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摘要： 光弹性实验中，材料条纹值是联系光学现象和材料应力的唯一参数，因而在每次实验前计量材料条纹值是非常必要的。条纹值的精确性与选取的实验计量点有密切的关联，同时应考虑残余双折射和残余应力的影响。根据实验获取的全场数据，在试件中选取多个点构成超定方程组，结合相移技术，运用最小二乘法确定材料条纹值。这种方法不仅能够确定条纹值，而且可以得到试样中残余应力的参数。最后，通过聚碳酸酯受压圆盘实验，验证了新方法的可行性。
关键词： 光弹性法； 条纹值； 等差线； 相移法
中图分类号： O 348.1 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.006
Evaluation of material fringe value using whole field data in photoelasticity
LIU Xiaomeng， DAI Shuguang
（School of Optical- Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）
Abstract： In the photoelastic experiment，material fringe value is the only parameter which relates the optical phenomena to the material stresses.It is necessary to calibrate each specimen at the time of experiment.The solutions of fringe value have a strong bearing on the choice of the data points and the effect of residual birefringence should be considered.This paper takes several points in the whole field to obtain an over determined set of equations，using the least squares method combined with phase shifting technology to evaluate fringe value.In this way，not only the fringe order is calculated but also the residual birefringence or residual stress parameters of specimen are obtained.The usefulness of this method is demonstrated by analyzing a circular disc subjected to compressive loading.
Keywords： photoelasticity； fringe value； isochromatic； phase shifting
引 言
光弹性法是实验力学的一个分支[1]，广泛应用在全场应力的测量和分析。通过光弹实验，可以直接获取平面应力的方向和两主应力之差，分别称为等倾线和等差线[2]。光弹实验在平面偏振光场或圆偏振光场下进行。平面偏振光场下得到的数据，是等倾线和等差线相互叠加的图像，而在圆偏振光场下，等倾线消失，图像仅包含等差线[3-4]。应用图像处理技术[5]和相移技术[6-9]，可以获取全场的等倾线和等差线。实验得到的等倾线和等差线都是包裹的型式[10]，为得到等倾线角度和等差线条纹级数，需进行解包裹处理[11-14]。
材料条纹值是光弹性实验中非常重要的参数，它是联系材料应力和光学现象唯一的参数，表示材料的灵敏度。条纹值与材料和光源的波长有关，而与试件的形状、尺寸、加载方式无关。材料的细微改变，也将引起条纹值变化。因此，在每次光弹性实验前，计量条纹值是十分必要的。传统方法是由补偿法得出计量试件中某点的等差条纹级数，然后计算得到条纹值。如此得出的条纹值，容易受选择点的影响，数据并不精确。本文根据计量试件的全场数据，选取若干个点，并考虑残余应力的影响，结合相移技术，运用最小二乘法确定材料条纹值，再由实验验证该方法的可行性。 1 条纹值
对于各向同性的透明非晶体材料，在受力产生应力时，其特性如同各向异性的晶体，会产生双折射现象。这种折射是暂时的，当应力解除后也随即消失，被称为人工双折射。晶体中某一点的光学性质可以用折射率椭球来表示，椭球的三个主轴为该点的光学主轴，用方程表示为
式中：N1，N2，N3为主折射率。在三相应力状态下，任意斜截面的应力可以用应力椭球表示，椭球的三个主轴为该点的应力主轴，用方程表示为
式中：σ1，σ2，σ3为主应力。根据式（1）、式（2）可以得出应力椭球和折射率椭球的主轴是重合的。Maxwell在1852年推导并经实验证明，在平面应力（无σ3）状态下，主折射率与其对应的主应力在数值上存在如下关系
式中：S为光程差；d为试件的厚度；C为材料的相对应力光性系数[1]。对于特定入射光波长λ，相位差
