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【关键词】练习题？摇思考？摇 探索
【中图分类号】G ？摇【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）01A-
0086-03
人教版数学六年级下册第二单元，在学习了圆柱的体积计算以后，在练习三中编排了这样一道题目：明明家里来了两位小客人，妈妈冲了800ml果汁。如果用下图中的玻璃杯喝果汁，明明和客人每人一杯够吗？
通过计算，三只杯子的总容量为932.58ml，因为800ml<932.58ml，得出结论：明明和客人每人一杯不够。这个看似简单的解题过程和明确的结论，却不止一次地引发了笔者的思考。
思考一：该题以生活素材呈现，那么反观现实中遇到此种状况，到底够不够倒三杯呢？计算800÷3≈267ml，每个杯子的容积为310.86ml，两数相比的比值约为0.86。也就是说，800ml果汁平均倒入3个杯子，约能装满每个杯子总容积的86%，这是一个非常符合生活实际的结果。照此理解，题目中妈妈冲的800ml果汁分给明明和两位客人每人一杯应该是够的。
思考二：结合下文例6的问题设计，笔者尝试着将“明明和客人每人一杯够吗”这一问题进行如下解读：①800ml果汁能不能装满三个杯子？②这三个杯子能不能装下800ml的果汁？
照此思路，如果是第一个问题，结果是800ml果汁不能装满三个杯子，但是在第二个问题中显然这三个杯子又是可以装下800ml果汁的，这是“果汁<总容积”情况下得出的结论。假设“果汁>总容积”，妈妈泡的果汁有1000ml，那么问题1的结果是1000ml果汁能装满三个杯子，问题2则三个杯子不能装下1000ml的果汁。恰恰相反！这一过程可以用下图来表示：
思考三：假如以800ml果汁能够倒满三个杯子这一结论为前提，如果妈妈冲的果汁只有600ml……300ml……1ml……呢？按照理解，只要妈妈冲了果汁（也包括大于三个杯子总容积的情况），分给明明和客人每人一杯都是够的。那么问题本身还有什么意义？
总结起来看，问题“明明和客人每人一杯够吗”？如果不够，有悖常理，而这个题目本身就来源于生活实际；如果结论是够了，将会导致这个问题没有任何实际意义；如果从问题本身去分析，那么两种理解又会导致完全不同的两种结果。对于此种现状，笔者尝试着从以下几个问题入手进行剖析。
（1）是问题的不严谨导致理解的歧义？站在教师的角度，在遇上这样的困惑时第一反应是归结于题目本身的问题。也就是说“明明和客人每人一杯够吗”这一问题容易使人产生歧义。
联系P20例题6（如下图），同样是以生活实际呈现，但是问题是这样表述的：下面这个杯子能不能装下这袋奶？（杯子的数据是从里面测量得到的）通过计算杯子的容积是502.4ml，大于498ml，所以这个杯子能装下这袋奶。表述严密，结论正确。
再看习题中“明明和客人每人一杯够吗”这一问题，如果站在“不够”的结论上思考，此问题的表达也不存在任何逻辑错误。那么，思考二中对问题的疑意从何而生呢？在深入研题并结合题意分析后得出：该问题应该理解为妈妈泡的800ml果汁能不能倒满三个杯子。而第二种理解“三个杯子能不能装下果汁”在笔者认为似乎有“偷换概念”的嫌疑。
（2）是生活实际与数学情境的脱节？在数学情境中，这个问题的结论是“不够”，在生活实际中，得出的结论是“够了”，存在矛盾。数学贴近于学生的生活实际是新课程标准的基本理念，但是在上述矛盾中，究竟该以什么作为标准呢？姑且换一种思路作如下解读：数学要联系生活实际，但并不是唯生活实际是从。应该允许“纯数学”的形态存在，在这个范畴中，情境、生活实际都可以并且只作为模拟与虚设。
行文至此，一个低年级数学教师对该题的理解引起了笔者的注意：如果这个问题放在低年级的孩子中来教学，那我们师生一定会得出一致的结论是“够的”。因为解决问题本来就是解决生活实际中的一些问题，在“够”与“不够”的争论中若以“客观实际”为准绳，问题的结论则显而易见了。
