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解析几何是高中数学的重点和难点，在高考中占有重要地位.从以往多年高考的内容来看，无论是大题还是小题都有对解析几何的考查;从考试的难度来看，压轴题都是以解析几何题为主. 可以说，解析几何题是学生高考的“拦路虎”，是学生在攀登解析几何高峰的过程中的一大障碍. 下面，笔者介绍几种具有针对性和简洁性的解题方法与策略.
一、利用重要结论解决相关问题
在解析几何部分中，高考全国卷不考查椭圆与双曲线的第二定义，这使得抛物线的定义变得更加重要.那抛物线的定义在全国卷中又是如何考查的呢？笔者通过仔细分析后发现，高考全国卷中通常以过焦点的直线与抛物线相交所得的焦点弦或焦半径问题进行考查. 如果同学们能熟记相关结论并灵活运用，那么解答也将变得得心应手.
结论一：抛物线y2=2px（ p>0），过焦点F的弦AB所在直线倾斜角为θ.可得上焦半径，下焦半径，弦长.
抛物线x2=2py（ p>0），过焦点F的弦AB所在直线倾斜角为θ. 可得左焦半径，右焦半径，弦长.关于抛物线另外两种标准方程下的结论，利用对称性可以求解. 以上就是抛物线中焦半径、焦点弦与直线倾斜角之间的公式，我们把它称为结论一.
下面我们来看高考真题应用：
【例1】（2017全国卷Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】设直线l1的倾斜角为α，运用结论一可得：，则，|AB|+|DE|=
.
所以|AB|+|DE|
. 答案为A.
关于抛物线的焦半径和焦点弦问题，还有其他的一些结论和运用，下面我们从真题出发，探寻此类问题的重要推论.
结论二：在抛物线的标准方程下，以焦半径为直径的圆与不过焦点的坐标轴相切. 类似地，以焦点弦为直径的圆必与准线相切.
【例2】（2013全国卷Ⅱ）设抛物线C：y2=2px（ p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则抛物线C的方程为（ ）
A.y2= 4x或y2= 8x B.y2= 2x或y2= 8x
C.y2= 4x或y2= 16x D.y2=2x或y2= 16x
【解析】设（0，2）为点N，该圆的圆心为点D，则点D为M、F中点. 由题意知该圆半径为，，准线方
程为，|MF|=5.则由抛物线的定义可知，，所以由中点坐标公式得. 我们发现圆心D到y轴距离为，与该圆半径相等，所以该圆与y轴相切. 以上推导方法具有一般性. 利用该结论可知N（0，2）为切点，所以DN与y轴垂直，可得，所以，代入抛物线方程可得p=2或p=8. 答案为C.
【例3】（2018全国卷Ⅲ）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点. 若∠AMB=90°，则k= .
【解析】因为∠AMB=90°，所以点M在以AB为直径的圆上. 又因为点M在准线上，且该圆与准线相切，所以点M为切点. 设线段AB中点为N（该圆圆心），则中点N的纵坐标与点M纵坐标相同. 通过点差法可得.
在例3中我们用到了点差法，这是一种解决中点弦问题的普遍方法，下面笔者进行重点讲解.
结论三：椭圆与斜率为k （k≠0）的直线l相交于不同的两点A，B，其中AB的中点为M.设原点O与M连线的斜率为kOM，则.（点差法）
当上述椭圆C的方程变为时，利用点差法按同样方式运算可得相似的结论：.当上述条件中的椭圆变为双曲线时，结论为：;当双曲线方程为时，结论为：.接下来我们看看高考真题中点差法的应用.
【例4】（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M（1， m）（m>0）. 证明：.
【解析】写出“点差法”的演算步骤可得，所以，. 由题设可知点M在椭圆内部且在x轴上方，所以，故.
利用点差法，我们能快速地找到弦中点、弦斜率及曲线方程间的联系，从而简化运算，快速而准确地解题.
二、距离问题与点坐标问题的互化
处理距离问题，关键在于将斜向的距離问题转化为横向或纵向的距离问题，这样的转化才能方便坐标与距离之间的相互表达，从而使题目的运算变得更简单.
【例5】（2016全国卷III）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点. P为C上一点，且PF⊥x轴. 过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】题目中动点较多，相似三角形也较多，多数线段长度不定并且表达复杂.但我们应该注意到A、F、O、B是定点且能写出坐标，由此可以利用坐标快速地写出这四个点相互间所成线段的长度.解题的思路就是利用三角形的相似性，将其余线段的长度关系转到A、F、O、B所成线段的长度关系上. 设O、E中点为Q，易知△AFM∽△AOE，△BOQ∽
△BFM. 所以，，可得. 答案为A.
