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摘 要 MATLAB作为一种常用的数学软件，在微积分的教学中运用广泛。本文以经济学中局部市场均衡问题为例，浅析了运用该软件可在经济管理类数学课程的讲授过程中，更好地将数学模型和实际对象相结合，有利于学生掌握相关理论并加以思考和应用。
关键词 MATLAB软件 微积分 市场均衡
中图分类号：G424 文献标识码：A
Application of MATLAB in Calculus Teaching for
Economy and Management Specialties
SONG Wenyan
（School of Mathematics and Quantitative Economics，
Dongbei University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning 116025）
Abstract MATLAB as widely used mathematical software has been applied in the teaching of calculus. Based on the problem of partial market equilibrium， application of MATLAB in the teaching process for economy and management specialties is discussed. By MATLAB， the combine of mathematical model and practical object can promote students to understand correlative theory and conception effectively.
Key words MATLAB; calculus; market equilibrium
0 引言
近年来，随着大学数学课程教学改革的不断深入，各类院校在微积分等基础课的讲授过程中，越来越重视理论知识传播与实际问题求解的结合。这种教学方式的变化，一方面将较为抽象的数学概念置于某些具体情景之下，赋予其特定的物理学或经济学等含义，有利于学生理解和对照;另一方面，通过在数学课程中获得的逻辑思维和数值计算训练，有利于学生在后续专业课程的学习中，更有效地运用数学工具对具体问题展开量化描述和分析。因此在经济管理学科的许多微积分教材中，都加入了与导数、极值等数学定义相对应的边际、弹性等经济学概念的章节。一些学校在教学过程中还将数学建模和数学实验课程与现有的数学教学内容融合起来，充分调动学生的积极性，使数学理论得到了更深入的运用。特别是随着数学软件在基础数学课程讲授中的使用，进一步丰富了教师的教学手段，也增强了学生在学习过程中的兴趣，大大提高了微积分等课程的教学效果。
1 MATLAB在微积分教学中的应用
数学软件的发展和更新，使其在微积分课程教学中的应用愈加简便。目前最为常用的数学软件有MATLAB、Maple和Mathematica。此外还有一些针对不同数学分支开发的专业软件，例如用于统计问题分析的SPSS和SAS，用于解决规划等运筹学问题的LINGO等。在本科生的微积分教学中，MATLAB、Maple和Mathematica都是可选择的操作便捷的软件，而MATLAB则是运用最为广泛的软件之一。①
MATLAB是美国MathWorks公司出品的数学软件，使用MATLAB可以分析数据、开发算法、创建模型和应用程序。MATLAB强大的数据处理能力，可以帮助教师和学生在微积分课程的讲习过程中，更为直观地理解基本概念。特别是利用该软件的图形处理和动画功能，可使数学课程中数与形的结合在教学实践中表现得更为生动。
例如，在学习微积分的过程中，学生常常会遇到诸如和等不太熟悉的初等函数。利用MATLAB的作图和动画功能，可以帮助他们形成对这些研究对象的图形认知，进而通过图形的变化帮助学生理解伴随着函数自变量趋近于无穷或趋近于某一定点的过程，函数值呈现出无限接近于某一确定数值，或函数值无限增大，或函数值无规律变化的动态特征，加深他们对极限这一微积分中最基本的概念的直观感受，并能使学生更准确地区分无界变量、无穷大量以及没有极限的变量等概念。②
又如，在有关常微分方程章节的教学中，可利用MATLAB软件的微分方程求解函数dsolve和ode等，讲解演示可分离变量方程、齐次方程和一阶线性方程的求解原理和解析解，同时还可以绘制出上述方程的解曲线和相空间曲线。利用MATLAB的方程求解和作图功能，既可以避免学生在学习过程中机械地记忆求解相应方程的步骤，又能通过可视化的图形帮助他们了解在描绘实际问题时，微分方程模型中不同参数的具体含义，以及各个参数的变化会引起的解的变化情况。
2 教学实例
下面，以经济管理学科类微积分教材中经常所举的局部市场均衡问题为例，说明MATLAB软件在微积分教学中能够发挥的辅助教学作用，以及如何通过该软件的使用让学生加深对数学模型的理解，进而培养学生运用数学思维和方法描述和解决实际问题的能力。
经济学中在讨论市场中某一产品的需求、供给以及价格之间的关系时，若能分别对三者建立可量化的函数表达式，则可借助数学工具来分析它们的变化及伴随的市场现象。局部市场均衡是探讨独立市场、单个商品的价格与供求关系变化的一种方法，它假定在其他条件不变时，一种商品的价格仅取决于自身的供求情况。当该商品的需求价格和供给价格一致时，称此价格为均衡价格，这时商品的数量亦被称为均衡数量。③
