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[摘 要]数学实践表明，学生在解决数学问题时遇到困难或发生错误，多是概念理解不清或掌握不牢所致。因此，有必要针对小学生在数学概念学习中常见的错误，结合心理学和教育学观点，分析、探讨产生这些错误的原因。
[关键词]概念 形式 错误 意象
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-062
在数学知识中，最普遍的存在形式就是数学概念，它是数学学习的核心。数学实践表明，学生在解决数学问题时遇到困难或发生错误，往往是概念理解不清、掌握不牢所致。在任何一种学习的过程中，由于学生受生理、心理特征及认知水平的限制，出现错误是难免的。但深究错误的本质，又是什么样的原因引发了这些错误呢？本文试图针对小学生在数学概念学习中常见的错误，结合心理学和教育学观点，分析、探讨产生这些错误的原因。
一、数学概念的学习形式
概念是反映事物本质属性的思维形式。而数学概念，则是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式。学生学习数学概念有两种最基本的形式：一种是概念的形成；一种是概念的同化。
1.概念的形成
概念的形成，是在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。其形成过程如下：
①辨别（刺激模式）→②分化（各种属性）→③类化（共同属性）④抽象（本质属性）→⑤检验（确认）→⑥概括（形成概念）→⑦形式化（用符号表示）
2.概念的同化
利用学生已有的知识经验，以定义的方式，直接向学生揭示概念的本质，这种学习概念的方式叫概念的同化。
二、数学概念学习中的常见错误
学生在学习数学概念时，有概念的形成和同化，也有形成和同化的结合学习。在这些数学概念的学习过程中，不同的学生会有不同的学习效果。有些学生可以很快地接受和理解所学知识，有些却没有这么顺利，有部分学生明明能流利地背出概念的形式定义，却仍在解题中出现各种概念性错误。本文针对孩子常见的错误，将出错原因分为数学概念意象表征不当、混淆数学概念的二重性、不注重概念间的联系等。
1.数学概念意象的表征不当
（1）日常概念代替数学概念引发错误
维果斯基研究提出，儿童的概念可分为日常概念和科学概念。日常概念是指产生于儿童日常生活经验的概念，它是儿童进一步学习的基础；科学概念则是指在学校教学中形成与获得的真实概念。这两种类型的概念在形成与发展过程中是相互联系和相互作用的。儿童在学习抽象的数学概念时，往往会联系自己的日常生活，运用日常生活中的经验和体会，也就是日常概念，来帮助理解数学概念。数学概念中术语的生活意义有时跟它的科学意义是基本一致的，但有时却又完全不同。当儿童将一些生活意义与科学意义不同的术语运用到数学概念的理解中时，便会构建出错误概念。即使是会背数学概念的形式定义，但他们的意识中仍会潜在的存在着错误概念，这样，就会出现概念的理解错误。
例如，平均数是统计学中的一个重要概念，而小学数学中的平均数主要指算数平均数，也就是表示数据集中程度的一种统计特征数，它说明了一组数据的典型情况，并通常用它来对结果进行推断。其计算的基本数量关系式为：总数量÷总份数=平均数，如“平均气温”“平均身高”“平均分数”等。但“平均速度”却与其有所区别。它是行程问题中经常遇到的一个数学术语，指运动物体在某一个方向上单位时间内通过的距离，其基本数量关系式是“总路程÷总时间=平均速度”，因此“平均速度”属于行程问题的一种数学问题，而非平均数问题。下面以一道经常遇到的应用题加以说明。
题：从甲地到乙地，某人去时速度为3千米 / 时，原路返回时速度为2千米 / 时，求他往返一次的平均速度。
解法一：（2 3）÷2=2.5（千米 / 时）
解法二：设全程为6千米。
6×2÷（6÷2 6÷3）
=12÷5
=2.4（千米 / 时）
上题中，解法一是错误的，它求得的是速度平均数，是由速度一、速度二累加，除以个数得到的。从统计学的角度来看，它反映的是一组数据的集中趋势量，能用来表示数据的总体水准，并进行合情的推测；而解法二是根据“总路程÷总时间=平均速度”这一数量关系来求的，求出的才是平均速度。显然有学生用日常概念中的“速度平均数”来代替“平均速度”，结果就出错了。
（2）用“典型实例”代替数学概念造成一知半解
在人的记忆中有很多概念并不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的，而是以这些概念的典型实例来表示的。例如讲到函数的知识时，学生可能首先想到某些见过的函数图像；学到空间几何时，学生不会首先想到定义或特征，而是联想到一个直观的几何图形；有时在回忆某一概念时，往往先试着回忆获得这个概念的情境，然后才联想其定义形式。概念的典型性范例常常是学生头脑中被唤起的概念意象部分。但有些时候，学生对于自己所建立的概念意象往往不像概念定义那样具有明确性，对概念意象具有不清醒的自我认识，从而对数学概念形成一种一知半解的局面。