將式（3）代入式（4）得
式中：f=λC，称为材料条纹值，是由材料和光源波长决定的常数，单位为N/mm。
式（3）、式（5）就是著名的平面应力光性定律。其物理意义是，当一束平面偏振光垂直入射平面应力试件时，必沿该点的主应力方向分解为两列平面偏振光，由于它们在试件内的传播速度不同，通过模型后产生的光程差与模型的厚度d及主应力差（σ1-σ2）成正比。 确定材料条纹值，是光弹性法中非常重要的基础工作，因为它是联系力学和光学的唯一参数。条纹值可以通过有理论解的试件标定出，如径向受压的圆盘，以圆心为坐标原点，根据弹性力学，其x方向的正应力分量σx，y方向的正应力分量σy和剪应力应力分量τxy可表示为
式中：R为圆盘的半径；D为直径； P为径向压力。r21=x2+（R-y）2，r22=x2+（R+y）2。根据应力圆（莫尔圆）得出主应力之差为
在圆心处，式（7）可改寫为
令n为等差线条纹级数，结合暗场下的等差线公式
在圆心处的条纹值可表示为
式（10）是确定条纹值的传统方法，采用Tardy补偿法可以得到圆心处的等差线条纹级数。通常选取多个加载力P，根据各个力得到f，对其求平均值得出材料条纹值。
2 相移法获取等差线
Tardy补偿法是一种逐点获取小数级等差级数的方法，虽然精度较高但操作费时、费力，每次只能得到一个点的等差级数。光弹性实验中，相移法是根据空间域光强的变化，分解出全场等倾线和等差线，具有操作简便、精度高的优点[15]。为得到小数级的等差级数，本文在圆偏振光场下运用五步相移法[3]，采集五幅图像求出等差级数。图1是圆偏振光场的示意图。
运用Jones矩阵，当α=λ/2，ξ=3λ/4，其出射光强可表示为
式中：ib为背景光强度；ia为入射光的强度；θ为等倾线角度；α 和βi分别是起偏镜偏振轴和检偏镜偏振轴与x轴的夹角；ξ和Φi分别是第一个1/4波片慢轴和第二个1/4波片慢轴与x轴的夹角；δ为相位差。按照表1中偏振片和1/4波片角度的安排，等差线相位由式（12）给出
与其他相移法相比，五步相移法不仅消除了背景光的影响，而且计算等差线相位时，不需要先计算等倾角[15]。
3 最小二乘法计算条纹值
光弹性法是全场应力分析法，传统方法仅根据受压圆盘的中心点确定条纹值，显得不够全面、精准。Coker等在其研究论文中指出：受载荷传递的影响，圆盘中心点的条纹值比理论值小4%，因而根据中心点的数据计算条纹值并不科学[16]。研究表明，在圆盘的0.3～0.5倍半径的区域内，实验得到的条纹值与理论值非常接近[17]，本文选取此区域内的点计算条纹值。
通常情况下，用于光弹实验的试件，不可避免的存在残余双折射或残余应力。比如聚碳酸酯材料制成的试件，是由挤压成型的板材切割得到的，由于挤压成型的板材存在较大的单向残余应力，切割后的试件必须经退火去应力后才能用于光弹实验，然而退火后的试件仍有可能存有残余应力，因此，在确定条纹值时，考虑残余双折射的影响是必要的。将残余双折射用条纹级数的形式，表示为坐标的线性函数
结合式（9），试件的条纹级数改写为
对光弹性实验来说，nm 是检测出的已知量，Sm可由式（7）得出，因此式（15）中的未知量有4个，即1/f、A、B和C。理论上，在试样中选取4个点就可以求出材料条纹值，但考虑到实验数据的精确性，可以选取多于4个点，构成超定方程组求解条纹值。通常使用最小二乘法解超定方程组，设采样点数为M，误差方程可写为
最小二乘法算子要求
由上式可得出方程组：
用矩阵变换后写为
可简化为
4 实 验
为验证上述方法确定材料条纹值的有效性，本文选取光弹性实验中的典型试样Symbol～B@径向受压圆盘，进行实验。圆盘直径35 mm，厚度4 mm，材料为聚碳酸酯。实验圆盘置于可调节下压力的加力架内，受力部位安装有压力传感器，可以实时读取压力数值，实验时通过旋转螺杆缓慢加力。图2为五步相移法获取的图像，光源波长λ=632.8 nm，加载压力为215.6 N。
通过式（12）计算出全场等差线，如图3（a）所示，此时得到的数据是等差线的相位，经解包裹运算，可以得出等差级数。本文选取0.3 ～0.5倍半径的区域计算条纹值，有效区域为图3（b）中的黑色圆环区域。在有效区域内随机选取24个点，构成超定方程组，由式（19）计算得出f=7.801 0，A=0.004 6，B=-0.005 1，C=-0.040 7。材料条纹值f在合理的区间内，三个残余双折射系数值都比较小，说明试样中的残余应力较小。实验证明，最小二乘法能够确定光弹性材料条纹值。
5 结 论
进行光弹性实验时，确定材料的条纹值后，才能将实验获得的光学数据转换为力学数据。传统方法采用单点计算条纹值，使得出的数据受选取点的影响，不能精确反应条纹值。本文根据受压圆盘的全场数据，在理想区域随机选取多点，并考虑残余应力的影响，构成超定方程组，运用最小二乘法确定材料条纹值。对于等差线条纹级数的确定，传统的Tardy逐点补偿法非常繁琐，文中使用五步相移法，容易得到全场等差条纹级数，不仅消除了背景光的影响，而且计算等差线时不涉及等倾角。最后应用本文所述的方法，对径向受压的聚碳酸酯圆盘进行实验，实验结果理想，既得出材料条纹值，又得到了残余应力的参数。
参考文献：
[1] 天津大学材料力学教研室光弹组.光弹性原理及测试技术[M].北京：科学出版社，1980：85127.
