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【摘 要】函数是中学数学的主轴，教学大纲与考试说明对函数的教学与考查提出了具体要求：即会求函数的周期，或经过简单的恒等变形求出函数的周期。本文就关于周期函数的判断、求解等方面着重作了阐述，供教学时参考。
【关键词】函数 周期函数 最小正周期 复合函数
函数是高中数学教学的主要内容和一条主线，同时也是学习高中数学的重要基础。有关函数的题源十分丰富，涉及的知识面广，解题方法灵活多样，是历年高考命题的一个常考常新的话题。
一、关于周期函数的概念
1.周期函数定义域的特征。
现行高中代数课本中的定义,即“对于函数y=f（x），如果存在一个不等于零的常数T，使得对定义域内任意的自变量x，都有f（x + T）= f（x），那么函数y = f（x）就叫做周期函数，不为零的常数T是它的一个周期。”
根据定义我们可以推得周期函数定义域的特征。从定义容易看出，若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是函数f（x）的周期，进而可知，x属于函数f（x）的定义域，则x + kT（k∈Z）也在其定义域内。由此可以得出：周期函数的定义域是一个无限的数集，在数轴上至少可以向一方无限延伸。
这一性质是周期函数的一个必要条件，利用它可以初步地判断非周期函数。
2.周期函数不一定有最小正周期。
我们知道，对于周期函数f(x)，在它的所有周期中若存在一个最小正数，这个最小正数称为f(x)的最小正周期。教材中还声明：若无特殊说明，求函数周期只求出最小正周期。
但是，周期函数不一定有最小正周期。
对于周期函数有关最小正周期的性质，可以总结如下：
（1）若函数f（x）有最小正周期T，则f（x）的任何周期T′一定是T的整数倍，即存在k（k∈Z, k≠0），使T′=kT。
（2）有正周期的周期函数f（x）如果没有最小正周期,则必有任意小的正周期。
（3）有的常量函数可以不是周期函数，也不能认为凡是常量函数都没有最小正周期。
二、函数的周期性的判断
一般来说，判断函数的周期性是一个比较困难的问题，我们可以利用周期函数的定义域的特征做出初步判断，然后，在应用周期函数的定义加以判断。
若f（x）表示某三角函数，具体来说是sinx、cosx、tgx、ctgx等函数中的某一个，定义域为M，最小正周期为T,那么有如下结论：
1.f（a x+ b）是集合{x| a x + b∈M}上的周期函数，其最小正周期是T/|a|( a, b为常数,且a≠0)。
例如，函数y=A sin（ωx + φ)(A、ω、φ为常数，A≠0, ω>0,x∈R)的最小正周期是2π/ω。
2.f ( x n)、f（xn）(x∈N,且n>1)都不是周期函数。
例如，y=sinx2 ，y=cos（x?） （x∈R）等都不是周期函数。
三、关于求解三角函数最小正周期的问题
我们知道，关于三角函数的最小正周期，现行高中教材已给出了如下结：y=sinx、y=cosx的最小正周期是2π；y=tgx，y=ctgx的最小正周期是π，（其中x应属于各自的定义域），并由此得出，形如y =Asin（ωx+φ）（A、ω、φ为常数，A≠0, ω>0,x∈R）的最小正周期是2π/ω。
求三角函数的最小正周期大致可分为：
1.能根据教材给出的结论直接求周期的比较简单的三角函数。即已知函数是单角单函数（或可以化为单角单函数）如y=sinx+cosx，y=tgx-ctgx等形式的函数，可以先化为形如y=A sin(ωx+φ)的函数，再根据已有结论求出它们的最小正周期。
2.不能根据教材直接求出最小正周期的一些特殊的三角函数，只能根据函数的定义求出其最小正周期。情况如下：
（1）三角函数的复合函数的最小正周期
关于复合函数的周期有如下的命题：对于三角函数的复合函数y=f［g（x）］,如果其中g（x）是以T为周期的三角函数，那么复合函数y=f［g（x）］也是周期函数，而且，T仍是函数y=f［g（x）］的周期，但未必是最小正周期。
（2）含绝对值符号的三角函数的最小正周期
若y=f（x）是最小正周期为T的三角函数，对于函数y=f（x）,因为它也是复合函数，由以上命题可知，T也是y=f（x）的周期，但不一定是最小正周期。
值得注意的是，在某些特殊情况下，y=f（x）的最小正周期会变成T／2，即等于y=f（x）的最小正周期的一半。
从以上分析可知，求某些特殊的不能直接利用教材结论的三角函数的最小正周期，可以先观察得出f（x）的最小正周期T（对于一些特殊而不很复杂的函数来说，这一点不会很难），先验证T是f（x）的周期，然后用反证法证明比T小的任何正数T都不是f（x）的周期，其方法是找一个特殊值x代入等式f（x +T′）=f（x）中，得出矛盾的结果。