例如，在学习三角形的高时，我们先看看数学教科书上对高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。图1为三个三角形，分别为锐角、直角、钝角三角形，对于它们的高大部分的孩子都不会画错。
图1
但是若出现图2这样的钝角三角形，要求分别画AB、CB边上的高，便会出现如图3这样的错误，而正确的画法应该如图4所示。
图2 图3 图4
分析原因：当教师讲解完定义并列举了一些三角形高的画法之后，学生就开始构建各自的关于这个概念的内部表示。由于教师在教学时画的常常是如图1中摆放的三角形的高，一些学生会误认为高的表示就是在三角形内部的一条竖直方向的线段，而将定义中关于高应当从某一个顶点画向对边的限定忽略了。从本质上分析，这个问题的关键并不在于学生忽略和记住了什么，而在于他们更倾向于用概念意象—— “典型实例”（图1的三种图形）来作为概念的代表并以此表示概念。
2.数学概念二重性的混淆
Thompson，Greeno，Hiebert等数学家在上个世纪八十年代就指出，数学内容可以分为过程和概念两类。过程指数学公式、定理、运算法则等操作性的程序，对象指数学中各个研究对象构成的结构关系。近几年中，以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）的研究认为，“数学中的许多概念（尤其代数概念）既可看做是动态操作的过程，又可看做是一种静态的结构关系对象。可以将数学概念兼具的这两种特殊性质称为概念的二重性”。在实际运用时，我们根据需要灵活地变换认识的角度，有时要将某个概念当作有操作步骤的过程，有时又要将它看作一个整体性固定的对象。例如，多项式6a 3可以看成是6与a相乘后再加上3的运算过程，也可以看成是由6、a、3经运算关系组成的一个结构或运算结果，一个代数对象，这时我们已不再强调运算，而是强调它自己本身的一种状态。儿童在实际运用中，往往会忽视数学概念的二重性，因而犯错。就拿简单的等号来说吧，初学方程的时候，这样一个简单的方程，其中的等号不再是一个指示你去做运算的标志，而是表示左右两式的平衡关系。
3.概念联系与概念网络的缺失
R.Skemp指出：“个别的概念一定要融入与其他概念合成的概念结构中才有效用。”“真正的理解一个数学概念是指该概念与已有的知识网络建立了新的联系，形成了崭新的知识网络，这样才可以使学生在概念学习中更多地去思考与之联系的或可能联系的相关知识，从而能更有效地影响后续学习，更有效地从整体上把握数学概念。”目前，我国的数学教学也强调学生的自主探索、发现规律，但实践的效果不是很好。学生依赖于教师将概念教给他们，满足于解决练习本上的习题，没有自己对概念的概括和理解，缺乏从整体上把握概念，也无法形成概念网络，出现概念断层。概念联系与概念网络的缺失使学生背上了装满零散知识的沉重包袱，无法从真正意义上获得概念。
（责编 罗 艳）
[关键词]概念 形式 错误 意象
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-062
在数学知识中，最普遍的存在形式就是数学概念，它是数学学习的核心。数学实践表明，学生在解决数学问题时遇到困难或发生错误，往往是概念理解不清、掌握不牢所致。在任何一种学习的过程中，由于学生受生理、心理特征及认知水平的限制，出现错误是难免的。但深究错误的本质，又是什么样的原因引发了这些错误呢？本文试图针对小学生在数学概念学习中常见的错误，结合心理学和教育学观点，分析、探讨产生这些错误的原因。
一、数学概念的学习形式
概念是反映事物本质属性的思维形式。而数学概念，则是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式。学生学习数学概念有两种最基本的形式：一种是概念的形成；一种是概念的同化。
1.概念的形成
概念的形成，是在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。其形成过程如下：
①辨别（刺激模式）→②分化（各种属性）→③类化（共同属性）④抽象（本质属性）→⑤检验（确认）→⑥概括（形成概念）→⑦形式化（用符号表示）
2.概念的同化
利用学生已有的知识经验，以定义的方式，直接向学生揭示概念的本质，这种学习概念的方式叫概念的同化。
二、数学概念学习中的常见错误
学生在学习数学概念时，有概念的形成和同化，也有形成和同化的结合学习。在这些数学概念的学习过程中，不同的学生会有不同的学习效果。有些学生可以很快地接受和理解所学知识，有些却没有这么顺利，有部分学生明明能流利地背出概念的形式定义，却仍在解题中出现各种概念性错误。本文针对孩子常见的错误，将出错原因分为数学概念意象表征不当、混淆数学概念的二重性、不注重概念间的联系等。
1.数学概念意象的表征不当
（1）日常概念代替数学概念引发错误
维果斯基研究提出，儿童的概念可分为日常概念和科学概念。日常概念是指产生于儿童日常生活经验的概念，它是儿童进一步学习的基础；科学概念则是指在学校教学中形成与获得的真实概念。这两种类型的概念在形成与发展过程中是相互联系和相互作用的。儿童在学习抽象的数学概念时，往往会联系自己的日常生活，运用日常生活中的经验和体会，也就是日常概念，来帮助理解数学概念。数学概念中术语的生活意义有时跟它的科学意义是基本一致的，但有时却又完全不同。当儿童将一些生活意义与科学意义不同的术语运用到数学概念的理解中时，便会构建出错误概念。即使是会背数学概念的形式定义，但他们的意识中仍会潜在的存在着错误概念，这样，就会出现概念的理解错误。