[2] LIU X M，DAI S G.Cubic polynomial curve-guided method for isochromatic determination in three-fringe photoelasticity[J].Chinese Optics Letters，2015，13（10）：101202.
[3] RAMESH K.Digital Photoelasticity：advanced techniques and applications[M].Berlin：Heidelberg Springer，2000：1040. [4] 刘晓蒙，戴曙光.斜射法应力分离计算方法的研究[J].机械强度，2016，38（3）：475479.
[5] PRATT W K.Digital image processing[M].3rd ed.New York：John Wiley and Sons，2002：89159.
[6] AJOVALASIT A，PETRUCCI G，SCAFIDI M.Phase shifting photoelasticity in white light[J].Optics and Lasers in Engineering，2007，45（5）：596611.
[7] LIU X M，DAI S G.Mathematical morphology guided automatic unwrapping isoclinic phase map in white light photoelasticity[J].Journal of the Optical Society of Korea，2015，19（6）：643648.
[8] 劉晓蒙，戴曙光.相移法获取三维光弹性特征相位差的方法[J].光学技术，2016（4）：317320.
[9] 刘晓蒙，戴曙光.结合白光光弹和相移技术解包裹等差线的方法[J].机械强度，2016，38（4）：711715.
[10] RAMJI M，NITHILA E，DEVVRATH K，et al.Assessment of autonomous phase unwrapping of isochromatic phase maps in digital photoelasticity[J].Sādhanā，2008，33：2744.
[11] SIEGMANN P，BACKMAN D，PATTERSON E A.A robust approach to demodulating and unwrapping phase-stepped photoelastic data[J].Experimental Mechanics，2005，45（3）：278289.
[12] RAMJI M，RAMESH K.Adaptive quality guided phase unwrapping algorithm for whole-field digital photoelastic parameter estimation of Complex Models[J].Strain，2010，46（2）：184194.
[13] KASIMAYAN T，RAMESH K.Adaptive smoothing for isoclinic parameter evaluation in digital photoelasticity[J].Strain，2011，47（S1）：e371e375.
[14] RAMESH K，HARIPRASAD M P，RAMAKRISHNAN V.Robust multidirectional smoothing of isoclinic parameter in digital photoelasticity[J].Optical Engineering，2015，54（8）：081205.
[15] RAMESH K，KASIMAYAN T，SIMON B N.Digital photoelasticity-A comprehensive review[J].The Journal of Strain Analysis for Engineering Design，2011，46（4）：245266.
[16] COKER E G，FILON L N G，JESSOP H T.A treatise on photoelasticity[M].London：Cambridge University Press，1957：120130.
[17] SANFORD R J.Application of the least-squares method to photoelastic analysis
[J].Experimental Mechanics，1980，20（6）：192197.
关键词： 光弹性法； 条纹值； 等差线； 相移法
中图分类号： O 348.1 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.006
Evaluation of material fringe value using whole field data in photoelasticity
LIU Xiaomeng， DAI Shuguang
（School of Optical- Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）
Abstract： In the photoelastic experiment，material fringe value is the only parameter which relates the optical phenomena to the material stresses.It is necessary to calibrate each specimen at the time of experiment.The solutions of fringe value have a strong bearing on the choice of the data points and the effect of residual birefringence should be considered.This paper takes several points in the whole field to obtain an over determined set of equations，using the least squares method combined with phase shifting technology to evaluate fringe value.In this way，not only the fringe order is calculated but also the residual birefringence or residual stress parameters of specimen are obtained.The usefulness of this method is demonstrated by analyzing a circular disc subjected to compressive loading.