（河北迁安市职业技术教育中心；０６４４００）
【关键词】函数 周期函数 最小正周期 复合函数
函数是高中数学教学的主要内容和一条主线，同时也是学习高中数学的重要基础。有关函数的题源十分丰富，涉及的知识面广，解题方法灵活多样，是历年高考命题的一个常考常新的话题。
一、关于周期函数的概念
1.周期函数定义域的特征。
现行高中代数课本中的定义,即“对于函数y=f（x），如果存在一个不等于零的常数T，使得对定义域内任意的自变量x，都有f（x + T）= f（x），那么函数y = f（x）就叫做周期函数，不为零的常数T是它的一个周期。”
根据定义我们可以推得周期函数定义域的特征。从定义容易看出，若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是函数f（x）的周期，进而可知，x属于函数f（x）的定义域，则x + kT（k∈Z）也在其定义域内。由此可以得出：周期函数的定义域是一个无限的数集，在数轴上至少可以向一方无限延伸。
这一性质是周期函数的一个必要条件，利用它可以初步地判断非周期函数。
2.周期函数不一定有最小正周期。
我们知道，对于周期函数f(x)，在它的所有周期中若存在一个最小正数，这个最小正数称为f(x)的最小正周期。教材中还声明：若无特殊说明，求函数周期只求出最小正周期。
但是，周期函数不一定有最小正周期。
对于周期函数有关最小正周期的性质，可以总结如下：
（1）若函数f（x）有最小正周期T，则f（x）的任何周期T′一定是T的整数倍，即存在k（k∈Z, k≠0），使T′=kT。
（2）有正周期的周期函数f（x）如果没有最小正周期,则必有任意小的正周期。
（3）有的常量函数可以不是周期函数，也不能认为凡是常量函数都没有最小正周期。
二、函数的周期性的判断
一般来说，判断函数的周期性是一个比较困难的问题，我们可以利用周期函数的定义域的特征做出初步判断，然后，在应用周期函数的定义加以判断。
若f（x）表示某三角函数，具体来说是sinx、cosx、tgx、ctgx等函数中的某一个，定义域为M，最小正周期为T,那么有如下结论：
1.f（a x+ b）是集合{x| a x + b∈M}上的周期函数，其最小正周期是T/|a|( a, b为常数,且a≠0)。
例如，函数y=A sin（ωx + φ)(A、ω、φ为常数，A≠0, ω>0,x∈R)的最小正周期是2π/ω。
2.f ( x n)、f（xn）(x∈N,且n>1)都不是周期函数。
例如，y=sinx2 ，y=cos（x?） （x∈R）等都不是周期函数。
三、关于求解三角函数最小正周期的问题
我们知道，关于三角函数的最小正周期，现行高中教材已给出了如下结：y=sinx、y=cosx的最小正周期是2π；y=tgx，y=ctgx的最小正周期是π，（其中x应属于各自的定义域），并由此得出，形如y =Asin（ωx+φ）（A、ω、φ为常数，A≠0, ω>0,x∈R）的最小正周期是2π/ω。
求三角函数的最小正周期大致可分为：
1.能根据教材给出的结论直接求周期的比较简单的三角函数。即已知函数是单角单函数（或可以化为单角单函数）如y=sinx+cosx，y=tgx-ctgx等形式的函数，可以先化为形如y=A sin(ωx+φ)的函数，再根据已有结论求出它们的最小正周期。
2.不能根据教材直接求出最小正周期的一些特殊的三角函数，只能根据函数的定义求出其最小正周期。情况如下：
（1）三角函数的复合函数的最小正周期
关于复合函数的周期有如下的命题：对于三角函数的复合函数y=f［g（x）］,如果其中g（x）是以T为周期的三角函数，那么复合函数y=f［g（x）］也是周期函数，而且，T仍是函数y=f［g（x）］的周期，但未必是最小正周期。
（2）含绝对值符号的三角函数的最小正周期
若y=f（x）是最小正周期为T的三角函数，对于函数y=f（x）,因为它也是复合函数，由以上命题可知，T也是y=f（x）的周期，但不一定是最小正周期。
值得注意的是，在某些特殊情况下，y=f（x）的最小正周期会变成T／2，即等于y=f（x）的最小正周期的一半。
从以上分析可知，求某些特殊的不能直接利用教材结论的三角函数的最小正周期，可以先观察得出f（x）的最小正周期T（对于一些特殊而不很复杂的函数来说，这一点不会很难），先验证T是f（x）的周期，然后用反证法证明比T小的任何正数T都不是f（x）的周期，其方法是找一个特殊值x代入等式f（x +T′）=f（x）中，得出矛盾的结果。
（河北迁安市职业技术教育中心；０６４４００）