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【摘要】 利用１的ｎ次单位根，解决多项式整除中两道典型题，并探索其中的证明思想.
【关键词】 多项式整除 １的ｎ次单位根 证明思想
在多项式整除中，我们经常会用到１的ｎ次单位根去证明的类型题，这类题对于初学者有一定的难度，即使知道１的ｎ次单位根是什么，也不知如何与要证明的题目联系起来，形成不知如何下手的状况. 这些同学通常表现为基础知识欠缺和模糊，接受知识慢，反应迟钝，思维活动不积极等. 更关键的是他们往往把握不好数学证明的客观性与主观性的关系，以及追求验证结论与体会证明过程的关系（假设文中多项式均为数域Ｆ上的多项式）.
１. 在多项式整除中，我们利用“1n = 1的特殊性去实现巧妙的变量代换，从而实现主观与客观的统一.
例１ 证明：如果（ｘ － １） ｜ ｆ（ｘｎ），那么（ｘｎ － １） ｜ ｆ（ｘｎ） ．
证明 因为（ｘ － １） ｜ ｆ（ｘｎ），故可令ｆ（ｘｎ）=（ｘ － １）g（ｘ）， 于是ｆ（１ｎ） = 0，（１）
即ｆ（１） = 0.（２）
（（１） 到（２）正是利用“1n = 1” ）.
由（２）可知ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － １）ｈ（ｘ），那么用xn代替ｘ，有ｆ（ｘｎ） ＝ （ｘｎ－１）ｈ（ｘｎ），从而（ｘｎ － １） ｜ ｆ（ｘｎ）．
如果在证明过程中注意不到（１） 到（２）的过程，仍把１等同于一般变量会使我们进入变量代换的循环状态，而使题目无法得以证明.
故在（１）处我们有的同学是这样做的：
由（１）式，得１为ｆ（ｘｎ） = 0的根，故（x - 1）| ｆ（ｘｎ），这样就回到循环状态.
这样的同学就犯了过分强调数学证明的客观性，把数学证明看做是一个僵化的、机械的、不容变通的过程. 而巧用“1n” = 1”才是我们这道题的关键. 这需要我们在原有知识的基础上发挥主观能动性，诱发新的思考，提出新的思路，获得新的发现.
２. 在多项式整除中，会用１的ｎ次单位根，使得验证结论与证明过程达到有效结合，建构自己对数学证明的理解.
在做题过程中我们大多数同学能考虑到只要证出ｆ１（１） ＝ ０，ｆ２（１） ＝ ０ 即可，但却无法与x2+ x + 1联系起来，不会运用x2 + x + 1的根ｗ１，ｗ2是１的３次单位根，即ｗ= 1,ｗ= 1. 这些知识虽然在课本［１］中未涉及，但我们可以通过一些间接的信息，如α≠β，α｜ｆ（ｘ），β ｜ ｆ（ｘ），则αβ ｜ ｆ（ｘ）． 建立起新旧知识之间的内在联系，阐明数学事实、概念和原理之间的逻辑关系，从而使其将所学的知识系统化，促进自我认知结构的发展和完善.
对于每一位数学学习者与工作者来说，学习数学证明有一个逐步完善的过程，能够体会数学证明是一个错综复杂的活动，不但包含逻辑关系与公理系统，也包含人的知识范围、理解能力等.
【参考文献】
［１］ 北大几何与代数教研室．高等代数（第三版） ［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．
［２］ 刘玉森，苏仲阳．高等代数应试训练（第一版） ［Ｍ］．北京：地质出版社，１９９５．
［３］ 熊惠民， 虞莉娟．从数学证明的二重性看其教育价值［Ｊ］．数学教育学报，２００７，１６（１）： １７－２０．
［４］ 王林全.数学证明教学观念的现代发展［Ｊ］．数学教育学报，１９９８，７（１）９４－９７.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】 多项式整除 １的ｎ次单位根 证明思想
在多项式整除中，我们经常会用到１的ｎ次单位根去证明的类型题，这类题对于初学者有一定的难度，即使知道１的ｎ次单位根是什么，也不知如何与要证明的题目联系起来，形成不知如何下手的状况. 这些同学通常表现为基础知识欠缺和模糊，接受知识慢，反应迟钝，思维活动不积极等. 更关键的是他们往往把握不好数学证明的客观性与主观性的关系，以及追求验证结论与体会证明过程的关系（假设文中多项式均为数域Ｆ上的多项式）.
１. 在多项式整除中，我们利用“1n = 1的特殊性去实现巧妙的变量代换，从而实现主观与客观的统一.
例１ 证明：如果（ｘ － １） ｜ ｆ（ｘｎ），那么（ｘｎ － １） ｜ ｆ（ｘｎ） ．
证明 因为（ｘ － １） ｜ ｆ（ｘｎ），故可令ｆ（ｘｎ）=（ｘ － １）g（ｘ）， 于是ｆ（１ｎ） = 0，（１）
即ｆ（１） = 0.（２）
（（１） 到（２）正是利用“1n = 1” ）.
由（２）可知ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － １）ｈ（ｘ），那么用xn代替ｘ，有ｆ（ｘｎ） ＝ （ｘｎ－１）ｈ（ｘｎ），从而（ｘｎ － １） ｜ ｆ（ｘｎ）．
如果在证明过程中注意不到（１） 到（２）的过程，仍把１等同于一般变量会使我们进入变量代换的循环状态，而使题目无法得以证明.
故在（１）处我们有的同学是这样做的：
由（１）式，得１为ｆ（ｘｎ） = 0的根，故（x - 1）| ｆ（ｘｎ），这样就回到循环状态.
这样的同学就犯了过分强调数学证明的客观性，把数学证明看做是一个僵化的、机械的、不容变通的过程. 而巧用“1n” = 1”才是我们这道题的关键. 这需要我们在原有知识的基础上发挥主观能动性，诱发新的思考，提出新的思路，获得新的发现.
２. 在多项式整除中，会用１的ｎ次单位根，使得验证结论与证明过程达到有效结合，建构自己对数学证明的理解.
在做题过程中我们大多数同学能考虑到只要证出ｆ１（１） ＝ ０，ｆ２（１） ＝ ０ 即可，但却无法与x2+ x + 1联系起来，不会运用x2 + x + 1的根ｗ１，ｗ2是１的３次单位根，即ｗ= 1,ｗ= 1. 这些知识虽然在课本［１］中未涉及，但我们可以通过一些间接的信息，如α≠β，α｜ｆ（ｘ），β ｜ ｆ（ｘ），则αβ ｜ ｆ（ｘ）． 建立起新旧知识之间的内在联系，阐明数学事实、概念和原理之间的逻辑关系，从而使其将所学的知识系统化，促进自我认知结构的发展和完善.
对于每一位数学学习者与工作者来说，学习数学证明有一个逐步完善的过程，能够体会数学证明是一个错综复杂的活动，不但包含逻辑关系与公理系统，也包含人的知识范围、理解能力等.
【参考文献】
［１］ 北大几何与代数教研室．高等代数（第三版） ［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．
［２］ 刘玉森，苏仲阳．高等代数应试训练（第一版） ［Ｍ］．北京：地质出版社，１９９５．
［３］ 熊惠民， 虞莉娟．从数学证明的二重性看其教育价值［Ｊ］．数学教育学报，２００７，１６（１）： １７－２０．
［４］ 王林全.数学证明教学观念的现代发展［Ｊ］．数学教育学报，１９９８，７（１）９４－９７.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”