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摘要：总结了线性代数中行简化梯矩阵在各章节知识点中的作用及其在解决问题时所起的关键作用：求逆矩阵；求解矩阵方程；求向量组的线性表示及极大无关组和向量组的秩；求解线性方程组和求特征值特征向量。并通过具体的例子说明其在线性代数里的重要性。
关键词：行简化梯矩阵；矩阵初等行变换；逆矩阵；线性方程组
作者简介：丁艳风（1979-），女，河南郑州人，郑州大学升达经贸管理学院，讲师。（河南 郑州 451191）刘长河（1980-），男，河南洛阳人，河南科技大学西苑校区数学与统计学院，助教。（河南 洛阳 471003）
中图分类号：G642.3 文献标识码 ：A 文章编号：1007-0079（2011）13-0090-02
线性代数是大学数学的一门重要基础课，而矩阵理论则是线性代数的主要内容和重要基础。矩阵作为解线性方程组的重要工具已渗透到各章内容之中，并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带，它把线性代数各章节贯串成为一个整体。而如何化已知矩阵为行简化梯矩阵几乎贯穿线性代数各章节的始终，在求方阵的逆、求线性方程组的解、判断某个向量可否由其余向量线性表示并写出表达式、求已知向量组的秩和极大无关组并将其余向量由这个极大无关组线性表示的问题以及求矩阵的特征值特征向量等方面，行简化梯矩阵都起着重要的作用。在很多情况下，学生们在做题过程中往往是方法掌握了，可具体在计算时却花费了好多时间仍求不出正确结果。这就涉及如何把矩阵化为行简化梯矩阵这个知识点了，若不会把相关矩阵化为行简化梯矩阵，则接下来相关问题就解决不了。本文就其重要性给出了相关分析，以促进学生对矩阵本身及相关知识的理解，更好地掌握这门基础课程。
一、行简化梯矩阵的概念
行简化梯矩阵的前提是梯矩阵，在此基础上有如下定义。
如果一个梯矩阵具有如下特征：非零行的首非零元为1；非零行的首非零元所在列的其余元均为零。则称其为行简化梯矩阵。
例如矩阵：
以上均为行简化梯矩阵。
二、化已知矩阵为行简化梯矩阵是关键
任给一个非零矩阵都可以经过初等行变换化为行简化梯矩阵。但是如何化、怎样化简单是一个不易处理的问题。这里先举个例子，以从中发现化简的技巧。
例1：用初等变换将矩阵化为行简化梯矩阵。
解：
三、行简化梯矩阵在各个章节知识点中的作用
1.行简化梯矩阵在求矩阵的逆矩阵中的作用
在矩阵理论中，逆矩阵占了一个很重要的地位，因此如何求逆矩阵就变得十分重要。通常，可以用矩阵的初等变换或者利用伴随矩阵来求逆矩阵，但是如果利用伴随矩阵来计算阶数很高（）的矩阵的逆矩阵就必须计算n2+1个行列式，过程相当复杂。如果稍一出错就全都错了，因此常用的方法就是用矩阵的初等变换法，也即把某个矩阵化为行简化梯矩阵来得到已知矩阵的逆矩阵。对于任意n阶矩阵A，求矩阵A-1的过程如下。
（1）用一个与矩阵A同阶的单位矩阵E与A组成一个n×2n矩阵。
（2）利用矩阵初等变换法则，将矩阵的左半部分化为单位矩阵，此时其右半部即为A-1，也就是把已知矩阵化为行简化梯矩阵。即：
。
例2：求矩阵的逆矩阵。
解：
（↗简化梯矩阵）
所以 。
大多数情况下，学生们知道用以上方法，但是具体做时就茫然不知所措了，原因就在于对一个矩阵如何化为行简化梯矩阵这关键的过程不熟悉。所以如果能把行简化梯矩阵这个概念理解并熟练应用，则求逆矩阵就没有问题了。
2.行简化梯矩阵在求解线性方程组中的作用
常见的矩阵方程形如，和，若A，B均可逆，则矩阵方程可用初等变换求解（既简单又节省时间），其解分别为。
例如AX=B，在计算过程中，可把An×n与Bm×n并排放一起，即：
。同理可把An×n与Bm×n上下放在一起构造出矩阵，即，对于一般的矩阵此方法简单易行，如下例。
例3：设矩阵，求X，使AX+B=X。
解：由AX+B=X，得X-AX=B，即（E-A）X=B，又
且，从而构造3×5矩阵。
（↗简化梯矩阵）
因此。
3.行简化梯矩阵在线性表示中及求向量组的极大无关组和秩中的作用
在判断向量β可否由向量组线性表示，并写出相应的表达式及判断之间的线性相关性的问题中，常采用以下方法（本文中的向量均指列向量）。
做矩阵行简化梯矩阵，由最后一个行简化梯矩阵不仅能判断出β可否由向量组线性表示，而且还能直接写出相应的表达式，更加能判断出之间的线性相关性。
例4：设
。
