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摘要:“信号与系统”课程是一门复杂的数学课程,本文主要阐述如何用容易理解的生动教学方式来讲述复杂的数学理论。采用图形、类比等方法阐明信号的分解与合成,时域分析与频域分析,信号与系统的相互作用,时域和频域的倒数关系等,使学生在很短的时间内就能领会该课程的全貌。
关键词:信号与系统;教学方法;时域分析;频域分析
作者简介:郭仁春(1971-),男,辽宁沈阳人,沈阳化工大学信息工程学院,副教授,工学博士,主要研究方向:信号与信息处理;赵立杰(1972-),女,辽宁沈阳人,沈阳化工大学信息工程学院,副教授,工学博士,主要研究方向:自动控制理论及其应用、信号与信息处理。(辽宁 沈阳 110142)
“信号与系统”是信息工程专业的一门基础课程,其理论体系不仅仅是工程技术的一门数学基础,它对自然科学甚至社会科学都有深刻的影响。[1-3]但如果要将其深入浅出地介绍给学生却不是一件容易的事。[4-5]本文结合教学经验提出一些方法以供借鉴。
一、信号与系统的内涵
信号与系统是讲什么的是每个学生的第一个疑问。如果系统就是一个“黑箱”,那么怎样研究这个黑箱呢,黑箱具有哪些特性呢?
研究方法一般有两种,一种是打开黑箱研究结构,另一种是给黑箱加外界作用,观察黑箱所作的反应。这就像要知道一家工厂是做什么的,可以不必进入其内部,只需观察其输入的原料和输出的产品即可。这里可以把工厂看作系统,原料和产品看作输入信号和输出信号(如图1所示)。通过外部观察,就可以知道该工厂是鱼罐头加工厂。
信号与系统的研究方法大体上属于后一种。其中所加的外界作用被称为“输入信号”,而系统所作的反应称为“输出信号”。用更专业一点的术语来说是“激励信号”和“响应信号”。信号与系统简言之就是信号对系统产生作用,以及系统对信号作出的反应。这里激励信号e(t),响应信号r(t)和系统的特征函数h(t),都是时间函数,自变量为时间。信号与系统的作用如图2所示。
二、信号分解和合成的教学方法
理解信号与系统的核心关键是理解“拆分”。在街道上经常能见到许多建筑物上写着一个大大的“拆”字。为活跃课堂气氛,可以在黑板上写一个大大的“拆”字,如图3所示。理解了“拆”字可以说理解了整个课程体系的精义。为什么呢?
1.为何要将信号进行分解
(1)近似计算。如果一个信号能拆成许多项,只取前面的几项,就可以作近似计算。
(2)拆分后形式统一。如t2、sin2t等函数千差万别,拆分成统一的形式,可以更深刻地认识这些函数的内在规律。这样设计系统时就非常方便,只须对一种函数形式设计系统。
(3)分析有用信息,去除无用信息。
2.信号分解方法
(1)信号与向量的类比。向量A可拆成A1+A2,其中A1⊥A2,数学表述为A1·A2=0,同理一个函数f(t)可以拆成f(t)=f1(t)+f2(t),其中f1(t),f2(t)相互正交。数学表述为∫f1(t)·f2(t)=0。当然f(t)可以分解成更多甚至无穷函数之和,f(t)=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)。
向量 函数
A=A1+A2 f(t)=f1(t)+f2(t)
A1⊥A2 f1(t)⊥f2(2)
A1·A2=0(点乘) ∫f1(t)·f2(t)=0(内积)
(2)信号拆分的四种类型。任何信号都可以分解成无数冲击信号之和(如图4所示,也就是时域变换)。
另外三种信号拆分类型分别是傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换,如图5所示。通过图5可以清楚地看出三大变换的内在联系,傅里叶变换是将原函数拆解成等幅振荡的正弦波,拉普拉斯变换是拆解成不等幅振荡的正弦波,而Z变换是对拉普拉斯变换进行抽样得到的。
拉普拉斯变换的自变量是s=σ+jω,当σ=0时就是傅里叶变换,所以傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。Z变换是离散的拉普拉斯变换。可以把拉普拉斯变换看作变换的核心。
其中第一种变换称为信号的时域分析,另外三种变换称为信号的频域分析。时域分析与频域分析可以说是从不同角度观察同一事物的两种方式。
