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（乌鲁木齐市第五十中学 新疆 乌鲁木齐 830000）
在学生已经学完三角形的内角和，对三角形的问题有了一定的认识基础上，探索多边形相关知识，是对三角形认识的一种升华，也是学生学习方法的一种实践。从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。整个探索过程强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。
1. 多边形内角和的证明方法 探索多边形内角和运用类推的方法，以三角形知识为基础，推导、归纳出四边形、五边形，……，n边形的内角和。
方法一：如图1：在四边形ABCD中，从某一顶点出发，连接对角线AC，把四边形分割成2个三角形，那么四边形的内角和是2×180°=360°。同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法二：如图2，在四边形ABCD中，过一边上任一点（除顶点）E，连接AE，DE，把四边形分割成3个三角形，而∠BEC=180°，四边形内角和为3×180°-180°=360°，同理可得，五邊形内角和为4×180°-180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法三：如图3，在四边形ABCD中，过四边形内任一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分割成4个三角形，点E处形成一个周角，四边形内角和为4×180°-360°=360°，同理可得，五边形内角和为5×180°-360°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法四：如图4，在四边形ABCD中，分别延长AD，BC至点E， 在三角形ABE中，∠A+∠B=180°-∠E；在三角形DCE中，∠EDC+∠ECD=180°-∠E，即∠A+∠B=∠EDC+∠ECD，而∠EDC+∠ECD+∠ADC+∠BCD=2×180°，即∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=2×180°所以四边形内角和为2×180°=360°，同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
多边形的内角和的证明能积极挖掘学生探从不同角度分析和解决问题，并有助于提升学生推理、归纳能力。
2. 多边形内角和公式的应用 多边形内角和等于（n-2）·180°（其中n为多边形的边数），任何多边形的外角和都等于360°，借助这两个结论可顺利解决如下问题：
2.1 求多边形的内角和。例1：十二边形的内角和是多少？
分析：直接应用n边形内角和公式
（12-2）×180°=1800°
变式：已知一个多边形，从其中一个顶点连对角线，可以将多边形分成8个三角形，求该多边形的内角和。
解：对于多边形，从一个顶点引对角线可将多边形分成（n-2）个三角形（n为多边形的边数），所以这个多边形是十边形，根据多边形内角和公式可知，这个多边形的内角和为（10-2）·180°=1440°.
2.2 求多边形内角的度数。 例2：已知一个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，求这五个内角中的最大角与最小角。
解：由于这个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，所以可设五个内角的度数为13x，11x，9x，7x，5x.根据多边形内角和公式可知，五边形的内角和为（5-2）·180°=540°，即13x+11x+9x+7x+5x=540，解得x=12，所以13x=156，5x=60，即最大角为156°，最小角为60°。
2.3 求多边形的边数。 例3：一个多边形的内角和是1260°， 它是几边形？
分析：有n边形内角和公式得：（n-2）×180=1260， n-2=7， n=9
变式一：一个多边形的各个内角为120°， 它是几边形？
分析：由于各个内角都为120°，那么它的内角和为120°n，根据内角和公式的（n-2）×180=120n，得n=12。
变式二：多边形的一个外角与该多边形内角和的总和为600°，求此多边形的边数。
解：设多边形的边数为n，此外角为x.根据题意，得（n-2）·180+x=600，即（n-2）·180=600-x.因为（n-2）·180是180的倍数，所以600-x也是180的倍数，所以x=60，从而n=5，即此多边形的边数为5.
变式三：在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°. 请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由。
分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，它的内角和为145°.如果存在，那么这个正多边形的每个外角应180°-145°=35°. 由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35=360，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误。
解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数。
因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°。
所以（180-145）×n=360。
即35×n=360.所以 n= 727
这与n是整数相矛盾
所以不存在内角是145°的正多边形.小明计算不正确。
变式四：已知一个多边形除一个内角外的其余内角的和是2008°，求这个多边形的边数及这个内角的度数。
分析：本题借助于多边形的内角和一定能被180°整除，由于多边形的每个内角都在0°到180°之间，故去除一个内角后其余内角和为2008°，肯定不能被180°整除.只要用2008°÷180°观察其余数，与这个余数互补的角就是所要求的这个内角的度数.即用180°减去余数后所得的角就是所求内角的度数，有了它，多边形的边数将迎刃而解。
解：2008°÷180°=11……28°，180°-28°=152°.故这个内角的度数是152°。从而可知这个多边形内角和为2160°.所以这个多边形的边数为14。
2.4 求多边形的对角线。 例5： 已知一个多边形的内角和与外角和的和是2160°，求从这个多边形的一个顶点引对角线的条数。
解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180+360=2160，解得n=12。由于从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，所以从此多边形的一个顶点可引9条对角线.