Keywords： photoelasticity； fringe value； isochromatic； phase shifting
引 言
光弹性法是实验力学的一个分支[1]，广泛应用在全场应力的测量和分析。通过光弹实验，可以直接获取平面应力的方向和两主应力之差，分别称为等倾线和等差线[2]。光弹实验在平面偏振光场或圆偏振光场下进行。平面偏振光场下得到的数据，是等倾线和等差线相互叠加的图像，而在圆偏振光场下，等倾线消失，图像仅包含等差线[3-4]。应用图像处理技术[5]和相移技术[6-9]，可以获取全场的等倾线和等差线。实验得到的等倾线和等差线都是包裹的型式[10]，为得到等倾线角度和等差线条纹级数，需进行解包裹处理[11-14]。
材料条纹值是光弹性实验中非常重要的参数，它是联系材料应力和光学现象唯一的参数，表示材料的灵敏度。条纹值与材料和光源的波长有关，而与试件的形状、尺寸、加载方式无关。材料的细微改变，也将引起条纹值变化。因此，在每次光弹性实验前，计量条纹值是十分必要的。传统方法是由补偿法得出计量试件中某点的等差条纹级数，然后计算得到条纹值。如此得出的条纹值，容易受选择点的影响，数据并不精确。本文根据计量试件的全场数据，选取若干个点，并考虑残余应力的影响，结合相移技术，运用最小二乘法确定材料条纹值，再由实验验证该方法的可行性。 1 条纹值
对于各向同性的透明非晶体材料，在受力产生应力时，其特性如同各向异性的晶体，会产生双折射现象。这种折射是暂时的，当应力解除后也随即消失，被称为人工双折射。晶体中某一点的光学性质可以用折射率椭球来表示，椭球的三个主轴为该点的光学主轴，用方程表示为
式中：N1，N2，N3为主折射率。在三相应力状态下，任意斜截面的应力可以用应力椭球表示，椭球的三个主轴为该点的应力主轴，用方程表示为
式中：σ1，σ2，σ3为主应力。根据式（1）、式（2）可以得出应力椭球和折射率椭球的主轴是重合的。Maxwell在1852年推导并经实验证明，在平面应力（无σ3）状态下，主折射率与其对应的主应力在数值上存在如下关系
式中：S为光程差；d为试件的厚度；C为材料的相对应力光性系数[1]。对于特定入射光波长λ，相位差
將式（3）代入式（4）得
式中：f=λC，称为材料条纹值，是由材料和光源波长决定的常数，单位为N/mm。
式（3）、式（5）就是著名的平面应力光性定律。其物理意义是，当一束平面偏振光垂直入射平面应力试件时，必沿该点的主应力方向分解为两列平面偏振光，由于它们在试件内的传播速度不同，通过模型后产生的光程差与模型的厚度d及主应力差（σ1-σ2）成正比。 确定材料条纹值，是光弹性法中非常重要的基础工作，因为它是联系力学和光学的唯一参数。条纹值可以通过有理论解的试件标定出，如径向受压的圆盘，以圆心为坐标原点，根据弹性力学，其x方向的正应力分量σx，y方向的正应力分量σy和剪应力应力分量τxy可表示为
式中：R为圆盘的半径；D为直径； P为径向压力。r21=x2+（R-y）2，r22=x2+（R+y）2。根据应力圆（莫尔圆）得出主应力之差为
在圆心处，式（7）可改寫为
令n为等差线条纹级数，结合暗场下的等差线公式
在圆心处的条纹值可表示为
式（10）是确定条纹值的传统方法，采用Tardy补偿法可以得到圆心处的等差线条纹级数。通常选取多个加载力P，根据各个力得到f，对其求平均值得出材料条纹值。
2 相移法获取等差线
Tardy补偿法是一种逐点获取小数级等差级数的方法，虽然精度较高但操作费时、费力，每次只能得到一个点的等差级数。光弹性实验中，相移法是根据空间域光强的变化，分解出全场等倾线和等差线，具有操作简便、精度高的优点[15]。为得到小数级的等差级数，本文在圆偏振光场下运用五步相移法[3]，采集五幅图像求出等差级数。图1是圆偏振光场的示意图。
运用Jones矩阵，当α=λ/2，ξ=3λ/4，其出射光强可表示为
式中：ib为背景光强度；ia为入射光的强度；θ为等倾线角度；α 和βi分别是起偏镜偏振轴和检偏镜偏振轴与x轴的夹角；ξ和Φi分别是第一个1/4波片慢轴和第二个1/4波片慢轴与x轴的夹角；δ为相位差。按照表1中偏振片和1/4波片角度的安排，等差线相位由式（12）给出
与其他相移法相比，五步相移法不仅消除了背景光的影响，而且计算等差线相位时，不需要先计算等倾角[15]。
3 最小二乘法计算条纹值
光弹性法是全场应力分析法，传统方法仅根据受压圆盘的中心点确定条纹值，显得不够全面、精准。Coker等在其研究论文中指出：受载荷传递的影响，圆盘中心点的条纹值比理论值小4%，因而根据中心点的数据计算条纹值并不科学[16]。研究表明，在圆盘的0.3～0.5倍半径的区域内，实验得到的条纹值与理论值非常接近[17]，本文选取此区域内的点计算条纹值。
