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（浙江省慈溪市教育局教研室，慈溪315300）
【摘 要】《鸡兔同笼》的价值追求是让学生经历“尝试—调整—再尝试—再调整”的“笨方法”，感悟假设法。但在教学中会产生种种困惑。针对这些困惑，本文提出四个对策：越过文化体验，为“笨方法”留时间；放手自主假设，为“笨方法”拓形式；沟通假设渠道，为“笨方法”聚能量；重塑假设格局，为“笨方法”阔空间。
【关键词】小学数学；假设；困惑；调整；对策
《鸡兔同笼》从六年级上册移到四年级下册，删去方程解法，突出了假设法的地位与作用，让学生经历“假设—调整—验证”过程，并最终找到答案。尽管教师明确了《鸡兔同笼》的价值追求，但在教学中总是会产生这样那样的困惑。
一、求文化还是求效率是一种思想困惑
新教材仍通过富有情趣的古代课堂，生动地呈现《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，激发学生解答古代数学趣题的兴趣。同时增加了一幅鸡兔同笼图，提示 “鸡有2条腿、兔有4条腿”。但根据教学统计至少要三步：先要读古题做解释，接着翻译成现代汉语，让学生先尝试，发现数据太大不利于研究，这才出示例1。文化渗透还夹带数学思想，占用时间过多，反而不利于学生集中精力探究新知。
解决以上困惑的对策是：越过文化体验，为“笨方法”留时间。既然假设法是本课教学的核心，那么就应该把时间留给假设的产生、发展与巩固。教师不妨越过这些文化体验，直接出示例1。学生可以通过读题、析意、猜测（如下图），初步感知假设意味。这种“笨方法”学生称之为“凑”，这种“凑”的过程符合数量关系与运算顺序，与今后的不定方程一脉相承。其实在三年级的《租船问题》时学生已经体验过从个别猜测慢慢地引导成有序罗列。
二、要画图还是不要画图是教学困惑
画图由于其直观性，一直是学生研究数学问题比较喜欢的方式，但教材没有用图做支撑，教师在教学中却总会借助图讲清假设过程。那么图是否必须呈现，价值几何？
解决以上困惑的对策是：放手自主假设，为“笨方法”拓形式。基于学生起点的教学是现代课堂的灵魂。放手让学生用自己喜欢的方式去解答，在多形式的自主假设中捕捉学生思维水平。方法有不少：
1. 画图。大多数学生假设都是鸡，少数假设是兔。
2. 列表。
3. 列式。
除了列式，画图与列表都形象地展示了调整过程。凑头与凑腿就是“笨”在从“0”开始，有顺序地、详细地列出所有情况，然后再筛选出正确头数；而跳跃“调整法”与中间“突破法”则思维含量较高，但事实上是“笨方法”思考后的轻巧方式。画图与其他方式一样都是学生的原生态思维，给教学带来了无限生机与灵性。然而画图与列表的罗列基本一致，可根据学生实际情况取舍。
三、重列表还是重算式是思维困惑
教师总认为算式是解决问题的最好记录方式，所以千方百计地希望把列表的“笨方法”拔位到算式的“活方法”。列表与列式如何平衡，列表对列式有哪些作用？
解决以上困惑的对策是：沟通假设渠道，为“笨方法”聚能量。回归到本课的核心——假设法，更多人总是认为运用了画图法，列表法，假设法，这个假设法指的列式。但笔者认为：画图、列表的过程无一不是假设，画图、列表、列式是假设法的三种不同表达形式而已；重点刻画列表的“笨方法”，沟通三种表达形式之间的假设渠道，聚集能量。
1. 先反馈列表，再画图支撑
列表是从0开始，发现总腿数与已知头数不对时，进行调整，每调整一次就是在体会假设。初始的假设可以视作“零起点”，无须经过深入思考，因此俗称“笨方法”。而能画出正确的图，学生已经懂得假设全为鸡或全为兔，应该是已经具备了较系统的假设知识。因此尽管图很直观，但由于思维层次不同，建议先反馈列表，再用画图支撑（如下表），这也是前文所指教材不画图的另一个原因。
2. 先同步调整，后集中突破
基于三种方式的感悟，学生对假设法已经具有一定的认识，解决“鸡兔同笼”问题的策略逐步优化。如何使“假设—调整—结论”的步骤更加清晰，当展示完学生作品后，教师可把列表、画图、列式同步调整加以呈现，把画图作为列表和列式的联系纽带，实现形象到抽象的过滤。