【例6】（2014全国卷II）设F1， F2分别是椭圆C：的左右焦点，M是第一象限内C上一点，且MF2⊥x轴，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a， b.
【解析】本题的关键在于怎么处理条件，如果采用弦长公式进行求解，运算量极大.可作NN'⊥x轴于点N，注意到△NN'F1∽△MF2F1，由可得，根据相似三角形性质可将这组斜向线段之比转为两组横向、纵向线段之比（横向、纵向线段的长度方便用坐标表示），即. 然后，可以从这些线段的关系得到点N的坐标并代入椭圆方程，这样整个运算将大大简化，解答如下.
记直线MN与y轴交点为D，则MF2//OD且O为F1F2中点，所以MF2=2OD =4，而①，作NN'⊥x轴于点N，则有△NN'F1∽△MF2F1.
由可得.
所以點N的坐标为，代入椭圆方程C可得②，又因为c2=a2-b2③，联立①②③可解得.
三、利用数形转化
解析几何的核心就是用代数方法研究几何问题，解题过程中的一大难点就是如何将具体的几何问题进行代数转化，并且使得代数转化后的运算尽量简洁.下面我们就来探讨几种高考中常见的数形转化.
类型一：对于已知直径的圆，点与圆位置关系的向量表达.
【例7】（2017全国卷III）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点O在圆M上.
【解析】对于本题，我们可以联立直线与抛物线的方程并利用韦达定理得到圆心，再通过弦长公式算出直径，进而写出圆的方程，最后将原点坐标代入圆的方程看是否成立. 这种解法的好处是不需过多的思考，使同学们能够单刀直入地解题. 但“人无远虑，必有近忧”，此种解法的计算量极大，不仅耗费时间，而且出错的概率大大增加. 仔细审题，同学们会发现原点与A，B不重合，再思考圆上点的性质，能得到原点O在圆M上等价于∠AOB=90°. 关于此问题我们可以借助于向量或斜率的知识进行转化，使整个代数运算大大简化.
设直线l：x=my+2，A（x1， y1），B（x2， y2）.由，
可得y2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4，所以
.
因为O与A、B不重合，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上.
总结：在以AB为直径的圆上，C是不同于A、B的点，则点C在圆内，圆上，圆外分别等价于，，.
【例8】（2015全国卷I）已知M（x0， y0）是双曲线C：
上的一点，F1， F2是C上的两个焦点，若，则y的取值范围是（ ）
A.（，） B.（，）
C.（，） D.（，）
【解析】本题与例7正好形成反向转化，由可知M在以F1， F2为直径的圆的内部.
由C：，可得F1，F2为直径的圆的方程为.
由，可得;由可知M在以F1，F2为直径的圆的内部，所以.答案为A.
类型二：利用直线斜率与倾斜角的关系进行数形转化.
【例9】（2015全国卷I）在直角坐标系xoy中，曲线C：与直线y = kx+a（a>0）交于M，N两点. y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【解析】本题的关键在于解决“怎么用代数形式表达∠OPM=∠OPN？”这一几何问题，因为点P是y轴上的点，所以当∠OPM=∠OPN时，直线PM、PN关于y轴对称.由此可知，直线PM、PN的倾斜角互补，故直线PM、PN的斜率互为相反数，这样就把问题转为求证直线PM、PN的斜率相加为零的简单代数问题.
证明：设P（0，b）为符合题意的点，M（x1， y1），N（x2， y2），直线PM，PN的斜率分别为k1， k2. 将y=kx+a代入C的方程整理得x2+4kx-4a = 0，所以x1+ x2= 4k，x1 x2=-4a.则.当b= -a时，有k1+ k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，又因为点P在y轴上，所以∠OPM=∠OPN，P（0， -a）符合题意.
【例10】（2017全国卷II）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x的轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为直线的斜率为，所以倾斜角为60°，又因为MN与准线垂直，所以MN与x轴平行，所以∠NMF=60°. 由抛物线定义可知，故△NMF为等边三角形.根据前文介绍的焦半径与倾斜角公式，在边长为4的等边△NMF中可得M到直线NF的距离为.
点评：本题是对直线斜率与倾斜角关系、抛物线定义、焦半径公式三个内容的完美应用.