信号的时域分析和频域分析的关系可以用一幅照片的不同分解方式来描述。如图6所示的一幅照片,可以将整幅照片撕裂后再组装。这对应着信号与系统的时域分析,将信号在时间上分段,再进行组合。
另一种方式是将图片分解成红绿蓝三色图像,每幅图像都包含图像的整体信息,这对应信号的频域分析。频域分析的特征是提取信号的全域信息,再进行组合。
对信号进行频域分析总要考虑全局性,通常有一定的限制,这就诞生了以小波变换方式进行的局部频域分析。
3.信号的合成
信号分解之后应当进行合成,即反变换,比较简单,因而信号的拆分是信号与系统的重点内容,应很好地掌握。
三、信号与系统的相互作用
信号与系统的相互作用,如图7所示。
在不同的变换作用下,激励、响应和系统函数之间的关系如下。
r(t)=e(t)*h(t),(*代表卷积)
R(ω)=E(ω)H(ω)
R(s)=E(s)H(s)
Y(z)=X(z)H(z)
其中变换的目的就是把一个复杂的信号分解成无穷个简单函数之和,如傅里叶变换是把信号分解成无数的正弦波,只研究其中一个正弦波与系统作用后产生的响应,就可以知道全体函数的相互作用,只要把这些无穷个响应进行求和即可还原出真实的响应函数,即求响应的反变换。
四、时域空间与变换域空间映射
时域空间与频域空间是相互正交的,时间和频率互为倒数,我们以傅里叶变换为例进行说明,傅里叶变换中周期和频率互为倒数。
ω=或ω∝
相互正交是指时域中的t轴和频域中的ω轴垂直,即t轴 ⊥ω轴。如图8所示。
将图8所示的图旋转90度,如图9所示。频域曲线的每个点实质上并不是一个普通的点,而是对应一个正弦波。将所有正弦波合到一起就是原信号。
拉普拉斯变换的频域为一个平面,平面上每个点对应一个广义上的正弦波,在ω轴上的点对应等幅正弦波,左半平面为衰减正弦波,右半平面为发散正弦波,这样就形成了一种“拉普拉斯森林”似的结构(见图10)。信号在复平面的ω轴或与ω轴平行的某条线上分解。比如在σ=σ0线上将所有的波合成就得到原信号。
信号与系统的知识具有普遍性。其中时间和频率互为倒数关系,可以使人们以另一种角度来观察自然界。没有必要把自变量仅局限于时间和频率,可以替换成其他任何量。如距离和距离的倒数,就可以组成一对关系。
在晶体物理中,晶格结构是空间点阵结构,如果晶格常数是a,那么a,2a,3a,……组成正格子空间,,,,……就组成了一个倒格子空间。
当用X射线进行晶体结构分析时所形成的斑点,正好对应着晶体的倒格子空间,这样无法观察的物质微观结构,可以通过分析它的倒格子空间来进行研究。X衍射斑点与晶体结构实质上就是傅里叶变换。
五、结论
信号可以拆解成无数信号的叠加,这些信号通常是一组正交函数,在量子力学中对应的就是态的叠加。“量子”本义是不连序的,就是一份一份的,包括位移、动量、能量、时间、自旋等都是不连续的,这种不连续与信号分析中的离散频谱是等价的。
信号可以进行分解、传输、异地还原。那么是否可以采用这种方式进行实物分解呢?比如一台机器可以分解成许多零件,再运输重组。可否先将机器分解为类似傅里叶变换的全息信息,然后瞬间以光束传输到远处,再进行反变换重组呢?或者原机器不动,进行远程复制等。这些带有科幻色彩的观点,却有着坚实的傅里叶变换数学基础,具有数学可行性。虽然超时空转换在目前还不能成为现实,但超时空旅行以及复制太空战士却成了科幻作品的主角。
在教科书中有这样的观点,如“负频率在物理上是不能实现的,引入负频率仅是数学上的表述方便”,“因果系统在物理上是不可行的”等等。在数学中可行,在现实世界中好像不可行的事物有可能是人们的局限性所致,可能背后隐藏着更深的未知奥秘。信号与系统是一门基础的自然科学,它为我们研究客观世界提供了强大的数学分析工具,其中所蕴含的许多结论是打开自然之门的钥匙。
参考文献:
[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[2]陈后金,胡健,薛健.信号与系统[M].北京:清华大学出版社,北方交通大学出版社,2003.
[3]吴大正,杨林耀,张永瑞.信号与线性系统分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998.
[4]陈后金,胡健,薛健,郝晓莉,钱满义,高海林.信号处理系列课程的改革与探索[J].中国大学教学,2008,(9):36-39.