师：观察课件，先怎么想？
生1：假设全为鸡，那么表格里填鸡8只，兔0只。（填表）
生2：列式为8×2=16，25-16=10（板书）
师：剩下的10条腿，怎么调整？
生3：在图中每只鸡下面加2条腿，那么变为鸡7只，兔1只。
生4：表格也调整为鸡7只，兔1只。
生5：减少一只鸡，增加一只兔进行调整，共调整5次。（填完表格同步展示完图）
师：谁看懂了？谁再来说说？同桌互说。
师：那么这个调整过程可以怎么列式？（4-2）是什么意思？
边放边写、逐次细理的三结合使道理通透。为了巩固调整的策略，可结合学生的回答多次回放课件，并通过个别说、同桌互说等学习方式加以咀嚼与内化。
四、选特殊还是选普通是解题策略的困惑
课一开始越过了文化体验，怎么弥补？还有个棘手的问题：鸡有两条腿，而“4-2”也是两条腿，如何减少这种特殊性对意义的干扰，可否换成普通素材？
解決以上困惑的对策是：重塑假设格局，为“笨方法”阔空间。《鸡兔同笼》作为中国古代数学的结晶，其历史文化可以在练习环节增加古题的练习。教师可以重塑假设的格局，选择合适的方法与素材进行理解，不妨来环视一下各种教材。
1. 以方法的删减促进效果提高
北师大版五年级上册《尝试与猜测》单元中也安排了“鸡兔同笼”这一教学内容（如下图）。与人教版对比，主要发现以下两点不同。
一是教材中呈现了多种解决问题的方法，突出了先罗列后筛选的“笨方法”，删去了列式法，也没有出现画图法。
二是从较为简单的问题引入，在学生交流研究掌握一定的方法后再解决《孙子算经》中的原题，与人教版的编排恰好相反。
2. 以素材的改变开拓学习空间
苏教版并没有安排鸡兔同笼素材，只是在六年级上册出示租船的情境（如下图），让学生在画图与列表计算的过程中体会“调整”的方法，只把“鸡兔同笼”问题作为一道练习题。一个小小改变重塑假设的格局，使学习空间更为宽阔。
假设是运用想象对所研究的事物本质或规律的初步设想或推测，是对所研究的课题提出可能的答案或尝试性理解。本课的思维起点在于“先猜测后验证”，又通过“尝试—调整—再尝试—再调整”的“笨方法”，逐渐逼近正确答案，也为用假设法解决分数、百分数问题以及更高阶段的反证法积累经验。
【摘 要】《鸡兔同笼》的价值追求是让学生经历“尝试—调整—再尝试—再调整”的“笨方法”，感悟假设法。但在教学中会产生种种困惑。针对这些困惑，本文提出四个对策：越过文化体验，为“笨方法”留时间；放手自主假设，为“笨方法”拓形式；沟通假设渠道，为“笨方法”聚能量；重塑假设格局，为“笨方法”阔空间。
【关键词】小学数学；假设；困惑；调整；对策
《鸡兔同笼》从六年级上册移到四年级下册，删去方程解法，突出了假设法的地位与作用，让学生经历“假设—调整—验证”过程，并最终找到答案。尽管教师明确了《鸡兔同笼》的价值追求，但在教学中总是会产生这样那样的困惑。
一、求文化还是求效率是一种思想困惑
新教材仍通过富有情趣的古代课堂，生动地呈现《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，激发学生解答古代数学趣题的兴趣。同时增加了一幅鸡兔同笼图，提示 “鸡有2条腿、兔有4条腿”。但根据教学统计至少要三步：先要读古题做解释，接着翻译成现代汉语，让学生先尝试，发现数据太大不利于研究，这才出示例1。文化渗透还夹带数学思想，占用时间过多，反而不利于学生集中精力探究新知。
解决以上困惑的对策是：越过文化体验，为“笨方法”留时间。既然假设法是本课教学的核心，那么就应该把时间留给假设的产生、发展与巩固。教师不妨越过这些文化体验，直接出示例1。学生可以通过读题、析意、猜测（如下图），初步感知假设意味。这种“笨方法”学生称之为“凑”，这种“凑”的过程符合数量关系与运算顺序，与今后的不定方程一脉相承。其实在三年级的《租船问题》时学生已经体验过从个别猜测慢慢地引导成有序罗列。
二、要画图还是不要画图是教学困惑
画图由于其直观性，一直是学生研究数学问题比较喜欢的方式，但教材没有用图做支撑，教师在教学中却总会借助图讲清假设过程。那么图是否必须呈现，价值几何？