通过以上内容，我们从三个方面总结了解析几何的解题方法和策略. 从中我们可以体会到，解析几何的解题不光只是复杂的计算，它还有很多有趣的结论和美妙的转化.有了这些方法和策略，我们的解题可以变得高效又富有乐趣. 当然，奇妙的解析几何中还有很多有趣的问题，还有很多的好结论、好技巧和好方法，希望同学们不断努力、继续开拓！
一、利用重要结论解决相关问题
在解析几何部分中，高考全国卷不考查椭圆与双曲线的第二定义，这使得抛物线的定义变得更加重要.那抛物线的定义在全国卷中又是如何考查的呢？笔者通过仔细分析后发现，高考全国卷中通常以过焦点的直线与抛物线相交所得的焦点弦或焦半径问题进行考查. 如果同学们能熟记相关结论并灵活运用，那么解答也将变得得心应手.
结论一：抛物线y2=2px（ p>0），过焦点F的弦AB所在直线倾斜角为θ.可得上焦半径，下焦半径，弦长.
抛物线x2=2py（ p>0），过焦点F的弦AB所在直线倾斜角为θ. 可得左焦半径，右焦半径，弦长.关于抛物线另外两种标准方程下的结论，利用对称性可以求解. 以上就是抛物线中焦半径、焦点弦与直线倾斜角之间的公式，我们把它称为结论一.
下面我们来看高考真题应用：
【例1】（2017全国卷Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】设直线l1的倾斜角为α，运用结论一可得：，则，|AB|+|DE|=
.
所以|AB|+|DE|
. 答案为A.
关于抛物线的焦半径和焦点弦问题，还有其他的一些结论和运用，下面我们从真题出发，探寻此类问题的重要推论.
结论二：在抛物线的标准方程下，以焦半径为直径的圆与不过焦点的坐标轴相切. 类似地，以焦点弦为直径的圆必与准线相切.
【例2】（2013全国卷Ⅱ）设抛物线C：y2=2px（ p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则抛物线C的方程为（ ）
A.y2= 4x或y2= 8x B.y2= 2x或y2= 8x
C.y2= 4x或y2= 16x D.y2=2x或y2= 16x
【解析】设（0，2）为点N，该圆的圆心为点D，则点D为M、F中点. 由题意知该圆半径为，，准线方
程为，|MF|=5.则由抛物线的定义可知，，所以由中点坐标公式得. 我们发现圆心D到y轴距离为，与该圆半径相等，所以该圆与y轴相切. 以上推导方法具有一般性. 利用该结论可知N（0，2）为切点，所以DN与y轴垂直，可得，所以，代入抛物线方程可得p=2或p=8. 答案为C.
【例3】（2018全国卷Ⅲ）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点. 若∠AMB=90°，则k= .
【解析】因为∠AMB=90°，所以点M在以AB为直径的圆上. 又因为点M在准线上，且该圆与准线相切，所以点M为切点. 设线段AB中点为N（该圆圆心），则中点N的纵坐标与点M纵坐标相同. 通过点差法可得.
在例3中我们用到了点差法，这是一种解决中点弦问题的普遍方法，下面笔者进行重点讲解.
结论三：椭圆与斜率为k （k≠0）的直线l相交于不同的两点A，B，其中AB的中点为M.设原点O与M连线的斜率为kOM，则.（点差法）
当上述椭圆C的方程变为时，利用点差法按同样方式运算可得相似的结论：.当上述条件中的椭圆变为双曲线时，结论为：;当双曲线方程为时，结论为：.接下来我们看看高考真题中点差法的应用.
【例4】（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M（1， m）（m>0）. 证明：.
【解析】写出“点差法”的演算步骤可得，所以，. 由题设可知点M在椭圆内部且在x轴上方，所以，故.
利用点差法，我们能快速地找到弦中点、弦斜率及曲线方程间的联系，从而简化运算，快速而准确地解题.
二、距离问题与点坐标问题的互化
处理距离问题，关键在于将斜向的距離问题转化为横向或纵向的距离问题，这样的转化才能方便坐标与距离之间的相互表达，从而使题目的运算变得更简单.
【例5】（2016全国卷III）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点. P为C上一点，且PF⊥x轴. 过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】题目中动点较多，相似三角形也较多，多数线段长度不定并且表达复杂.但我们应该注意到A、F、O、B是定点且能写出坐标，由此可以利用坐标快速地写出这四个点相互间所成线段的长度.解题的思路就是利用三角形的相似性，将其余线段的长度关系转到A、F、O、B所成线段的长度关系上. 设O、E中点为Q，易知△AFM∽△AOE，△BOQ∽
△BFM. 所以，，可得. 答案为A.
【例6】（2014全国卷II）设F1， F2分别是椭圆C：的左右焦点，M是第一象限内C上一点，且MF2⊥x轴，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a， b.