在学生已经学完三角形的内角和，对三角形的问题有了一定的认识基础上，探索多边形相关知识，是对三角形认识的一种升华，也是学生学习方法的一种实践。从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。整个探索过程强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。
1. 多边形内角和的证明方法 探索多边形内角和运用类推的方法，以三角形知识为基础，推导、归纳出四边形、五边形，……，n边形的内角和。
方法一：如图1：在四边形ABCD中，从某一顶点出发，连接对角线AC，把四边形分割成2个三角形，那么四边形的内角和是2×180°=360°。同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法二：如图2，在四边形ABCD中，过一边上任一点（除顶点）E，连接AE，DE，把四边形分割成3个三角形，而∠BEC=180°，四边形内角和为3×180°-180°=360°，同理可得，五邊形内角和为4×180°-180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法三：如图3，在四边形ABCD中，过四边形内任一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分割成4个三角形，点E处形成一个周角，四边形内角和为4×180°-360°=360°，同理可得，五边形内角和为5×180°-360°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法四：如图4，在四边形ABCD中，分别延长AD，BC至点E， 在三角形ABE中，∠A+∠B=180°-∠E；在三角形DCE中，∠EDC+∠ECD=180°-∠E，即∠A+∠B=∠EDC+∠ECD，而∠EDC+∠ECD+∠ADC+∠BCD=2×180°，即∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=2×180°所以四边形内角和为2×180°=360°，同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
多边形的内角和的证明能积极挖掘学生探从不同角度分析和解决问题，并有助于提升学生推理、归纳能力。
2. 多边形内角和公式的应用 多边形内角和等于（n-2）·180°（其中n为多边形的边数），任何多边形的外角和都等于360°，借助这两个结论可顺利解决如下问题：
2.1 求多边形的内角和。例1：十二边形的内角和是多少？
分析：直接应用n边形内角和公式
（12-2）×180°=1800°
变式：已知一个多边形，从其中一个顶点连对角线，可以将多边形分成8个三角形，求该多边形的内角和。
解：对于多边形，从一个顶点引对角线可将多边形分成（n-2）个三角形（n为多边形的边数），所以这个多边形是十边形，根据多边形内角和公式可知，这个多边形的内角和为（10-2）·180°=1440°.
2.2 求多边形内角的度数。 例2：已知一个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，求这五个内角中的最大角与最小角。
解：由于这个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，所以可设五个内角的度数为13x，11x，9x，7x，5x.根据多边形内角和公式可知，五边形的内角和为（5-2）·180°=540°，即13x+11x+9x+7x+5x=540，解得x=12，所以13x=156，5x=60，即最大角为156°，最小角为60°。
2.3 求多边形的边数。 例3：一个多边形的内角和是1260°， 它是几边形？
分析：有n边形内角和公式得：（n-2）×180=1260， n-2=7， n=9
变式一：一个多边形的各个内角为120°， 它是几边形？
分析：由于各个内角都为120°，那么它的内角和为120°n，根据内角和公式的（n-2）×180=120n，得n=12。
变式二：多边形的一个外角与该多边形内角和的总和为600°，求此多边形的边数。
解：设多边形的边数为n，此外角为x.根据题意，得（n-2）·180+x=600，即（n-2）·180=600-x.因为（n-2）·180是180的倍数，所以600-x也是180的倍数，所以x=60，从而n=5，即此多边形的边数为5.
变式三：在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°. 请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由。
分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，它的内角和为145°.如果存在，那么这个正多边形的每个外角应180°-145°=35°. 由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35=360，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误。
解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数。
因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°。
所以（180-145）×n=360。
即35×n=360.所以 n= 727
这与n是整数相矛盾
所以不存在内角是145°的正多边形.小明计算不正确。
变式四：已知一个多边形除一个内角外的其余内角的和是2008°，求这个多边形的边数及这个内角的度数。
分析：本题借助于多边形的内角和一定能被180°整除，由于多边形的每个内角都在0°到180°之间，故去除一个内角后其余内角和为2008°，肯定不能被180°整除.只要用2008°÷180°观察其余数，与这个余数互补的角就是所要求的这个内角的度数.即用180°减去余数后所得的角就是所求内角的度数，有了它，多边形的边数将迎刃而解。
解：2008°÷180°=11……28°，180°-28°=152°.故这个内角的度数是152°。从而可知这个多边形内角和为2160°.所以这个多边形的边数为14。
2.4 求多边形的对角线。 例5： 已知一个多边形的内角和与外角和的和是2160°，求从这个多边形的一个顶点引对角线的条数。
解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180+360=2160，解得n=12。由于从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，所以从此多边形的一个顶点可引9条对角线.