通常情况下，用于光弹实验的试件，不可避免的存在残余双折射或残余应力。比如聚碳酸酯材料制成的试件，是由挤压成型的板材切割得到的，由于挤压成型的板材存在较大的单向残余应力，切割后的试件必须经退火去应力后才能用于光弹实验，然而退火后的试件仍有可能存有残余应力，因此，在确定条纹值时，考虑残余双折射的影响是必要的。将残余双折射用条纹级数的形式，表示为坐标的线性函数
结合式（9），试件的条纹级数改写为
对光弹性实验来说，nm 是检测出的已知量，Sm可由式（7）得出，因此式（15）中的未知量有4个，即1/f、A、B和C。理论上，在试样中选取4个点就可以求出材料条纹值，但考虑到实验数据的精确性，可以选取多于4个点，构成超定方程组求解条纹值。通常使用最小二乘法解超定方程组，设采样点数为M，误差方程可写为
最小二乘法算子要求
由上式可得出方程组：
用矩阵变换后写为
可简化为
4 实 验
为验证上述方法确定材料条纹值的有效性，本文选取光弹性实验中的典型试样Symbol～B@径向受压圆盘，进行实验。圆盘直径35 mm，厚度4 mm，材料为聚碳酸酯。实验圆盘置于可调节下压力的加力架内，受力部位安装有压力传感器，可以实时读取压力数值，实验时通过旋转螺杆缓慢加力。图2为五步相移法获取的图像，光源波长λ=632.8 nm，加载压力为215.6 N。
通过式（12）计算出全场等差线，如图3（a）所示，此时得到的数据是等差线的相位，经解包裹运算，可以得出等差级数。本文选取0.3 ～0.5倍半径的区域计算条纹值，有效区域为图3（b）中的黑色圆环区域。在有效区域内随机选取24个点，构成超定方程组，由式（19）计算得出f=7.801 0，A=0.004 6，B=-0.005 1，C=-0.040 7。材料条纹值f在合理的区间内，三个残余双折射系数值都比较小，说明试样中的残余应力较小。实验证明，最小二乘法能够确定光弹性材料条纹值。
5 结 论
进行光弹性实验时，确定材料的条纹值后，才能将实验获得的光学数据转换为力学数据。传统方法采用单点计算条纹值，使得出的数据受选取点的影响，不能精确反应条纹值。本文根据受压圆盘的全场数据，在理想区域随机选取多点，并考虑残余应力的影响，构成超定方程组，运用最小二乘法确定材料条纹值。对于等差线条纹级数的确定，传统的Tardy逐点补偿法非常繁琐，文中使用五步相移法，容易得到全场等差条纹级数，不仅消除了背景光的影响，而且计算等差线时不涉及等倾角。最后应用本文所述的方法，对径向受压的聚碳酸酯圆盘进行实验，实验结果理想，既得出材料条纹值，又得到了残余应力的参数。
参考文献：
[1] 天津大学材料力学教研室光弹组.光弹性原理及测试技术[M].北京：科学出版社，1980：85127.
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[8] 劉晓蒙，戴曙光.相移法获取三维光弹性特征相位差的方法[J].光学技术，2016（4）：317320.
[9] 刘晓蒙，戴曙光.结合白光光弹和相移技术解包裹等差线的方法[J].机械强度，2016，38（4）：711715.
[10] RAMJI M，NITHILA E，DEVVRATH K，et al.Assessment of autonomous phase unwrapping of isochromatic phase maps in digital photoelasticity[J].Sādhanā，2008，33：2744.
[11] SIEGMANN P，BACKMAN D，PATTERSON E A.A robust approach to demodulating and unwrapping phase-stepped photoelastic data[J].Experimental Mechanics，2005，45（3）：278289.
[12] RAMJI M，RAMESH K.Adaptive quality guided phase unwrapping algorithm for whole-field digital photoelastic parameter estimation of Complex Models[J].Strain，2010，46（2）：184194.
[13] KASIMAYAN T，RAMESH K.Adaptive smoothing for isoclinic parameter evaluation in digital photoelasticity[J].Strain，2011，47（S1）：e371e375.
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[16] COKER E G，FILON L N G，JESSOP H T.A treatise on photoelasticity[M].London：Cambridge University Press，1957：120130.
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