判断向量β可否由向量组α1，α2，α3线性表示，并写出相应的表达式。
解：作矩阵
（↗简化梯矩阵）
则由最后一个矩阵可得，所以β可由向量组α1，α2，α3线性表示。
例5：已知向量组
求向量组的一个极大无关组和秩。
解：作矩阵
（↗简化梯矩阵）
所以由最后一个矩阵知α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，r（α1，α2，α3，α4）=3。
4.行简化梯矩阵在求一般的线性方程组中的作用
在解线性方程组的过程中通常采用高斯消元法，即利用线性方程组的增广矩阵进行若干次初等行变换后化为等价的行简化梯矩阵，然后确定秩及解的情况，从而求出线性方程组的解。这里行简化梯矩阵也起到了重要的作用。
例6：求解线性方程组
解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为行简化梯矩阵：
（↗简化梯矩阵）
由最后的矩阵可知，，所以方程组有无穷多解。并且得到原方程组的同解方程组为
令自由未知量得到原方程组的一个特解，原方程组的导出组的同解方程组为，（*）令自由未知量分别取， 得导出组的一个基础解系，则原方程组的通解为（c1，c2为任意常数）。
高斯消元法是求线性方程组解的一种重要方法，适用于各种线性方程组，而其关键在于用初等变换把线性方程组的增广矩阵化为行简化梯矩阵。因此能否把矩阵化为行简化梯矩阵是解线性方程组的关键所在。
而求已知矩阵的特征值和特征向量，这中间当然也要用到把特征值对应的特征矩阵化为行简化梯矩阵以求得特征值对应的特征向量，其实这等同于求解齐次线性方程组的基础解系，也就是如上例中的（*）式部分，具体在求的过程中如何计算，这里就不多加叙述了。
综上所述，行简化梯矩阵在矩阵理论中起着最终解决实际问题的作用，并且贯穿于线性代数各章节，对很多计算都起着重要的作用。所以希望同仁们在开篇讲矩阵的相关知识时，能把行简化梯矩阵这个概念、如何把已知矩阵化为行简化梯矩阵以及它在整个线性代数各个章节中的重要性讲清楚，以引起学生们的注意。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]陈文灯,杜之韩.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]徐志敏.浅谈逆矩阵的教学[J].中国电力教育,2010,(9):88-89.
（责任编辑：麻剑飞）
关键词：行简化梯矩阵；矩阵初等行变换；逆矩阵；线性方程组
作者简介：丁艳风（1979-），女，河南郑州人，郑州大学升达经贸管理学院，讲师。（河南 郑州 451191）刘长河（1980-），男，河南洛阳人，河南科技大学西苑校区数学与统计学院，助教。（河南 洛阳 471003）
中图分类号：G642.3 文献标识码 ：A 文章编号：1007-0079（2011）13-0090-02
线性代数是大学数学的一门重要基础课，而矩阵理论则是线性代数的主要内容和重要基础。矩阵作为解线性方程组的重要工具已渗透到各章内容之中，并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带，它把线性代数各章节贯串成为一个整体。而如何化已知矩阵为行简化梯矩阵几乎贯穿线性代数各章节的始终，在求方阵的逆、求线性方程组的解、判断某个向量可否由其余向量线性表示并写出表达式、求已知向量组的秩和极大无关组并将其余向量由这个极大无关组线性表示的问题以及求矩阵的特征值特征向量等方面，行简化梯矩阵都起着重要的作用。在很多情况下，学生们在做题过程中往往是方法掌握了，可具体在计算时却花费了好多时间仍求不出正确结果。这就涉及如何把矩阵化为行简化梯矩阵这个知识点了，若不会把相关矩阵化为行简化梯矩阵，则接下来相关问题就解决不了。本文就其重要性给出了相关分析，以促进学生对矩阵本身及相关知识的理解，更好地掌握这门基础课程。
一、行简化梯矩阵的概念
行简化梯矩阵的前提是梯矩阵，在此基础上有如下定义。
如果一个梯矩阵具有如下特征：非零行的首非零元为1；非零行的首非零元所在列的其余元均为零。则称其为行简化梯矩阵。
例如矩阵：
以上均为行简化梯矩阵。
二、化已知矩阵为行简化梯矩阵是关键
任给一个非零矩阵都可以经过初等行变换化为行简化梯矩阵。但是如何化、怎样化简单是一个不易处理的问题。这里先举个例子，以从中发现化简的技巧。
例1：用初等变换将矩阵化为行简化梯矩阵。
解：
三、行简化梯矩阵在各个章节知识点中的作用
