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【摘 要】随着科学技术的发展，GPS高程测量已经渐渐地取代了传统的控制测量方法。本文对GPS高程测量的原理和方法进行了探讨，建立了高程转换的数学模型，并结合实例，介绍了GPS高程测量技术在水利工程施工测量中的应用，为今后在水利工程测量中推广和应用GPS高程测量技术得出一些有益的结论。
【关键词】GPS高程测量；数学模型；拟合高程；精度
1 高程系统
（1）正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，正高用符号Hg表示。
（2）正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用Hr表示。
（3）大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同一个点，在不同的基准下，具有不同的大地高。
2 GPS测高的原理与方法
采用的高程系统是以重力场定义的似大地水准面为基准面的高程系统。GPS测定的高差是以WGS84椭球为基准面的，获得的是大地高而不是正常高，这就需要将GPS测定的大地高转换为正常高系统。经过GPS网的三维平差，可获得各点的大地高H，如果在GPS点中的一些点上同时进行水准测量可得出这些点的正常高Hr，则这些点的高程异常可按下式求出：
ζ=H-Hr（1）
从式（1）可知，在实际运用中，依据GPS和水准测量共测点所得的高程异常ζ，再根据这些点上的高程异常与坐标的关系，用最小二乘法拟合测区的似大地水准面，在测区内利用拟合出的似大地水准面内插出其他GPS点的高程异常值，从而求出各个未知点的正常高，这就是使用GPS测定高程的基本方法。
3 高程拟合与数学模型
3.1 解析内插法
当GPS点以线状布设时，认为沿线似大地水准面为连续且光滑的一条曲线，在曲线上采用解析方法内插求定待定点的正常高。依据GPS和水准联测重合点的平面坐标和高程异常，拟合出测线方向上的似大地水准面曲线，以求解测线上未知点的高程异常。
3.1.1 多项式曲线拟合法
建立以测线方向为x轴，垂直测线方向为y轴，假设ζ与x间存在的函数关系如下：
（2）
式中：ζi—高程异常；
a0、a1、a2、…am—拟合系数；
xi—测线上重合点的坐标；
m—重合点的个数；
εi—残差。
在Σεi2=min的条件下，求解出拟合系数ai，然后依据xi求出线路上未知点的Hr。多项式曲线拟合法计算简单，但在工程应用中插值点的函数不具备连续性而受到限制。
3.1.2 三次样条曲线拟合法
当测线长，已知点多，ζ变化大时，多项式曲线拟合按Σεi2=min解算的ai误差增大；而且己知点一般不可能布设在线路中线上，往往偏离线路中线数公里之外，这样的GPS数据点实质上并不呈线状，为了避免高次插值的振荡现象和保证插值点上的连续性，通常采用三次样条函数做为拟合模型进行分段拟合。
设过n个已知点，高程异常为ζi和其坐标xi在区间〔xi，xi+1〕（i=1、2、…n-1）上建立三次样条函数关系：
式中：x—待定点坐标；
xi，xi+1—待定点两端的已知坐标；
ζi（xi，xi+1）—一阶差商；
ζi（x，xi，xi+1）—二阶差商。
三次样条曲线实际上是由一段一段的三次多项式曲线拼接而成的连续曲线，在连接点处，不仅保证了曲线函数自身的连续性，而且其一阶导数和二阶导数也是连续的。这样既保留了多项式在表达式的简捷性，又克服了单个多项式不灵活、不稳定、不连续的缺点，所以在长线路测线似大地水准面拟合中得到了应用。
3.2 曲面拟合法
多项式曲面拟合法是GPS高程测量中最常见的几何方法之一，它有平面相关模型、二次曲面模型及三次曲面模型等，通常选取二阶多项式函数，其数学模型为：
式中：ζi—高程异常；
a0、…a5—拟合系数；
xi、yi—平面坐标；
εi—残差。
式（4）表示的二阶函数模型特性仅仅是只有一个凹面或凸面，对于出现多个凹凸面时，此模型拟合的高程异常将出现较大残差，目前主要通过试算法判断是否采用分区曲面拟合方法。所以，曲面拟合法仅适用于高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常近似地看作在一定的范围内各点坐标的曲面函数。
4 工程实例