又是一组矛盾——低年级认为的“够”与高年级结论的“不够”。对于这个问题，或许可以从新课程标准提出的不同学段教学建议中找到答案：第一学段（1～3年级）让学生在生动具体的情境中学习数学，重在激发学生学习的兴趣；第二学段（4～6年级）让学生在现实情境中体验和理解数学。也可以这么说：低年级的学生以形象思维为主，而高年级学生已具备初步的逻辑思维能力，这一区别造成了对同一题目可能存在的不同理解。
（3）如何在教学中妥善处理这一问题？显而易见，针对该习题的所有思考最终指向教师的教学实际。对待这些多想一步就可能产生不同理解的题目，避而不谈坚持“一刀切”直接得出“不够”的结论显然有欠妥之处。或者纯粹作为一题作业，极少数的学生在完成后得出了相反的结论，教师又该作何处理？如果判“错”，以怎样的解释去说服学生可能已经固有的理解呢？如果判“对”，则自然而然地导致了模棱两可的现象。
课堂实践与体会：
结合数学课程标准第二学段教学建议：要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在数学活动中逐步体会知识的产生、形成与发展的过程。笔者在该题的教学中进行了如下尝试：
【教学片段】人教版六年级数学下册P22习题9。
（环节1）出示习题，学生计算、比较、得出结论（过程略）。
提问：明明和客人每人一杯够吗？（绝大部分学生根据计算得出“不够”）
师：请大家联系生活实际再次思考，你会有怎样的发现？
部分学生（小声的）：每人一杯应该够了；好像够了？！
（环节2）师：我们来回顾一下这个题目（出示例题6）。
学生观察思考之后提问：谁能用这样的方式来表述一下这个题目的问题？ 生1：这三个杯子能不能装下800ml果汁？
师：能不能？为什么？
生2：能，因为杯子的总容积932.58ml>800ml。
师：那么你得出不够的结论时是怎样理解题目中的问题的呢？
生3：800ml果汁能不能倒满三个杯子。
师：在现实生活中，可不可能将杯子完全倒满？（生：不可能）课前老师进行了计算，800ml果汁平均分约能倒满一个杯子86%，（实物演示）感知得出：这是一个非常符合常理的结果。
师：在题目中我们得出了“不够”的结论，但是在生活实际中却是“够的”，并且非常合理。针对这一状况，谁来说说自己的理解？
生4：我认为最终的结论是“不够”，题目中根据计算的结果去比较再得出结论没有问题。
生5：是问题本身出现了问题吧？因为有两个不同的角度可以去理解了。
师：假设妈妈冲的果汁有1000ml，我们再来看这两个问题，1000ml果汁能不能倒满这三个杯子？（能）那么，这三个杯子能不能装下1000ml果汁呢？（不能）（整个讲解过程逐步形成上文思考二的板书）
（学生较长时间地陷入了“怎么会产生这种结论”的思考）
师：针对这一现象，你认为该题的最终解决应该选择哪一个问题？请结合题目的意思加以思考。
（全体学生读题并思考）
师：谁来说说自己的理解？
生6：我认为，从题目的意思来看应该是800ml果汁能不能倒满三个杯子。
师：是这样理解问题的同学请举手。（约70%的学生）（小结）在解决问题中，对问题的理解直接关系到最终结论的得出，而分析问题要尽可能的结合题意。
（环节3）师：但是，大家发现了吗？“到底够不够”这一矛盾并没有得以解决。也就是：数学中理解的“不够”和生活中的“够”。
生：（若有所思）（轻声地交流）是啊……
师：但是解决问题的指向已经越来越明朗。谁能来说说自己的见解？
生7：应该是数学和生活理解的标准不同吧。
师：非常好。那么在这两种不同标准的理解中，你更倾向于用哪一个标准来用于这个问题的最终结论的得出呢？我给大家几分钟时间的思考。（学生思考）
师：统计一下，认为“不够”的同学请举手（约占全班65%的学生），认为“够”了的同学（约占全班25%）。（另有10%的学生仍然沉浸在思考中没来得及得出结论）
（环节4）师：大家想过吗？如果按照生活中的理解得出结论是每人一杯“够”了，那么妈妈泡的果汁是600ml呢？每人一杯？（也够）200ml呢？1ml呢？往大了假设，每人一杯必然是够的。就会得出这样的结论：只要妈妈泡了果汁，每人一杯都是够的？（学生思考）
师追问：那么问题本身还有什么意义呢？
生：（愕然）……
师小结：这个题目的最终结论由同学们自己去得出，在作业中按照个人的理解和思考去完成，也可以把理由写下来。
