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摘要：本文讨论了如何在给定边界层数的条件下，通过调整各介质层吸收层的介质参数来实现入射波的最佳吸收，并利用自适应遗传算法对算法中的边界参数进行优化。
关键词：时域有限差分算法；各向异性；完全匹配层
中图分类号：O441文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)20-30234-03
The Implementation Methods of PML in the Finite Difference Time Domain
SUN Yun-he, LI Jian-xiong
(Tianjin Industry University, Information and Communication Engineering Institute, Tianjin 300160, China)
Abstract: This article discusses how a given number of boundary conditions, by adjusting the dielectric layer absorption of the medium parameters to achieve the best incident wave absorption and use of adaptive algorithms in the genetic algorithm to optimize the parameters of the border.
Key words: FDTD method; anisotropy; PML
1 引言
时域有限差分算法(FDTD)是一种近年来应用最广泛、发展最迅速的电磁场仿真算法，用该算法计算电磁场散射问题时需要设置吸收边界条件来模拟无限空间中的电波传播。时域有限差分(FDTD)方法已逐渐成为解决电磁散射和电磁波传输等问题的有力工具。研究FDTD方法的核心问题是寻求一种理想的吸收边界，使截断面反射最小。
各向异性介质在微波元件、微带电路中得到广泛的应用，特别是随着微波与毫米波集成技术的发展,集成电路由混合集成发展为单片集成，各向异性的介质基片得到越来越广泛的应用。若在电路特性参数的分析中，忽略介质基片的各向异性而作为各向同性介质处理，随着频率的升高，将产生较大的误差。因此，分析各向异性介质问题的数值方法得到人们的重视。完全匹配层PML吸收边界是目前最常用、边界处理比较方便且吸收效果比较理想的一种吸收边界条件。与传统的Mur二阶近似吸收边界条件相比，PML吸收边界条件可提高精度40dB左右。完全匹配层参数的设置合适与否直接影响电磁场模拟仿真的精度，为了提高介质层吸收效果，一般采用增加吸收层的物理厚度。由于吸收层位于网格最外层，因此每增加一层都会增加计算机的内存需求和计算时间。
吸收边界的处理是FDTD算法的一个关键问题，吸收边界条件的效果直接关系到FDTD计算的正确性和精确度，是影响FDTD计算品质的决定因素。J.P.Berenger于1994年首先提出了理想匹配层(PML)吸收边界条件的概念。1996年，S.D.Gedney提出了各向异性介质PML理论并用于FDTD区域的吸收边界。与传统的Mur二阶近似吸收边界条件相比[7]，PML吸收边界条件可提高精度40dB左右，是目前最好的吸收边界条件。PML吸收边界条件是针对矢量FDTD算法提出的，并不能直接用于标量的WE-FDTD算法。最近，M.A.Alsunaidi导出了PML媒质中波动方程的表达式，但它忽略了电导率是空间坐标的函数。D.Zhou基于伸张坐标系下的标量波动方程导出了一维PML的差分格式，并用于光器件的仿真中，获得了非常好的结果。本文实现了波动方程FDTD算法的PML吸收边界条件(WE-PML)，并利用二维空间中的TM波进行了数值验证，同时对PML媒质参数进行了优化和分析。
2 WE-PML吸收边界条件
PML边界是在FDTD区域边界处设置一种特殊介质层，该介质层的波阻抗与相邻真空的波阻抗完全匹配，即在连续和离散情况下都满足阻抗匹配条件。理论上希望垂直入射时入射波能无反射地进入PML区域，即反射系数为零。但PML区域不可能是无限大，因此在区域外围要用截断边界（反射系数为——1）或其他吸收边界。Berenger通过数值实验发现，真空一PML交界面电导率的突变是导致较大数值反射的主要原因。因此，良好PML参数设置的目的是：①尽量用少量的吸收网格使计算区域中入射波能无反射地進入PML区域；②尽量减少吸收网格之间的电导率变化速率；③尽量减少到达截断边界的入射波强度。入射波在PML区域中的衰减速率和电导率有关，电导率越大衰减速率就越大。如果电导率变化较大，则应当在PML层中对时间使用指数差分J，否则由于边界介质中电磁场衰减很快，Yee差分格式会产生较大反射误差使吸收效率降低。在三维PML介质中，每个场分量分解为两个子分量，通常旋度方程中的6个场分量在PML介质中共分解为l2个子分量。