【解析】本题的关键在于怎么处理条件，如果采用弦长公式进行求解，运算量极大.可作NN'⊥x轴于点N，注意到△NN'F1∽△MF2F1，由可得，根据相似三角形性质可将这组斜向线段之比转为两组横向、纵向线段之比（横向、纵向线段的长度方便用坐标表示），即. 然后，可以从这些线段的关系得到点N的坐标并代入椭圆方程，这样整个运算将大大简化，解答如下.
记直线MN与y轴交点为D，则MF2//OD且O为F1F2中点，所以MF2=2OD =4，而①，作NN'⊥x轴于点N，则有△NN'F1∽△MF2F1.
由可得.
所以點N的坐标为，代入椭圆方程C可得②，又因为c2=a2-b2③，联立①②③可解得.
三、利用数形转化
解析几何的核心就是用代数方法研究几何问题，解题过程中的一大难点就是如何将具体的几何问题进行代数转化，并且使得代数转化后的运算尽量简洁.下面我们就来探讨几种高考中常见的数形转化.
类型一：对于已知直径的圆，点与圆位置关系的向量表达.
【例7】（2017全国卷III）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点O在圆M上.
【解析】对于本题，我们可以联立直线与抛物线的方程并利用韦达定理得到圆心，再通过弦长公式算出直径，进而写出圆的方程，最后将原点坐标代入圆的方程看是否成立. 这种解法的好处是不需过多的思考，使同学们能够单刀直入地解题. 但“人无远虑，必有近忧”，此种解法的计算量极大，不仅耗费时间，而且出错的概率大大增加. 仔细审题，同学们会发现原点与A，B不重合，再思考圆上点的性质，能得到原点O在圆M上等价于∠AOB=90°. 关于此问题我们可以借助于向量或斜率的知识进行转化，使整个代数运算大大简化.
设直线l：x=my+2，A（x1， y1），B（x2， y2）.由，
可得y2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4，所以
.
因为O与A、B不重合，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上.
总结：在以AB为直径的圆上，C是不同于A、B的点，则点C在圆内，圆上，圆外分别等价于，，.
【例8】（2015全国卷I）已知M（x0， y0）是双曲线C：
上的一点，F1， F2是C上的两个焦点，若，则y的取值范围是（ ）
A.（，） B.（，）
C.（，） D.（，）
【解析】本题与例7正好形成反向转化，由可知M在以F1， F2为直径的圆的内部.
由C：，可得F1，F2为直径的圆的方程为.
由，可得;由可知M在以F1，F2为直径的圆的内部，所以.答案为A.
类型二：利用直线斜率与倾斜角的关系进行数形转化.
【例9】（2015全国卷I）在直角坐标系xoy中，曲线C：与直线y = kx+a（a>0）交于M，N两点. y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【解析】本题的关键在于解决“怎么用代数形式表达∠OPM=∠OPN？”这一几何问题，因为点P是y轴上的点，所以当∠OPM=∠OPN时，直线PM、PN关于y轴对称.由此可知，直线PM、PN的倾斜角互补，故直线PM、PN的斜率互为相反数，这样就把问题转为求证直线PM、PN的斜率相加为零的简单代数问题.
证明：设P（0，b）为符合题意的点，M（x1， y1），N（x2， y2），直线PM，PN的斜率分别为k1， k2. 将y=kx+a代入C的方程整理得x2+4kx-4a = 0，所以x1+ x2= 4k，x1 x2=-4a.则.当b= -a时，有k1+ k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，又因为点P在y轴上，所以∠OPM=∠OPN，P（0， -a）符合题意.
【例10】（2017全国卷II）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x的轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为直线的斜率为，所以倾斜角为60°，又因为MN与准线垂直，所以MN与x轴平行，所以∠NMF=60°. 由抛物线定义可知，故△NMF为等边三角形.根据前文介绍的焦半径与倾斜角公式，在边长为4的等边△NMF中可得M到直线NF的距离为.
点评：本题是对直线斜率与倾斜角关系、抛物线定义、焦半径公式三个内容的完美应用.
通过以上内容，我们从三个方面总结了解析几何的解题方法和策略. 从中我们可以体会到，解析几何的解题不光只是复杂的计算，它还有很多有趣的结论和美妙的转化.有了这些方法和策略，我们的解题可以变得高效又富有乐趣. 当然，奇妙的解析几何中还有很多有趣的问题，还有很多的好结论、好技巧和好方法，希望同学们不断努力、继续开拓！