[5]孙贵根,刘敏华,吴桂峰.以一条主线两个重点贯串“信号与系统”课程教学[J].电气电子教学学报,2005,27(1):13-20.
(责任编辑:麻剑飞)
关键词:信号与系统;教学方法;时域分析;频域分析
作者简介:郭仁春(1971-),男,辽宁沈阳人,沈阳化工大学信息工程学院,副教授,工学博士,主要研究方向:信号与信息处理;赵立杰(1972-),女,辽宁沈阳人,沈阳化工大学信息工程学院,副教授,工学博士,主要研究方向:自动控制理论及其应用、信号与信息处理。(辽宁 沈阳 110142)
“信号与系统”是信息工程专业的一门基础课程,其理论体系不仅仅是工程技术的一门数学基础,它对自然科学甚至社会科学都有深刻的影响。[1-3]但如果要将其深入浅出地介绍给学生却不是一件容易的事。[4-5]本文结合教学经验提出一些方法以供借鉴。
一、信号与系统的内涵
信号与系统是讲什么的是每个学生的第一个疑问。如果系统就是一个“黑箱”,那么怎样研究这个黑箱呢,黑箱具有哪些特性呢?
研究方法一般有两种,一种是打开黑箱研究结构,另一种是给黑箱加外界作用,观察黑箱所作的反应。这就像要知道一家工厂是做什么的,可以不必进入其内部,只需观察其输入的原料和输出的产品即可。这里可以把工厂看作系统,原料和产品看作输入信号和输出信号(如图1所示)。通过外部观察,就可以知道该工厂是鱼罐头加工厂。
信号与系统的研究方法大体上属于后一种。其中所加的外界作用被称为“输入信号”,而系统所作的反应称为“输出信号”。用更专业一点的术语来说是“激励信号”和“响应信号”。信号与系统简言之就是信号对系统产生作用,以及系统对信号作出的反应。这里激励信号e(t),响应信号r(t)和系统的特征函数h(t),都是时间函数,自变量为时间。信号与系统的作用如图2所示。
二、信号分解和合成的教学方法
理解信号与系统的核心关键是理解“拆分”。在街道上经常能见到许多建筑物上写着一个大大的“拆”字。为活跃课堂气氛,可以在黑板上写一个大大的“拆”字,如图3所示。理解了“拆”字可以说理解了整个课程体系的精义。为什么呢?
1.为何要将信号进行分解
(1)近似计算。如果一个信号能拆成许多项,只取前面的几项,就可以作近似计算。
(2)拆分后形式统一。如t2、sin2t等函数千差万别,拆分成统一的形式,可以更深刻地认识这些函数的内在规律。这样设计系统时就非常方便,只须对一种函数形式设计系统。
(3)分析有用信息,去除无用信息。
2.信号分解方法
(1)信号与向量的类比。向量A可拆成A1+A2,其中A1⊥A2,数学表述为A1·A2=0,同理一个函数f(t)可以拆成f(t)=f1(t)+f2(t),其中f1(t),f2(t)相互正交。数学表述为∫f1(t)·f2(t)=0。当然f(t)可以分解成更多甚至无穷函数之和,f(t)=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)。
向量 函数
A=A1+A2 f(t)=f1(t)+f2(t)
A1⊥A2 f1(t)⊥f2(2)
A1·A2=0(点乘) ∫f1(t)·f2(t)=0(内积)
(2)信号拆分的四种类型。任何信号都可以分解成无数冲击信号之和(如图4所示,也就是时域变换)。
另外三种信号拆分类型分别是傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换,如图5所示。通过图5可以清楚地看出三大变换的内在联系,傅里叶变换是将原函数拆解成等幅振荡的正弦波,拉普拉斯变换是拆解成不等幅振荡的正弦波,而Z变换是对拉普拉斯变换进行抽样得到的。
拉普拉斯变换的自变量是s=σ+jω,当σ=0时就是傅里叶变换,所以傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。Z变换是离散的拉普拉斯变换。可以把拉普拉斯变换看作变换的核心。
其中第一种变换称为信号的时域分析,另外三种变换称为信号的频域分析。时域分析与频域分析可以说是从不同角度观察同一事物的两种方式。
信号的时域分析和频域分析的关系可以用一幅照片的不同分解方式来描述。如图6所示的一幅照片,可以将整幅照片撕裂后再组装。这对应着信号与系统的时域分析,将信号在时间上分段,再进行组合。