例 设需求函数为 = （），供给函数为 = （），其中为商品单价。线性局部市场均衡模型可表示为： 这里需求（）和（）供给均设为价格的线性函数。解此方程组易得均衡价格为 = ，商品的均衡数量是 = 。由于通常假定>0，并考虑到>0，所以参数、、和还应满足>0，并称为超额需求。模型中价格的变化会同时影响供需双方的变化，使得市场始终在平衡的打破和建立中动态演化。
在教学中我们可通过选取不同的参数取值在同一坐标系下绘制供求曲线，帮助学生更加直接地观察局部市场均衡状态与模型中各参数的依赖关系（如图1所示）。在此基础上，可进一步探讨价格调整模型。
若假定商品的初始价格恰好是，则市场已处于均衡状态。然而一般情况下，≠，这样市场如由不均衡欲达到均衡则须经过一定的调整。在市场调整过程中，价格可视为时间的函数，即 = （）。通常而言，价格变动由市场需求和供给的相对力量支配，可设在时刻时，价格（）的变化率总是与此时的超额需求成正比。于是，建立微分方程模型来刻画价格的变动： = （）
图1 线性局部市场均衡模型
其中>0，是调节系数。
联立上述微分方程模型与局部市场均衡模型，得到价格调整的动态均衡模型：
此处和均为时间的函数。将和的表达式代入微分方程中，整理可得一个一阶线性微分方程： + （） = （）。
由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得该方程的通解为：（） = [（） + ] = + 。
其中为任意常数，为均衡价格。由初值条件（0） = ，可得 = 。记 = （），将价格调整模型的解表示为（） = （） + 。因和都是常数且>0，于是当→+时（）→0。借助MATLAB将与不同大小关系下的价格曲线绘制在同一图像中，可帮助学生发现随时间推移（）向均衡价格趋近变化的过程。具体而言，若 = ，则（）= ，即市场处于均衡，价格是常数;若>，则当→+时，（）小于趋于;若<，当→+时，（）大于趋于（见图2）。
图2 价格随时间的调整变化
3 结束语
MATLAB软件在微积分教学中的运用，能使抽象的数学理论图形化直观化。在经济管理类的相关课程学习中，能将经济学概念和数学语言相互贯通。在教学实践中，教师可以充分运用该软件的各项功能丰富教学手段并帮助学生学以致用。
注释
① 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解（第三版）.北京：清华大学出版社，2013.
② 李娜，仁庆道尔吉. MATLAB在高等数学教学中的应用研究.大学教育，2012.1（11）：66-67.
③ 蒋中一.数理经济学的基本方法（第四版）.北京：北京大学出版社，2006.
关键词 MATLAB软件 微积分 市场均衡
中图分类号：G424 文献标识码：A
Application of MATLAB in Calculus Teaching for
Economy and Management Specialties
SONG Wenyan
（School of Mathematics and Quantitative Economics，
Dongbei University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning 116025）
Abstract MATLAB as widely used mathematical software has been applied in the teaching of calculus. Based on the problem of partial market equilibrium， application of MATLAB in the teaching process for economy and management specialties is discussed. By MATLAB， the combine of mathematical model and practical object can promote students to understand correlative theory and conception effectively.
Key words MATLAB; calculus; market equilibrium
0 引言
近年来，随着大学数学课程教学改革的不断深入，各类院校在微积分等基础课的讲授过程中，越来越重视理论知识传播与实际问题求解的结合。这种教学方式的变化，一方面将较为抽象的数学概念置于某些具体情景之下，赋予其特定的物理学或经济学等含义，有利于学生理解和对照;另一方面，通过在数学课程中获得的逻辑思维和数值计算训练，有利于学生在后续专业课程的学习中，更有效地运用数学工具对具体问题展开量化描述和分析。因此在经济管理学科的许多微积分教材中，都加入了与导数、极值等数学定义相对应的边际、弹性等经济学概念的章节。一些学校在教学过程中还将数学建模和数学实验课程与现有的数学教学内容融合起来，充分调动学生的积极性，使数学理论得到了更深入的运用。特别是随着数学软件在基础数学课程讲授中的使用，进一步丰富了教师的教学手段，也增强了学生在学习过程中的兴趣，大大提高了微积分等课程的教学效果。