实例1：某供水工程总干渠全长约90km，整体线路以隧洞连接为主。在洞进、洞出口附近布设了三等水准点，在施测D级GPS平面控制网的同时，尽可能的联测已知水准点，由于测区呈线状结构且每条隧洞轴之间存在着方向上的偏角，为此，采用三次样条曲线拟合法进行了高程拟合，依据表1中参与拟合计算已知点的拟合残差v，进而按 计算GPS高程拟合的内符合精度为μ0=±6.5cm；依据表2中检核点拟合残差，按 计算GPS高程拟合的外符合精度为σ0=±7.7cm。
在本测区拟合检核点距离参与拟合的已知点均在5～8km之间，不妨以5km计算，则按40 mm求定限差为±8.9cm，由GPS高程拟合的外符合精度和校核残差可知，在高山区GPS高程拟合精度基本上达到了五等水准精度要求，完全能够满足线路选线、定测及地形图图根点控制精度。
实例2：某扬水灌区水利工程，灌区东西长约50km，南北宽约9km，区内总面积3.39万hm2，净灌面积3.06万hm2。灌区地形较平坦，东高西低、南高北低，整体向西北倾斜。本测区呈现面状地形，适合于曲面拟合特征，因此采用GPS曲面拟合方法进行未知点高程拟合方法。在测区按四等水准测量技术布设了300多公里长的多环水准线路，在布设E级GPS平面控制网的同时联测了28座水准点。在GPS平差中，选用其中15座水准点作为已知点参与拟合，其他13座水准点作为外部校核点。通过已知点拟合残差，按照 计算得内符合拟合精度为μ0=±2.4cm。
依据外部校核点的残差，按照 计算得外符合拟合精度为σ0=±3.2cm。在本测区拟合检核点距离参与拟合的已知点均在6～7km之间，若以6km计算，则按20 mm求定限差为±4.9cm，由检核点的外符合精度和校核残差可知，拟合精度等价于四等水准的精度，完全能够满足本工程测图控制网的水准精度。
5 结论
利用GPS测量相对高差，其精度一般能达到几厘米及十几厘米，采用适当的方法将GPS高程转化为水准高程并达到一定精度是可行的。考虑到地形地貌和工程需求，合理布设控制网，采用相应的拟合方案和数学模型进行计算，在平缓地区和测区范围不大的区域，如果联测的已知水准点较多，解算的GPS水准高程可以替代四等水准；不加地形改正的情况下，在高原山区一般能达到五等水准精度，完全能够满足工程线路选线、定线及测图的精度要求。
参考文献
[1] 许昌；王超领.GPS高程转换的应用研究[J].北京测绘，2007年02期
[2] 谢劲松.GPS高程测量原理及方法探讨[J].广东科技，2010年04期
【关键词】GPS高程测量；数学模型；拟合高程；精度
1 高程系统
（1）正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，正高用符号Hg表示。
（2）正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用Hr表示。
（3）大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同一个点，在不同的基准下，具有不同的大地高。
2 GPS测高的原理与方法
采用的高程系统是以重力场定义的似大地水准面为基准面的高程系统。GPS测定的高差是以WGS84椭球为基准面的，获得的是大地高而不是正常高，这就需要将GPS测定的大地高转换为正常高系统。经过GPS网的三维平差，可获得各点的大地高H，如果在GPS点中的一些点上同时进行水准测量可得出这些点的正常高Hr，则这些点的高程异常可按下式求出：
ζ=H-Hr（1）
从式（1）可知，在实际运用中，依据GPS和水准测量共测点所得的高程异常ζ，再根据这些点上的高程异常与坐标的关系，用最小二乘法拟合测区的似大地水准面，在测区内利用拟合出的似大地水准面内插出其他GPS点的高程异常值，从而求出各个未知点的正常高，这就是使用GPS测定高程的基本方法。
3 高程拟合与数学模型
3.1 解析内插法
当GPS点以线状布设时，认为沿线似大地水准面为连续且光滑的一条曲线，在曲线上采用解析方法内插求定待定点的正常高。依据GPS和水准联测重合点的平面坐标和高程异常，拟合出测线方向上的似大地水准面曲线，以求解测线上未知点的高程异常。
3.1.1 多项式曲线拟合法
建立以测线方向为x轴，垂直测线方向为y轴，假设ζ与x间存在的函数关系如下：
（2）
式中：ζi—高程异常；
a0、a1、a2、…am—拟合系数；
xi—测线上重合点的坐标；
m—重合点的个数；
εi—残差。