在拉伸坐标系中，自由空间频域maxwell方程可修正为
其中，θ是相对于介质边界面定义的入射角度， σ是吸收边界厚度，c是光速，ε0是自由空间介电常数，σ(r)为吸收边界的电导率参数。一般取R(θ)等于10-5，定出各层的σ值。一般应用时取边界电导率各层参数之间随边界层数的不同成指数关系：
σmax是边界最大电导率，r是到边界的距离，n是电导率变化指数。实践证明，n的取值和边界层数的设定有关。下文将通过遗传算法得到边界层数增大，最优凡取值将增大的结论。反射误差仅与吸收边界层的实际厚度有关，在边界层参数设置合理时，随着吸收的边界层实际厚度增大，反射误差会变小。这就意味着随着计算频率的升高（每层的电尺寸不变），在同样反射误差的条件下，需要增加吸收层的层数。对于一个天线，需要通过馈人一个宽频时域脉冲来计算其工作带宽，此时若要求设置的吸收边界层满足可以吸收最大频率的入射波，则需要设置的层数将会很大。若设置的层数较少则反射误差将影响仿真天线的计算精度。同样，对于一个窄频段的馈源，根据公式计算得到的边界参数并不能达到最优的吸收效果。理论和实践都表明，当边界吸收层设置于天线近区凋落场以外时，吸收层的吸收效果和实际计算区域的大小无关。如果边界吸收层设置于天线近区凋落场中，则计算无意义（吸收层是根据远区入射吸收效果设置的）。因此，通过遗传算法在较小的满足非凋落场计算的区域中对于一定馈源进行边界参数的优化，再将优化结果应用到该馈源激励的较大区域的天线仿真中，将大大降低边界反射造成的计算结果的偏差。
3 自适应遗传算法的设计与实现
将正旋激励源加在网格正中，使上述电场模板计算到1000个时间步，中间（包括源）40X40X40的网格数据存入文件以备遗传算法调用。同时在1000～3900时间步间每100个时间步保存一次电场计算结果，以备与模板值比较。根据常用的FDTD的层数设置，将层数设置在8～10层。考虑到避免源近区凋落模式对于吸收效果的影响，因此选择待优化的FDTD计算空间为（40+2XPML边界层数）。对于种群中每个染色体进行译码后代入FDTD中迭代，将迭代结果和模板结果比较，返回残差平方和的倒数。将整个种群的计算结果保存，并和上一代种群的计算结果比较。进行精英选择产生下一代种群，同时根据种群中适应度分布确定交叉概率、变异概率。当遗传到初始设定的代数或保持较大交叉概率、变异概率达30代以上时，则退出遗传，得出优化结果。遗传算法的优化结果极有可能是最优解附近的解，同时对于多参数编码，由于编码的精度不高，可能使计算结果不是最优，所以应该再加上一步优化。遗传算法的结果再进行最大梯度下降优化能够达到极高精度的最优解。优化参数的适应度是在FDTD算法计算到1000个时间步时统计的，虽然已经电磁稳定，但也不能排除优化结果在更多的时间步内保持最优，因此有必要比较更多时间步上优化的效果。
4 数值验证
使用高速计算机穷举不同边界电导率，不同电导率变化指数情况下，1000个时间步以后，全局误差对于特定的问题，边界参数的取值可以使全局误差减少，但不可能对于每个计算环境边界都使用计算机精确穷举。因此有必要使用遗传算法。电导率变化指数一定时，根据遗传算法对优化边界一寻找最小全局误差。9层边界经典最大边界参数根据反射系数计算得到σmax=0.000334，优化结果为σmax=0.00019，可以得到将近2.5倍的优化效果。电导率变化不确定，根据遗传算法对PML边界电导率指数优化，寻找最小全局误差。若在9层边界条件下，确定最大边界电导率参数σmax=0.000334，优化电导率变化指数n，边界电导率按2.3次方變化时得到最优的吸收效果.改变所取边界层数，优化边界参数变化指数。随着所选吸收层数的增加，边界参数在各层中的变化率将减小。电导率变化不确定，边界层数不断变化时，每层最优值：将吸收边界每层导电率进行染色体编码。最优解比经典取值优化5倍以上。可见使用遗传算法对吸收边界参数进行优化，可以在较短的计算时间里找到接近最优吸收效果的边界参数。同时，这些计算参数比公式选取参数在长计算时间内吸收效果稳定，电磁场仿真在相同计算内存和计算量条件下精度更高。
5 结论
本文实现了波动方程的PML吸收边界条件，并进行了数值验证。从结果可以看出，WE-PML的性能与Berenger-PML非常接近。同时，对PML媒质参数进行了优化。结果表明，WE-PML的性能主要是由PML的层数、垂直入射时的理论反射系数决定的，WE-PML参数的优化结果与Gedney-PML的经验值基本一致。PML吸收边界条件的实现对于提高WE-FDTD算法的计算精度和效率具有十分重要的意义。
参考文献：
[1] 吴国忱,罗彩明,梁楷.TTI介质弹性波频率-空间域有限差分数值模拟[M].吉林大学学报（地球科学版）,2007(05).
