifferential identity to nonhomogeneous equations，then we solve these equations by the software MATLAB under the case of associative algebras of dimension two and three.Hence we classify modifiedλdifferential operators in associative algebras of dimensions two and three.
Keywords：Associative algebras;Modified λdifferential operators;MATLAB
结合代数A称作微分结合代数，如果有线性映射d：A→A满足d（xy）=xd（y）+d（x）y x，y∈A。
微分结合代数是由Ritt于1950年提出[1]。后经过Kolchin以及其他数学家的工作，微分结合代数的研究得到快速发展，如今在数学和物理方面有着广泛的应用，包括：代数群[2]，operad[3-4]，范畴[5]和泊松Hopf代数[6]等。
作为微分结合代数的推广，Guo和Keigher[7]提出了λ微分结合代数的概念。λ微分结合代数是一个结合代数A以及一个线性映射d：A→A满足d（1A）=0，d（xy）=xd（y）+d（x）y+λd（x）d（y） x，y∈A，其中λ为某个固定的常数。d称为A上的权为λ的微分算子。围绕λ微分代数有很多成果，比如在文献[7]和文献[8]中考虑了λ微分算子和罗巴算子的不同相容条件，[9]从范畴的观点研究了λ微分算子。
最近，作为（λ）微分代数的推广，文献[10]中提出另一个算子，称为修改的λ微分算子。修改的λ微分结合代数是一个结合代数A以及一个线性映射d：A→A满足：
d（xy）=d（x）y+xd（y）+λxy x，y∈A（1）
其中λ为某个固定的常数。
作为新提出的概念，修改的λ微分结合代数的研究還不是太多。但是鉴于（λ）微分代数的研究成果，我们值得对修改的λ微分结合代数给予关注。本文通过方程转化的方法将等式（1）转化为非齐次方程。用MATLAB解决相关线性代数的问题是一个非常有趣的课题[11]，在二、三维含单位元结合代数中，借助MATLAB对得到的方程进行求解，从而对二、三维结合代数上修改的微分代数给予分类和刻画。
本文内容如下：第二节，我们将修改的λ微分结合代数转化为非齐次方程，并给出了结合代数中修改的λ微分算子所满足的充分必要条件;第三节，我们将复数域C上含单位元的二维结合代数中修改的λ微分算子进行分类。作为推论，也将二维结合代数中的微分算子给予了分类;第四节，我们将复数域C上含单位元的三维结合代数中修改的λ微分算子进行分类，同时也将三维结合代数中的微分算子给予分类。
注记：本文在不特殊说明的情况下，所考虑的域都是指复数域C。 1 结合代数中方程的转化
设A是复数域C上的含单位元的结合代数，有一组C线性基e1，e2，…，en。假设ei·ej=∑nm=1cmijem，其中cmij是结构常数。
称结合代数A为修改的λ微分结合代数，如果有线性算子d：A→A满足等式（1）。由于d是线性的，我们假设：
de1
e2
en=r11r12…r1n
r21r22…r2n
…
rn1rn2…rnne1
e2
en
其中rij∈C，1
n，称r：=rijn×n为d的矩阵。
取x=ei，y=ej，其中1
n，则：
xy=∑nm=1cmijem，
d（xy）=d∑nm=1cmijem=∑nm=1cmijd（em）=∑nm=1∑nk=1cmijrmkek，
d（x）y=d（ei）ej=∑nm=1rimemej=∑nm=1∑nk=1rimckmjek，
xd（y）=eid（ej）=ei∑nm=1rjmem=∑nm=1∑nk=1rjmckimek，
λxy=λ∑nm=1cmijem
因此我们有：
定理1：设A是复数域C上含单位元的结合代数并且有一组C线性基e1，e2，…，en。则线性算子d：A→A是修改的λ微分算子当且仅当有如下等式成立：
∑nm=1（cmijrmk-rimckmj-rjmckim）=λckij （1n）。（2）
2 含单位元的二维结合代数中修改的微分算子
2.1 含单位元的二维结合代数
通过文献[12]，我们知道复数域C上含单位元的二维结合代数在同构意义下，关于一组C线性基e1，e2下的乘法表有如下两类：（a） e1e1=e1
e1e2=e2
e2e1=e2
e2e2=0 （b） e1e1=e1
e1e2=0
e2e1=0
e2e2=e2
下面我们考虑这两类代数上修改的λ微分算子。
2.2 含单位元的二维结合代数中修改的微分算子
定理2复数域C上含单位元的二维结合代数中，所有修改的λ微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
-λ0
0k
b
-λ0
0-λ
其中k为C中任意数。
证明：a此时结构常数为c111=c212=c221=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，可以得到如下的方程：r11+λ=0
r12=0
r21=0，则有r11=-λ，r12=r21=0。从而得到d的矩阵为：-λ0
0k。
其中k为C中任意数。
b此时结构常数为c111=c222=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，可以得到如下的方程：-λ-r11=0
r12=0
r21=0
r22=-λ，则有r11=r22=-λ，r12=r21=0。从而得到d的矩阵为：-λ0