解决以上困惑的对策是：放手自主假设，为“笨方法”拓形式。基于学生起点的教学是现代课堂的灵魂。放手让学生用自己喜欢的方式去解答，在多形式的自主假设中捕捉学生思维水平。方法有不少：
1. 画图。大多数学生假设都是鸡，少数假设是兔。
2. 列表。
3. 列式。
除了列式，画图与列表都形象地展示了调整过程。凑头与凑腿就是“笨”在从“0”开始，有顺序地、详细地列出所有情况，然后再筛选出正确头数；而跳跃“调整法”与中间“突破法”则思维含量较高，但事实上是“笨方法”思考后的轻巧方式。画图与其他方式一样都是学生的原生态思维，给教学带来了无限生机与灵性。然而画图与列表的罗列基本一致，可根据学生实际情况取舍。
三、重列表还是重算式是思维困惑
教师总认为算式是解决问题的最好记录方式，所以千方百计地希望把列表的“笨方法”拔位到算式的“活方法”。列表与列式如何平衡，列表对列式有哪些作用？
解决以上困惑的对策是：沟通假设渠道，为“笨方法”聚能量。回归到本课的核心——假设法，更多人总是认为运用了画图法，列表法，假设法，这个假设法指的列式。但笔者认为：画图、列表的过程无一不是假设，画图、列表、列式是假设法的三种不同表达形式而已；重点刻画列表的“笨方法”，沟通三种表达形式之间的假设渠道，聚集能量。
1. 先反馈列表，再画图支撑
列表是从0开始，发现总腿数与已知头数不对时，进行调整，每调整一次就是在体会假设。初始的假设可以视作“零起点”，无须经过深入思考，因此俗称“笨方法”。而能画出正确的图，学生已经懂得假设全为鸡或全为兔，应该是已经具备了较系统的假设知识。因此尽管图很直观，但由于思维层次不同，建议先反馈列表，再用画图支撑（如下表），这也是前文所指教材不画图的另一个原因。
2. 先同步调整，后集中突破
基于三种方式的感悟，学生对假设法已经具有一定的认识，解决“鸡兔同笼”问题的策略逐步优化。如何使“假设—调整—结论”的步骤更加清晰，当展示完学生作品后，教师可把列表、画图、列式同步调整加以呈现，把画图作为列表和列式的联系纽带，实现形象到抽象的过滤。
师：观察课件，先怎么想？
生1：假设全为鸡，那么表格里填鸡8只，兔0只。（填表）
生2：列式为8×2=16，25-16=10（板书）
师：剩下的10条腿，怎么调整？
生3：在图中每只鸡下面加2条腿，那么变为鸡7只，兔1只。
生4：表格也调整为鸡7只，兔1只。
生5：减少一只鸡，增加一只兔进行调整，共调整5次。（填完表格同步展示完图）
师：谁看懂了？谁再来说说？同桌互说。
师：那么这个调整过程可以怎么列式？（4-2）是什么意思？
边放边写、逐次细理的三结合使道理通透。为了巩固调整的策略，可结合学生的回答多次回放课件，并通过个别说、同桌互说等学习方式加以咀嚼与内化。
四、选特殊还是选普通是解题策略的困惑
课一开始越过了文化体验，怎么弥补？还有个棘手的问题：鸡有两条腿，而“4-2”也是两条腿，如何减少这种特殊性对意义的干扰，可否换成普通素材？
解決以上困惑的对策是：重塑假设格局，为“笨方法”阔空间。《鸡兔同笼》作为中国古代数学的结晶，其历史文化可以在练习环节增加古题的练习。教师可以重塑假设的格局，选择合适的方法与素材进行理解，不妨来环视一下各种教材。
1. 以方法的删减促进效果提高
北师大版五年级上册《尝试与猜测》单元中也安排了“鸡兔同笼”这一教学内容（如下图）。与人教版对比，主要发现以下两点不同。
一是教材中呈现了多种解决问题的方法，突出了先罗列后筛选的“笨方法”，删去了列式法，也没有出现画图法。
二是从较为简单的问题引入，在学生交流研究掌握一定的方法后再解决《孙子算经》中的原题，与人教版的编排恰好相反。
2. 以素材的改变开拓学习空间
苏教版并没有安排鸡兔同笼素材，只是在六年级上册出示租船的情境（如下图），让学生在画图与列表计算的过程中体会“调整”的方法，只把“鸡兔同笼”问题作为一道练习题。一个小小改变重塑假设的格局，使学习空间更为宽阔。
假设是运用想象对所研究的事物本质或规律的初步设想或推测，是对所研究的课题提出可能的答案或尝试性理解。本课的思维起点在于“先猜测后验证”，又通过“尝试—调整—再尝试—再调整”的“笨方法”，逐渐逼近正确答案，也为用假设法解决分数、百分数问题以及更高阶段的反证法积累经验。