[2] 邵可然,晏明,雷刚,等.电磁波在不均匀非磁化等离子体中的吸收[M]. 华中科技大学学报（自然科学版）,2007(06).
[3] 张方迪,刘小毅,张民,等.全矢量有限元模型及其在光波导和光子晶体光纤中的应用[M].光子学报,2007(02).
[4] 陈浩,王秀明,赵海波.旋转交错网格有限差分及其完全匹配层吸收边界条件[M].科学通报,2006(17).
[5] 张凯,黄明游,张然.求解无界区域内电磁场方程的完全匹配层方法[M].吉林大学学报（理学版）,2006(04).
[6] 林海,丁萍萍,王高峰.平面光集成器件的时域伪谱法分析[M].光电子.激光2006(03).
[7] 裴正林,王尚旭.任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟[M].地震学报,2005(04).
[8] 杨丹,方剑,廖成,任朗. PML吸收边界条件在孔缝耦合模拟中的应用[M].西南交通大学学报,2005(01).
[9] 电波传播.电子科技文摘,2001(12).
[10] 董金明,白育堃.天线近场计算及时域有限差分法的应用[M].计算机仿真,2000(03).
[11] 李莉,高攸纲.色散媒质中的完全匹配层吸收边界[M].电波科学学报,1999(01).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：时域有限差分算法；各向异性；完全匹配层
中图分类号：O441文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)20-30234-03
The Implementation Methods of PML in the Finite Difference Time Domain
SUN Yun-he, LI Jian-xiong
(Tianjin Industry University, Information and Communication Engineering Institute, Tianjin 300160, China)
Abstract: This article discusses how a given number of boundary conditions, by adjusting the dielectric layer absorption of the medium parameters to achieve the best incident wave absorption and use of adaptive algorithms in the genetic algorithm to optimize the parameters of the border.
Key words: FDTD method; anisotropy; PML
1 引言
时域有限差分算法(FDTD)是一种近年来应用最广泛、发展最迅速的电磁场仿真算法，用该算法计算电磁场散射问题时需要设置吸收边界条件来模拟无限空间中的电波传播。时域有限差分(FDTD)方法已逐渐成为解决电磁散射和电磁波传输等问题的有力工具。研究FDTD方法的核心问题是寻求一种理想的吸收边界，使截断面反射最小。
各向异性介质在微波元件、微带电路中得到广泛的应用，特别是随着微波与毫米波集成技术的发展,集成电路由混合集成发展为单片集成，各向异性的介质基片得到越来越广泛的应用。若在电路特性参数的分析中，忽略介质基片的各向异性而作为各向同性介质处理，随着频率的升高，将产生较大的误差。因此，分析各向异性介质问题的数值方法得到人们的重视。完全匹配层PML吸收边界是目前最常用、边界处理比较方便且吸收效果比较理想的一种吸收边界条件。与传统的Mur二阶近似吸收边界条件相比，PML吸收边界条件可提高精度40dB左右。完全匹配层参数的设置合适与否直接影响电磁场模拟仿真的精度，为了提高介质层吸收效果，一般采用增加吸收层的物理厚度。由于吸收层位于网格最外层，因此每增加一层都会增加计算机的内存需求和计算时间。