另一种方式是将图片分解成红绿蓝三色图像,每幅图像都包含图像的整体信息,这对应信号的频域分析。频域分析的特征是提取信号的全域信息,再进行组合。
对信号进行频域分析总要考虑全局性,通常有一定的限制,这就诞生了以小波变换方式进行的局部频域分析。
3.信号的合成
信号分解之后应当进行合成,即反变换,比较简单,因而信号的拆分是信号与系统的重点内容,应很好地掌握。
三、信号与系统的相互作用
信号与系统的相互作用,如图7所示。
在不同的变换作用下,激励、响应和系统函数之间的关系如下。
r(t)=e(t)*h(t),(*代表卷积)
R(ω)=E(ω)H(ω)
R(s)=E(s)H(s)
Y(z)=X(z)H(z)
其中变换的目的就是把一个复杂的信号分解成无穷个简单函数之和,如傅里叶变换是把信号分解成无数的正弦波,只研究其中一个正弦波与系统作用后产生的响应,就可以知道全体函数的相互作用,只要把这些无穷个响应进行求和即可还原出真实的响应函数,即求响应的反变换。
四、时域空间与变换域空间映射
时域空间与频域空间是相互正交的,时间和频率互为倒数,我们以傅里叶变换为例进行说明,傅里叶变换中周期和频率互为倒数。
ω=或ω∝
相互正交是指时域中的t轴和频域中的ω轴垂直,即t轴 ⊥ω轴。如图8所示。
将图8所示的图旋转90度,如图9所示。频域曲线的每个点实质上并不是一个普通的点,而是对应一个正弦波。将所有正弦波合到一起就是原信号。
拉普拉斯变换的频域为一个平面,平面上每个点对应一个广义上的正弦波,在ω轴上的点对应等幅正弦波,左半平面为衰减正弦波,右半平面为发散正弦波,这样就形成了一种“拉普拉斯森林”似的结构(见图10)。信号在复平面的ω轴或与ω轴平行的某条线上分解。比如在σ=σ0线上将所有的波合成就得到原信号。
信号与系统的知识具有普遍性。其中时间和频率互为倒数关系,可以使人们以另一种角度来观察自然界。没有必要把自变量仅局限于时间和频率,可以替换成其他任何量。如距离和距离的倒数,就可以组成一对关系。
在晶体物理中,晶格结构是空间点阵结构,如果晶格常数是a,那么a,2a,3a,……组成正格子空间,,,,……就组成了一个倒格子空间。
当用X射线进行晶体结构分析时所形成的斑点,正好对应着晶体的倒格子空间,这样无法观察的物质微观结构,可以通过分析它的倒格子空间来进行研究。X衍射斑点与晶体结构实质上就是傅里叶变换。
五、结论
信号可以拆解成无数信号的叠加,这些信号通常是一组正交函数,在量子力学中对应的就是态的叠加。“量子”本义是不连序的,就是一份一份的,包括位移、动量、能量、时间、自旋等都是不连续的,这种不连续与信号分析中的离散频谱是等价的。
信号可以进行分解、传输、异地还原。那么是否可以采用这种方式进行实物分解呢?比如一台机器可以分解成许多零件,再运输重组。可否先将机器分解为类似傅里叶变换的全息信息,然后瞬间以光束传输到远处,再进行反变换重组呢?或者原机器不动,进行远程复制等。这些带有科幻色彩的观点,却有着坚实的傅里叶变换数学基础,具有数学可行性。虽然超时空转换在目前还不能成为现实,但超时空旅行以及复制太空战士却成了科幻作品的主角。
在教科书中有这样的观点,如“负频率在物理上是不能实现的,引入负频率仅是数学上的表述方便”,“因果系统在物理上是不可行的”等等。在数学中可行,在现实世界中好像不可行的事物有可能是人们的局限性所致,可能背后隐藏着更深的未知奥秘。信号与系统是一门基础的自然科学,它为我们研究客观世界提供了强大的数学分析工具,其中所蕴含的许多结论是打开自然之门的钥匙。
参考文献:
[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[2]陈后金,胡健,薛健.信号与系统[M].北京:清华大学出版社,北方交通大学出版社,2003.
[3]吴大正,杨林耀,张永瑞.信号与线性系统分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998.
[4]陈后金,胡健,薛健,郝晓莉,钱满义,高海林.信号处理系列课程的改革与探索[J].中国大学教学,2008,(9):36-39.
[5]孙贵根,刘敏华,吴桂峰.以一条主线两个重点贯串“信号与系统”课程教学[J].电气电子教学学报,2005,27(1):13-20.
(责任编辑:麻剑飞)