【设计意图】（环节1）是问题的呈现；（环节2）是对思考二的理解并结合上文“是问题的不严谨导致理解的歧义”进行教学，最终引导得出应该用第一种方式去理解该问题，同时强调了分析题意的重要性；（环节3）再次设疑，但是以前面的讨论作为基础问题解决的指向趋于明显，给学生足够的思考时间，让他们用自己的理解去判断并得出结论；（环节4）是结合思考3的拓展，仔细去分析，如果站在生活实际中“够”的结论上思考，则假设的问题中妈妈冲的果汁应该符合“平均分约能倒满一个杯子86%”作为前提，这样一来，对于其他数据的假设实际上是把生活实际的问题又纳入到数学情境中去思考了。
在数学课堂教学中，教师经常会有这样的担心：有些题目讲不清楚或者讲不透。教师的理解尚且如此，学生的反应可想而知。因而，这类问题往往会成为教师的“心结”、学生的“死结”。换个方式去思考，其实知识是有其特有的“生命力”的，这种生命力一方面体现为渗透，另一方面体现为生长。上述教学实践中，用足够的时间，把能想到的所有问题和可能都呈现给学生。不必奢求每个学生都能理解这当中的全部问题，相对于教学实践中学生经历的思考、探索的整个过程，最终结论的意义还会显得那么重要吗？
作业反馈后记：所任教班级46名学生，该题圆柱的体积计算部分准确率为97.8%；结论为“不够”的约占67.4%，结论为“够”的约占32.6%；约43.5%的学生在得出结论后写下自己的理解，部分摘录如下：①我认为够了，因为题目中又没说果汁一定要装满杯子。②不够。如果不以装满为标准，那么800ml只能装每个杯子的86%就不符合题目要求了，按照数学的理解杯的容量大于果汁那肯定不会装满，所以不够。③不够。800ml虽然能平均分三份倒入3个同样的杯子，但却装不满，生活实际当中不倒满可以说成是一杯，数学理解中却只能表示成几分之几杯。④我认为这个问题在数学中理解应该是不够，但是在生活实际中是够了，主要以杯子是否倒满为标准。⑤在生活实际中理解为“够”了，那么老师的最后一个问题（指环节4，笔者注），泡1ml也是不符合生活实际的。
可见，只要教师引导得当，学生的思维是积极主动的。
【中图分类号】G ？摇【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）01A-
0086-03
人教版数学六年级下册第二单元，在学习了圆柱的体积计算以后，在练习三中编排了这样一道题目：明明家里来了两位小客人，妈妈冲了800ml果汁。如果用下图中的玻璃杯喝果汁，明明和客人每人一杯够吗？
通过计算，三只杯子的总容量为932.58ml，因为800ml<932.58ml，得出结论：明明和客人每人一杯不够。这个看似简单的解题过程和明确的结论，却不止一次地引发了笔者的思考。
思考一：该题以生活素材呈现，那么反观现实中遇到此种状况，到底够不够倒三杯呢？计算800÷3≈267ml，每个杯子的容积为310.86ml，两数相比的比值约为0.86。也就是说，800ml果汁平均倒入3个杯子，约能装满每个杯子总容积的86%，这是一个非常符合生活实际的结果。照此理解，题目中妈妈冲的800ml果汁分给明明和两位客人每人一杯应该是够的。
思考二：结合下文例6的问题设计，笔者尝试着将“明明和客人每人一杯够吗”这一问题进行如下解读：①800ml果汁能不能装满三个杯子？②这三个杯子能不能装下800ml的果汁？
照此思路，如果是第一个问题，结果是800ml果汁不能装满三个杯子，但是在第二个问题中显然这三个杯子又是可以装下800ml果汁的，这是“果汁<总容积”情况下得出的结论。假设“果汁>总容积”，妈妈泡的果汁有1000ml，那么问题1的结果是1000ml果汁能装满三个杯子，问题2则三个杯子不能装下1000ml的果汁。恰恰相反！这一过程可以用下图来表示：
思考三：假如以800ml果汁能够倒满三个杯子这一结论为前提，如果妈妈冲的果汁只有600ml……300ml……1ml……呢？按照理解，只要妈妈冲了果汁（也包括大于三个杯子总容积的情况），分给明明和客人每人一杯都是够的。那么问题本身还有什么意义？