1.行简化梯矩阵在求矩阵的逆矩阵中的作用
在矩阵理论中，逆矩阵占了一个很重要的地位，因此如何求逆矩阵就变得十分重要。通常，可以用矩阵的初等变换或者利用伴随矩阵来求逆矩阵，但是如果利用伴随矩阵来计算阶数很高（）的矩阵的逆矩阵就必须计算n2+1个行列式，过程相当复杂。如果稍一出错就全都错了，因此常用的方法就是用矩阵的初等变换法，也即把某个矩阵化为行简化梯矩阵来得到已知矩阵的逆矩阵。对于任意n阶矩阵A，求矩阵A-1的过程如下。
（1）用一个与矩阵A同阶的单位矩阵E与A组成一个n×2n矩阵。
（2）利用矩阵初等变换法则，将矩阵的左半部分化为单位矩阵，此时其右半部即为A-1，也就是把已知矩阵化为行简化梯矩阵。即：
。
例2：求矩阵的逆矩阵。
解：
（↗简化梯矩阵）
所以 。
大多数情况下，学生们知道用以上方法，但是具体做时就茫然不知所措了，原因就在于对一个矩阵如何化为行简化梯矩阵这关键的过程不熟悉。所以如果能把行简化梯矩阵这个概念理解并熟练应用，则求逆矩阵就没有问题了。
2.行简化梯矩阵在求解线性方程组中的作用
常见的矩阵方程形如，和，若A，B均可逆，则矩阵方程可用初等变换求解（既简单又节省时间），其解分别为。
例如AX=B，在计算过程中，可把An×n与Bm×n并排放一起，即：
。同理可把An×n与Bm×n上下放在一起构造出矩阵，即，对于一般的矩阵此方法简单易行，如下例。
例3：设矩阵，求X，使AX+B=X。
解：由AX+B=X，得X-AX=B，即（E-A）X=B，又
且，从而构造3×5矩阵。
（↗简化梯矩阵）
因此。
3.行简化梯矩阵在线性表示中及求向量组的极大无关组和秩中的作用
在判断向量β可否由向量组线性表示，并写出相应的表达式及判断之间的线性相关性的问题中，常采用以下方法（本文中的向量均指列向量）。
做矩阵行简化梯矩阵，由最后一个行简化梯矩阵不仅能判断出β可否由向量组线性表示，而且还能直接写出相应的表达式，更加能判断出之间的线性相关性。
例4：设
。
判断向量β可否由向量组α1，α2，α3线性表示，并写出相应的表达式。
解：作矩阵
（↗简化梯矩阵）
则由最后一个矩阵可得，所以β可由向量组α1，α2，α3线性表示。
例5：已知向量组
求向量组的一个极大无关组和秩。
解：作矩阵
（↗简化梯矩阵）
所以由最后一个矩阵知α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，r（α1，α2，α3，α4）=3。
4.行简化梯矩阵在求一般的线性方程组中的作用
在解线性方程组的过程中通常采用高斯消元法，即利用线性方程组的增广矩阵进行若干次初等行变换后化为等价的行简化梯矩阵，然后确定秩及解的情况，从而求出线性方程组的解。这里行简化梯矩阵也起到了重要的作用。
例6：求解线性方程组
解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为行简化梯矩阵：
（↗简化梯矩阵）
由最后的矩阵可知，，所以方程组有无穷多解。并且得到原方程组的同解方程组为
令自由未知量得到原方程组的一个特解，原方程组的导出组的同解方程组为，（*）令自由未知量分别取， 得导出组的一个基础解系，则原方程组的通解为（c1，c2为任意常数）。
高斯消元法是求线性方程组解的一种重要方法，适用于各种线性方程组，而其关键在于用初等变换把线性方程组的增广矩阵化为行简化梯矩阵。因此能否把矩阵化为行简化梯矩阵是解线性方程组的关键所在。
而求已知矩阵的特征值和特征向量，这中间当然也要用到把特征值对应的特征矩阵化为行简化梯矩阵以求得特征值对应的特征向量，其实这等同于求解齐次线性方程组的基础解系，也就是如上例中的（*）式部分，具体在求的过程中如何计算，这里就不多加叙述了。
综上所述，行简化梯矩阵在矩阵理论中起着最终解决实际问题的作用，并且贯穿于线性代数各章节，对很多计算都起着重要的作用。所以希望同仁们在开篇讲矩阵的相关知识时，能把行简化梯矩阵这个概念、如何把已知矩阵化为行简化梯矩阵以及它在整个线性代数各个章节中的重要性讲清楚，以引起学生们的注意。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]陈文灯,杜之韩.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]徐志敏.浅谈逆矩阵的教学[J].中国电力教育,2010,(9):88-89.
（责任编辑：麻剑飞）