例如，平均数是统计学中的一个重要概念，而小学数学中的平均数主要指算数平均数，也就是表示数据集中程度的一种统计特征数，它说明了一组数据的典型情况，并通常用它来对结果进行推断。其计算的基本数量关系式为：总数量÷总份数=平均数，如“平均气温”“平均身高”“平均分数”等。但“平均速度”却与其有所区别。它是行程问题中经常遇到的一个数学术语，指运动物体在某一个方向上单位时间内通过的距离，其基本数量关系式是“总路程÷总时间=平均速度”，因此“平均速度”属于行程问题的一种数学问题，而非平均数问题。下面以一道经常遇到的应用题加以说明。
题：从甲地到乙地，某人去时速度为3千米 / 时，原路返回时速度为2千米 / 时，求他往返一次的平均速度。
解法一：（2 3）÷2=2.5（千米 / 时）
解法二：设全程为6千米。
6×2÷（6÷2 6÷3）
=12÷5
=2.4（千米 / 时）
上题中，解法一是错误的，它求得的是速度平均数，是由速度一、速度二累加，除以个数得到的。从统计学的角度来看，它反映的是一组数据的集中趋势量，能用来表示数据的总体水准，并进行合情的推测；而解法二是根据“总路程÷总时间=平均速度”这一数量关系来求的，求出的才是平均速度。显然有学生用日常概念中的“速度平均数”来代替“平均速度”，结果就出错了。
（2）用“典型实例”代替数学概念造成一知半解
在人的记忆中有很多概念并不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的，而是以这些概念的典型实例来表示的。例如讲到函数的知识时，学生可能首先想到某些见过的函数图像；学到空间几何时，学生不会首先想到定义或特征，而是联想到一个直观的几何图形；有时在回忆某一概念时，往往先试着回忆获得这个概念的情境，然后才联想其定义形式。概念的典型性范例常常是学生头脑中被唤起的概念意象部分。但有些时候，学生对于自己所建立的概念意象往往不像概念定义那样具有明确性，对概念意象具有不清醒的自我认识，从而对数学概念形成一种一知半解的局面。
例如，在学习三角形的高时，我们先看看数学教科书上对高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。图1为三个三角形，分别为锐角、直角、钝角三角形，对于它们的高大部分的孩子都不会画错。
图1
但是若出现图2这样的钝角三角形，要求分别画AB、CB边上的高，便会出现如图3这样的错误，而正确的画法应该如图4所示。
图2 图3 图4
分析原因：当教师讲解完定义并列举了一些三角形高的画法之后，学生就开始构建各自的关于这个概念的内部表示。由于教师在教学时画的常常是如图1中摆放的三角形的高，一些学生会误认为高的表示就是在三角形内部的一条竖直方向的线段，而将定义中关于高应当从某一个顶点画向对边的限定忽略了。从本质上分析，这个问题的关键并不在于学生忽略和记住了什么，而在于他们更倾向于用概念意象—— “典型实例”（图1的三种图形）来作为概念的代表并以此表示概念。
2.数学概念二重性的混淆
Thompson，Greeno，Hiebert等数学家在上个世纪八十年代就指出，数学内容可以分为过程和概念两类。过程指数学公式、定理、运算法则等操作性的程序，对象指数学中各个研究对象构成的结构关系。近几年中，以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）的研究认为，“数学中的许多概念（尤其代数概念）既可看做是动态操作的过程，又可看做是一种静态的结构关系对象。可以将数学概念兼具的这两种特殊性质称为概念的二重性”。在实际运用时，我们根据需要灵活地变换认识的角度，有时要将某个概念当作有操作步骤的过程，有时又要将它看作一个整体性固定的对象。例如，多项式6a 3可以看成是6与a相乘后再加上3的运算过程，也可以看成是由6、a、3经运算关系组成的一个结构或运算结果，一个代数对象，这时我们已不再强调运算，而是强调它自己本身的一种状态。儿童在实际运用中，往往会忽视数学概念的二重性，因而犯错。就拿简单的等号来说吧，初学方程的时候，这样一个简单的方程，其中的等号不再是一个指示你去做运算的标志，而是表示左右两式的平衡关系。
3.概念联系与概念网络的缺失
R.Skemp指出：“个别的概念一定要融入与其他概念合成的概念结构中才有效用。”“真正的理解一个数学概念是指该概念与已有的知识网络建立了新的联系，形成了崭新的知识网络，这样才可以使学生在概念学习中更多地去思考与之联系的或可能联系的相关知识，从而能更有效地影响后续学习，更有效地从整体上把握数学概念。”目前，我国的数学教学也强调学生的自主探索、发现规律，但实践的效果不是很好。学生依赖于教师将概念教给他们，满足于解决练习本上的习题，没有自己对概念的概括和理解，缺乏从整体上把握概念，也无法形成概念网络，出现概念断层。概念联系与概念网络的缺失使学生背上了装满零散知识的沉重包袱，无法从真正意义上获得概念。
（责编 罗 艳）