在Σεi2=min的条件下，求解出拟合系数ai，然后依据xi求出线路上未知点的Hr。多项式曲线拟合法计算简单，但在工程应用中插值点的函数不具备连续性而受到限制。
3.1.2 三次样条曲线拟合法
当测线长，已知点多，ζ变化大时，多项式曲线拟合按Σεi2=min解算的ai误差增大；而且己知点一般不可能布设在线路中线上，往往偏离线路中线数公里之外，这样的GPS数据点实质上并不呈线状，为了避免高次插值的振荡现象和保证插值点上的连续性，通常采用三次样条函数做为拟合模型进行分段拟合。
设过n个已知点，高程异常为ζi和其坐标xi在区间〔xi，xi+1〕（i=1、2、…n-1）上建立三次样条函数关系：
式中：x—待定点坐标；
xi，xi+1—待定点两端的已知坐标；
ζi（xi，xi+1）—一阶差商；
ζi（x，xi，xi+1）—二阶差商。
三次样条曲线实际上是由一段一段的三次多项式曲线拼接而成的连续曲线，在连接点处，不仅保证了曲线函数自身的连续性，而且其一阶导数和二阶导数也是连续的。这样既保留了多项式在表达式的简捷性，又克服了单个多项式不灵活、不稳定、不连续的缺点，所以在长线路测线似大地水准面拟合中得到了应用。
3.2 曲面拟合法
多项式曲面拟合法是GPS高程测量中最常见的几何方法之一，它有平面相关模型、二次曲面模型及三次曲面模型等，通常选取二阶多项式函数，其数学模型为：
式中：ζi—高程异常；
a0、…a5—拟合系数；
xi、yi—平面坐标；
εi—残差。
式（4）表示的二阶函数模型特性仅仅是只有一个凹面或凸面，对于出现多个凹凸面时，此模型拟合的高程异常将出现较大残差，目前主要通过试算法判断是否采用分区曲面拟合方法。所以，曲面拟合法仅适用于高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常近似地看作在一定的范围内各点坐标的曲面函数。
4 工程实例
实例1：某供水工程总干渠全长约90km，整体线路以隧洞连接为主。在洞进、洞出口附近布设了三等水准点，在施测D级GPS平面控制网的同时，尽可能的联测已知水准点，由于测区呈线状结构且每条隧洞轴之间存在着方向上的偏角，为此，采用三次样条曲线拟合法进行了高程拟合，依据表1中参与拟合计算已知点的拟合残差v，进而按 计算GPS高程拟合的内符合精度为μ0=±6.5cm；依据表2中检核点拟合残差，按 计算GPS高程拟合的外符合精度为σ0=±7.7cm。
在本测区拟合检核点距离参与拟合的已知点均在5～8km之间，不妨以5km计算，则按40 mm求定限差为±8.9cm，由GPS高程拟合的外符合精度和校核残差可知，在高山区GPS高程拟合精度基本上达到了五等水准精度要求，完全能够满足线路选线、定测及地形图图根点控制精度。
实例2：某扬水灌区水利工程，灌区东西长约50km，南北宽约9km，区内总面积3.39万hm2，净灌面积3.06万hm2。灌区地形较平坦，东高西低、南高北低，整体向西北倾斜。本测区呈现面状地形，适合于曲面拟合特征，因此采用GPS曲面拟合方法进行未知点高程拟合方法。在测区按四等水准测量技术布设了300多公里长的多环水准线路，在布设E级GPS平面控制网的同时联测了28座水准点。在GPS平差中，选用其中15座水准点作为已知点参与拟合，其他13座水准点作为外部校核点。通过已知点拟合残差，按照 计算得内符合拟合精度为μ0=±2.4cm。
依据外部校核点的残差，按照 计算得外符合拟合精度为σ0=±3.2cm。在本测区拟合检核点距离参与拟合的已知点均在6～7km之间，若以6km计算，则按20 mm求定限差为±4.9cm，由检核点的外符合精度和校核残差可知，拟合精度等价于四等水准的精度，完全能够满足本工程测图控制网的水准精度。
5 结论
利用GPS测量相对高差，其精度一般能达到几厘米及十几厘米，采用适当的方法将GPS高程转化为水准高程并达到一定精度是可行的。考虑到地形地貌和工程需求，合理布设控制网，采用相应的拟合方案和数学模型进行计算，在平缓地区和测区范围不大的区域，如果联测的已知水准点较多，解算的GPS水准高程可以替代四等水准；不加地形改正的情况下，在高原山区一般能达到五等水准精度，完全能够满足工程线路选线、定线及测图的精度要求。
参考文献
[1] 许昌；王超领.GPS高程转换的应用研究[J].北京测绘，2007年02期
[2] 谢劲松.GPS高程测量原理及方法探讨[J].广东科技，2010年04期