吸收边界的处理是FDTD算法的一个关键问题，吸收边界条件的效果直接关系到FDTD计算的正确性和精确度，是影响FDTD计算品质的决定因素。J.P.Berenger于1994年首先提出了理想匹配层(PML)吸收边界条件的概念。1996年，S.D.Gedney提出了各向异性介质PML理论并用于FDTD区域的吸收边界。与传统的Mur二阶近似吸收边界条件相比[7]，PML吸收边界条件可提高精度40dB左右，是目前最好的吸收边界条件。PML吸收边界条件是针对矢量FDTD算法提出的，并不能直接用于标量的WE-FDTD算法。最近，M.A.Alsunaidi导出了PML媒质中波动方程的表达式，但它忽略了电导率是空间坐标的函数。D.Zhou基于伸张坐标系下的标量波动方程导出了一维PML的差分格式，并用于光器件的仿真中，获得了非常好的结果。本文实现了波动方程FDTD算法的PML吸收边界条件(WE-PML)，并利用二维空间中的TM波进行了数值验证，同时对PML媒质参数进行了优化和分析。
2 WE-PML吸收边界条件
PML边界是在FDTD区域边界处设置一种特殊介质层，该介质层的波阻抗与相邻真空的波阻抗完全匹配，即在连续和离散情况下都满足阻抗匹配条件。理论上希望垂直入射时入射波能无反射地进入PML区域，即反射系数为零。但PML区域不可能是无限大，因此在区域外围要用截断边界（反射系数为——1）或其他吸收边界。Berenger通过数值实验发现，真空一PML交界面电导率的突变是导致较大数值反射的主要原因。因此，良好PML参数设置的目的是：①尽量用少量的吸收网格使计算区域中入射波能无反射地進入PML区域；②尽量减少吸收网格之间的电导率变化速率；③尽量减少到达截断边界的入射波强度。入射波在PML区域中的衰减速率和电导率有关，电导率越大衰减速率就越大。如果电导率变化较大，则应当在PML层中对时间使用指数差分J，否则由于边界介质中电磁场衰减很快，Yee差分格式会产生较大反射误差使吸收效率降低。在三维PML介质中，每个场分量分解为两个子分量，通常旋度方程中的6个场分量在PML介质中共分解为l2个子分量。
在拉伸坐标系中，自由空间频域maxwell方程可修正为
其中，θ是相对于介质边界面定义的入射角度， σ是吸收边界厚度，c是光速，ε0是自由空间介电常数，σ(r)为吸收边界的电导率参数。一般取R(θ)等于10-5，定出各层的σ值。一般应用时取边界电导率各层参数之间随边界层数的不同成指数关系：
σmax是边界最大电导率，r是到边界的距离，n是电导率变化指数。实践证明，n的取值和边界层数的设定有关。下文将通过遗传算法得到边界层数增大，最优凡取值将增大的结论。反射误差仅与吸收边界层的实际厚度有关，在边界层参数设置合理时，随着吸收的边界层实际厚度增大，反射误差会变小。这就意味着随着计算频率的升高（每层的电尺寸不变），在同样反射误差的条件下，需要增加吸收层的层数。对于一个天线，需要通过馈人一个宽频时域脉冲来计算其工作带宽，此时若要求设置的吸收边界层满足可以吸收最大频率的入射波，则需要设置的层数将会很大。若设置的层数较少则反射误差将影响仿真天线的计算精度。同样，对于一个窄频段的馈源，根据公式计算得到的边界参数并不能达到最优的吸收效果。理论和实践都表明，当边界吸收层设置于天线近区凋落场以外时，吸收层的吸收效果和实际计算区域的大小无关。如果边界吸收层设置于天线近区凋落场中，则计算无意义（吸收层是根据远区入射吸收效果设置的）。因此，通过遗传算法在较小的满足非凋落场计算的区域中对于一定馈源进行边界参数的优化，再将优化结果应用到该馈源激励的较大区域的天线仿真中，将大大降低边界反射造成的计算结果的偏差。
3 自适应遗传算法的设计与实现