总结起来看，问题“明明和客人每人一杯够吗”？如果不够，有悖常理，而这个题目本身就来源于生活实际；如果结论是够了，将会导致这个问题没有任何实际意义；如果从问题本身去分析，那么两种理解又会导致完全不同的两种结果。对于此种现状，笔者尝试着从以下几个问题入手进行剖析。
（1）是问题的不严谨导致理解的歧义？站在教师的角度，在遇上这样的困惑时第一反应是归结于题目本身的问题。也就是说“明明和客人每人一杯够吗”这一问题容易使人产生歧义。
联系P20例题6（如下图），同样是以生活实际呈现，但是问题是这样表述的：下面这个杯子能不能装下这袋奶？（杯子的数据是从里面测量得到的）通过计算杯子的容积是502.4ml，大于498ml，所以这个杯子能装下这袋奶。表述严密，结论正确。
再看习题中“明明和客人每人一杯够吗”这一问题，如果站在“不够”的结论上思考，此问题的表达也不存在任何逻辑错误。那么，思考二中对问题的疑意从何而生呢？在深入研题并结合题意分析后得出：该问题应该理解为妈妈泡的800ml果汁能不能倒满三个杯子。而第二种理解“三个杯子能不能装下果汁”在笔者认为似乎有“偷换概念”的嫌疑。
（2）是生活实际与数学情境的脱节？在数学情境中，这个问题的结论是“不够”，在生活实际中，得出的结论是“够了”，存在矛盾。数学贴近于学生的生活实际是新课程标准的基本理念，但是在上述矛盾中，究竟该以什么作为标准呢？姑且换一种思路作如下解读：数学要联系生活实际，但并不是唯生活实际是从。应该允许“纯数学”的形态存在，在这个范畴中，情境、生活实际都可以并且只作为模拟与虚设。
行文至此，一个低年级数学教师对该题的理解引起了笔者的注意：如果这个问题放在低年级的孩子中来教学，那我们师生一定会得出一致的结论是“够的”。因为解决问题本来就是解决生活实际中的一些问题，在“够”与“不够”的争论中若以“客观实际”为准绳，问题的结论则显而易见了。
又是一组矛盾——低年级认为的“够”与高年级结论的“不够”。对于这个问题，或许可以从新课程标准提出的不同学段教学建议中找到答案：第一学段（1～3年级）让学生在生动具体的情境中学习数学，重在激发学生学习的兴趣；第二学段（4～6年级）让学生在现实情境中体验和理解数学。也可以这么说：低年级的学生以形象思维为主，而高年级学生已具备初步的逻辑思维能力，这一区别造成了对同一题目可能存在的不同理解。
（3）如何在教学中妥善处理这一问题？显而易见，针对该习题的所有思考最终指向教师的教学实际。对待这些多想一步就可能产生不同理解的题目，避而不谈坚持“一刀切”直接得出“不够”的结论显然有欠妥之处。或者纯粹作为一题作业，极少数的学生在完成后得出了相反的结论，教师又该作何处理？如果判“错”，以怎样的解释去说服学生可能已经固有的理解呢？如果判“对”，则自然而然地导致了模棱两可的现象。
课堂实践与体会：
结合数学课程标准第二学段教学建议：要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在数学活动中逐步体会知识的产生、形成与发展的过程。笔者在该题的教学中进行了如下尝试：
【教学片段】人教版六年级数学下册P22习题9。
（环节1）出示习题，学生计算、比较、得出结论（过程略）。
提问：明明和客人每人一杯够吗？（绝大部分学生根据计算得出“不够”）
师：请大家联系生活实际再次思考，你会有怎样的发现？
部分学生（小声的）：每人一杯应该够了；好像够了？！
（环节2）师：我们来回顾一下这个题目（出示例题6）。
学生观察思考之后提问：谁能用这样的方式来表述一下这个题目的问题？ 生1：这三个杯子能不能装下800ml果汁？
师：能不能？为什么？
生2：能，因为杯子的总容积932.58ml>800ml。
师：那么你得出不够的结论时是怎样理解题目中的问题的呢？
生3：800ml果汁能不能倒满三个杯子。
师：在现实生活中，可不可能将杯子完全倒满？（生：不可能）课前老师进行了计算，800ml果汁平均分约能倒满一个杯子86%，（实物演示）感知得出：这是一个非常符合常理的结果。
师：在题目中我们得出了“不够”的结论，但是在生活实际中却是“够的”，并且非常合理。针对这一状况，谁来说说自己的理解？