0-λ。
推论1：复数域C上含单位元的二维结合代數中，微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
00
0k
（b）
00
00
其中k为C中任意数。
证明：取λ=0，由定理2即可得出。
3 含单位元的三维结合代数中的修改的微分算子
3.1 含单位元的三维结合代数
通过文献[13]和文献[14]，我们知道复数域C上含单位元的三维结合代数在同构意义下，关于一组C线性基e1，e2，e3下的乘法表有如下五类： （a） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
e2e2=e3 （b） e1e1=e1
e2e2=e2
e3e3=e3 （c） e1e1=e1
e2e2=e2
e2e3=e3e2=e3
（d） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
e3e2=e2
e3e3=e3 （e） e1e1=e1
e1e2=e2e1=e2
e1e3=e3e1=e3
下面我们考虑这五类代数上修改的微分算子。
3.2 含单位元的三维结合代数中修改的微分算子
定理3复数域C上含单位元的三维结合代数中，所有修改的λ微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
-λ00
0k1k2
00λ+2k1
（b）
-λ00
0-λ0
00-λ
（c）
-λ00
0-λ0
00k1
（d）
-λ00
0k10
0k2-λ
（e）
-λ00
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
证明：（a）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=c322=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r31=0
r32-2r21=0
r33-2r22=λ
r21+r32=0
则有r11=-λ，r12=r13=r21=r31=r32=0。令r22=k1，r23=k2，那么r33=λ+2k1。从而得到d的矩阵：-λ00
0k1k2
00λ+2k1
其中k1，k2为C中任意数。
（b）此时结构常数为c111=c222=c333=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11+λ=0
r12=0
r13=0
r21=0
r31=0
r22+λ=0
r23=0
r32=0
r33+λ=0
則有r11=r22=r33=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=r32=0。从而得到d的矩阵为：-λ00
0-λ0
00-λ
（c）此时结构常数为c111=c222=c323=c332=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可得如下的方程：-r11-λ=0
r12=0
r13=0
r21=0
r31=0
r22+λ=0
r23=0
r32=0
则有r11=r22=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=r32=0。从而得到d的矩阵为：-λ00
0-λ0
00k1
其中k1为C中任意数。
（d）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=c232=c333=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r11+r13+λ=0 2r21+r23=0
r31=0
r21+r23=0
r21=0
r31+r33+λ=0
2r31+r33+λ=0
則有r11=r33=-λ，r12=r13=r21=r23=r31=0。令r22=k1，r32=k2，从而得到d的矩阵为：-λ00
0k10
0k2-λ
其中k1，k2为C中任意数。
（e）此时结构常数为c111=c212=c221=c313=c331=1，其余均为零。因此，我们将其带入等式（2），遍历所有的i，j，k∈1，2，3，可以得到如下的方程：r11=-λ
r12=0
r13=0
r31=0
r21=0
则有r11=-λ，r12=r13=r21=r31=0。令r22=k1，r23=k2，r32=k3，r33=k4，从而得到d的矩阵为：-λ00
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
推论2复数域C上含单位元的三维结合代数中，微分算子d的矩阵为：
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
结合代数
d的矩阵
（a）
000
0k1k2
002k1
（b）
000
000
000
（c）
000
000
00k1
（d）
000
0k10
0k20
（e）
000
0k1k2
0k3k4
其中k1，k2，k3，k4为C中任意数。
证明：取λ=0，由定理3即可得出。
参考文献：
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作者简介：吴凤娇（1991— ），女，汉族，安徽萧县人，硕士，无锡太湖学院基础课教学部教师，研究方向：计算数学;吴治国（1995— ），男，汉族，安徽萧县人，2018级本科在读，淮北师范大学信息学院，研究方向：应用数学。