1 MATLAB在微积分教学中的应用
数学软件的发展和更新，使其在微积分课程教学中的应用愈加简便。目前最为常用的数学软件有MATLAB、Maple和Mathematica。此外还有一些针对不同数学分支开发的专业软件，例如用于统计问题分析的SPSS和SAS，用于解决规划等运筹学问题的LINGO等。在本科生的微积分教学中，MATLAB、Maple和Mathematica都是可选择的操作便捷的软件，而MATLAB则是运用最为广泛的软件之一。①
MATLAB是美国MathWorks公司出品的数学软件，使用MATLAB可以分析数据、开发算法、创建模型和应用程序。MATLAB强大的数据处理能力，可以帮助教师和学生在微积分课程的讲习过程中，更为直观地理解基本概念。特别是利用该软件的图形处理和动画功能，可使数学课程中数与形的结合在教学实践中表现得更为生动。
例如，在学习微积分的过程中，学生常常会遇到诸如和等不太熟悉的初等函数。利用MATLAB的作图和动画功能，可以帮助他们形成对这些研究对象的图形认知，进而通过图形的变化帮助学生理解伴随着函数自变量趋近于无穷或趋近于某一定点的过程，函数值呈现出无限接近于某一确定数值，或函数值无限增大，或函数值无规律变化的动态特征，加深他们对极限这一微积分中最基本的概念的直观感受，并能使学生更准确地区分无界变量、无穷大量以及没有极限的变量等概念。②
又如，在有关常微分方程章节的教学中，可利用MATLAB软件的微分方程求解函数dsolve和ode等，讲解演示可分离变量方程、齐次方程和一阶线性方程的求解原理和解析解，同时还可以绘制出上述方程的解曲线和相空间曲线。利用MATLAB的方程求解和作图功能，既可以避免学生在学习过程中机械地记忆求解相应方程的步骤，又能通过可视化的图形帮助他们了解在描绘实际问题时，微分方程模型中不同参数的具体含义，以及各个参数的变化会引起的解的变化情况。
2 教学实例
下面，以经济管理学科类微积分教材中经常所举的局部市场均衡问题为例，说明MATLAB软件在微积分教学中能够发挥的辅助教学作用，以及如何通过该软件的使用让学生加深对数学模型的理解，进而培养学生运用数学思维和方法描述和解决实际问题的能力。
经济学中在讨论市场中某一产品的需求、供给以及价格之间的关系时，若能分别对三者建立可量化的函数表达式，则可借助数学工具来分析它们的变化及伴随的市场现象。局部市场均衡是探讨独立市场、单个商品的价格与供求关系变化的一种方法，它假定在其他条件不变时，一种商品的价格仅取决于自身的供求情况。当该商品的需求价格和供给价格一致时，称此价格为均衡价格，这时商品的数量亦被称为均衡数量。③
例 设需求函数为 = （），供给函数为 = （），其中为商品单价。线性局部市场均衡模型可表示为： 这里需求（）和（）供给均设为价格的线性函数。解此方程组易得均衡价格为 = ，商品的均衡数量是 = 。由于通常假定>0，并考虑到>0，所以参数、、和还应满足>0，并称为超额需求。模型中价格的变化会同时影响供需双方的变化，使得市场始终在平衡的打破和建立中动态演化。
在教学中我们可通过选取不同的参数取值在同一坐标系下绘制供求曲线，帮助学生更加直接地观察局部市场均衡状态与模型中各参数的依赖关系（如图1所示）。在此基础上，可进一步探讨价格调整模型。
若假定商品的初始价格恰好是，则市场已处于均衡状态。然而一般情况下，≠，这样市场如由不均衡欲达到均衡则须经过一定的调整。在市场调整过程中，价格可视为时间的函数，即 = （）。通常而言，价格变动由市场需求和供给的相对力量支配，可设在时刻时，价格（）的变化率总是与此时的超额需求成正比。于是，建立微分方程模型来刻画价格的变动： = （）
图1 线性局部市场均衡模型
其中>0，是调节系数。
联立上述微分方程模型与局部市场均衡模型，得到价格调整的动态均衡模型：
此处和均为时间的函数。将和的表达式代入微分方程中，整理可得一个一阶线性微分方程： + （） = （）。
由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得该方程的通解为：（） = [（） + ] = + 。
其中为任意常数，为均衡价格。由初值条件（0） = ，可得 = 。记 = （），将价格调整模型的解表示为（） = （） + 。因和都是常数且>0，于是当→+时（）→0。借助MATLAB将与不同大小关系下的价格曲线绘制在同一图像中，可帮助学生发现随时间推移（）向均衡价格趋近变化的过程。具体而言，若 = ，则（）= ，即市场处于均衡，价格是常数;若>，则当→+时，（）小于趋于;若<，当→+时，（）大于趋于（见图2）。
图2 价格随时间的调整变化
3 结束语
MATLAB软件在微积分教学中的运用，能使抽象的数学理论图形化直观化。在经济管理类的相关课程学习中，能将经济学概念和数学语言相互贯通。在教学实践中，教师可以充分运用该软件的各项功能丰富教学手段并帮助学生学以致用。
注释
① 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解（第三版）.北京：清华大学出版社，2013.
② 李娜，仁庆道尔吉. MATLAB在高等数学教学中的应用研究.大学教育，2012.1（11）：66-67.
③ 蒋中一.数理经济学的基本方法（第四版）.北京：北京大学出版社，2006.