生4：我认为最终的结论是“不够”，题目中根据计算的结果去比较再得出结论没有问题。
生5：是问题本身出现了问题吧？因为有两个不同的角度可以去理解了。
师：假设妈妈冲的果汁有1000ml，我们再来看这两个问题，1000ml果汁能不能倒满这三个杯子？（能）那么，这三个杯子能不能装下1000ml果汁呢？（不能）（整个讲解过程逐步形成上文思考二的板书）
（学生较长时间地陷入了“怎么会产生这种结论”的思考）
师：针对这一现象，你认为该题的最终解决应该选择哪一个问题？请结合题目的意思加以思考。
（全体学生读题并思考）
师：谁来说说自己的理解？
生6：我认为，从题目的意思来看应该是800ml果汁能不能倒满三个杯子。
师：是这样理解问题的同学请举手。（约70%的学生）（小结）在解决问题中，对问题的理解直接关系到最终结论的得出，而分析问题要尽可能的结合题意。
（环节3）师：但是，大家发现了吗？“到底够不够”这一矛盾并没有得以解决。也就是：数学中理解的“不够”和生活中的“够”。
生：（若有所思）（轻声地交流）是啊……
师：但是解决问题的指向已经越来越明朗。谁能来说说自己的见解？
生7：应该是数学和生活理解的标准不同吧。
师：非常好。那么在这两种不同标准的理解中，你更倾向于用哪一个标准来用于这个问题的最终结论的得出呢？我给大家几分钟时间的思考。（学生思考）
师：统计一下，认为“不够”的同学请举手（约占全班65%的学生），认为“够”了的同学（约占全班25%）。（另有10%的学生仍然沉浸在思考中没来得及得出结论）
（环节4）师：大家想过吗？如果按照生活中的理解得出结论是每人一杯“够”了，那么妈妈泡的果汁是600ml呢？每人一杯？（也够）200ml呢？1ml呢？往大了假设，每人一杯必然是够的。就会得出这样的结论：只要妈妈泡了果汁，每人一杯都是够的？（学生思考）
师追问：那么问题本身还有什么意义呢？
生：（愕然）……
师小结：这个题目的最终结论由同学们自己去得出，在作业中按照个人的理解和思考去完成，也可以把理由写下来。
【设计意图】（环节1）是问题的呈现；（环节2）是对思考二的理解并结合上文“是问题的不严谨导致理解的歧义”进行教学，最终引导得出应该用第一种方式去理解该问题，同时强调了分析题意的重要性；（环节3）再次设疑，但是以前面的讨论作为基础问题解决的指向趋于明显，给学生足够的思考时间，让他们用自己的理解去判断并得出结论；（环节4）是结合思考3的拓展，仔细去分析，如果站在生活实际中“够”的结论上思考，则假设的问题中妈妈冲的果汁应该符合“平均分约能倒满一个杯子86%”作为前提，这样一来，对于其他数据的假设实际上是把生活实际的问题又纳入到数学情境中去思考了。
在数学课堂教学中，教师经常会有这样的担心：有些题目讲不清楚或者讲不透。教师的理解尚且如此，学生的反应可想而知。因而，这类问题往往会成为教师的“心结”、学生的“死结”。换个方式去思考，其实知识是有其特有的“生命力”的，这种生命力一方面体现为渗透，另一方面体现为生长。上述教学实践中，用足够的时间，把能想到的所有问题和可能都呈现给学生。不必奢求每个学生都能理解这当中的全部问题，相对于教学实践中学生经历的思考、探索的整个过程，最终结论的意义还会显得那么重要吗？
作业反馈后记：所任教班级46名学生，该题圆柱的体积计算部分准确率为97.8%；结论为“不够”的约占67.4%，结论为“够”的约占32.6%；约43.5%的学生在得出结论后写下自己的理解，部分摘录如下：①我认为够了，因为题目中又没说果汁一定要装满杯子。②不够。如果不以装满为标准，那么800ml只能装每个杯子的86%就不符合题目要求了，按照数学的理解杯的容量大于果汁那肯定不会装满，所以不够。③不够。800ml虽然能平均分三份倒入3个同样的杯子，但却装不满，生活实际当中不倒满可以说成是一杯，数学理解中却只能表示成几分之几杯。④我认为这个问题在数学中理解应该是不够，但是在生活实际中是够了，主要以杯子是否倒满为标准。⑤在生活实际中理解为“够”了，那么老师的最后一个问题（指环节4，笔者注），泡1ml也是不符合生活实际的。
可见，只要教师引导得当，学生的思维是积极主动的。