将正旋激励源加在网格正中，使上述电场模板计算到1000个时间步，中间（包括源）40X40X40的网格数据存入文件以备遗传算法调用。同时在1000～3900时间步间每100个时间步保存一次电场计算结果，以备与模板值比较。根据常用的FDTD的层数设置，将层数设置在8～10层。考虑到避免源近区凋落模式对于吸收效果的影响，因此选择待优化的FDTD计算空间为（40+2XPML边界层数）。对于种群中每个染色体进行译码后代入FDTD中迭代，将迭代结果和模板结果比较，返回残差平方和的倒数。将整个种群的计算结果保存，并和上一代种群的计算结果比较。进行精英选择产生下一代种群，同时根据种群中适应度分布确定交叉概率、变异概率。当遗传到初始设定的代数或保持较大交叉概率、变异概率达30代以上时，则退出遗传，得出优化结果。遗传算法的优化结果极有可能是最优解附近的解，同时对于多参数编码，由于编码的精度不高，可能使计算结果不是最优，所以应该再加上一步优化。遗传算法的结果再进行最大梯度下降优化能够达到极高精度的最优解。优化参数的适应度是在FDTD算法计算到1000个时间步时统计的，虽然已经电磁稳定，但也不能排除优化结果在更多的时间步内保持最优，因此有必要比较更多时间步上优化的效果。
4 数值验证
使用高速计算机穷举不同边界电导率，不同电导率变化指数情况下，1000个时间步以后，全局误差对于特定的问题，边界参数的取值可以使全局误差减少，但不可能对于每个计算环境边界都使用计算机精确穷举。因此有必要使用遗传算法。电导率变化指数一定时，根据遗传算法对优化边界一寻找最小全局误差。9层边界经典最大边界参数根据反射系数计算得到σmax=0.000334，优化结果为σmax=0.00019，可以得到将近2.5倍的优化效果。电导率变化不确定，根据遗传算法对PML边界电导率指数优化，寻找最小全局误差。若在9层边界条件下，确定最大边界电导率参数σmax=0.000334，优化电导率变化指数n，边界电导率按2.3次方變化时得到最优的吸收效果.改变所取边界层数，优化边界参数变化指数。随着所选吸收层数的增加，边界参数在各层中的变化率将减小。电导率变化不确定，边界层数不断变化时，每层最优值：将吸收边界每层导电率进行染色体编码。最优解比经典取值优化5倍以上。可见使用遗传算法对吸收边界参数进行优化，可以在较短的计算时间里找到接近最优吸收效果的边界参数。同时，这些计算参数比公式选取参数在长计算时间内吸收效果稳定，电磁场仿真在相同计算内存和计算量条件下精度更高。
5 结论
本文实现了波动方程的PML吸收边界条件，并进行了数值验证。从结果可以看出，WE-PML的性能与Berenger-PML非常接近。同时，对PML媒质参数进行了优化。结果表明，WE-PML的性能主要是由PML的层数、垂直入射时的理论反射系数决定的，WE-PML参数的优化结果与Gedney-PML的经验值基本一致。PML吸收边界条件的实现对于提高WE-FDTD算法的计算精度和效率具有十分重要的意义。
参考文献：
[1] 吴国忱,罗彩明,梁楷.TTI介质弹性波频率-空间域有限差分数值模拟[M].吉林大学学报（地球科学版）,2007(05).
[2] 邵可然,晏明,雷刚,等.电磁波在不均匀非磁化等离子体中的吸收[M]. 华中科技大学学报（自然科学版）,2007(06).
[3] 张方迪,刘小毅,张民,等.全矢量有限元模型及其在光波导和光子晶体光纤中的应用[M].光子学报,2007(02).
[4] 陈浩,王秀明,赵海波.旋转交错网格有限差分及其完全匹配层吸收边界条件[M].科学通报,2006(17).
[5] 张凯,黄明游,张然.求解无界区域内电磁场方程的完全匹配层方法[M].吉林大学学报（理学版）,2006(04).
[6] 林海,丁萍萍,王高峰.平面光集成器件的时域伪谱法分析[M].光电子.激光2006(03).
[7] 裴正林,王尚旭.任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟[M].地震学报,2005(04).
[8] 杨丹,方剑,廖成,任朗. PML吸收边界条件在孔缝耦合模拟中的应用[M].西南交通大学学报,2005(01).
[9] 电波传播.电子科技文摘,2001(12).
[10] 董金明,白育堃.天线近场计算及时域有限差分法的应用[M].计算机仿真,2000(03).
[11] 李莉,高攸纲.色散媒质中的完全匹配层吸收边界[M].电波科学学报,1999(01).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”