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在数学课堂的例题教学中能够一题多解的题目往往是教师所青睐的,这类题往往能促进学生的思维发展,活跃课堂气氛,激发学生学习数学的热情.但并不是一题多解的解法越多越好,也不要一题多解好就每道题都追求解法多、全、新.下面我选取了日常教研工作中几个例子来说说如何把握例题教学中的一题多解的“度”,如何根据课堂教学的需要选取例题的典型的解法来讲解例题.
例1一元一次方程的应用—相遇问题
原题:西安站和武汉站相距1500 km,一列慢车从西安开出,速度为65 km/h,一列快车从武汉开出,速度为85 km/h,两车同时相向而行几小时相遇?
先让学生回忆小学里面的解法: 相遇的时间等于总路程除以两车速度的和即
1500÷(65+85)=10(小时)
再让学生考虑用设未知数列方程来解决:
设两车经过x小时后相遇,分析题目中速度、时间和路程之间的关系
到这里我认为应该重点讲如何分析题目,表格与线段图的关系.可是这位教师为了突出一题多解,让学生思考这一题还有其他解法吗?并让学生思考了两分钟,学生找不到思路.教师这里很着急,提示了一下:假如设慢车的行驶路程为y千米,应该怎么列方程呢?(学生仍然没有反应)
设慢车的行驶路程为y千米,快车的行驶路程为(1500-y)千米,根据题意列方程得
y65=1500-y85.
先解出y=650,再求出时间为
y65=10(小时)
点评:这位教师所犯的问题是一题多解贪多.在七年级学生对列方程解应用题尚不熟练的情况下,抓住一类常见的题型---相遇问题作为一元一次方程应用的研究专题.本来是对七年级学生而言是一节有针对性、有实效性、有数学应用意识的好课.这位教师在讲例题时,没有重点抓住速度、路程和时间的关系给学生讲用表格和线段图分析题目中已知条件之间的关系的方法,以及如何运用表格和线段图找等量关系列方程,而是把重点放在找不同的解法我认为是不妥的.而且例题中要求相遇的时间是多少?设慢车的行驶路程为y,也的确不是一种高明的方法.教师纯粹为了一题多解而设慢车行驶路程为y的方法.不仅是方法的繁简问题,更重要的让大多数学生对如何设未知数没有头绪.在新授课时,我们应把重点放在通法的讲解上,而不应让学生去思考特殊的解法.如果有学生提出来,也可讲解但一个必不可少的步骤就是比较两种方法的优劣.让学生学会解题时统筹考虑解法,一般方法和简捷的方法一直是我们优先考虑的.
例2一节相交线平行线的复习课
在复习完成知识点后,教师讲了这样一道例题
教师先分析图中A∥CD,但没有相应的平行线被第三条直线所截的基本图形,可以考虑作辅助线构造.再请学生说出自己的解题的思路,然后让两位学生上黑板板演解题过程.最后教师补充其他方法.
方法1:如图2过点E作EF∥A, 所以∠AE+∠EF=180°,∠EF=60°,因为A∥CD,所以EF∥CD,所以∠CEF=∠ECD=35°,所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.
方法2:如图3过点E作EF∥A,所以∠EF=∠AE=120°,因为A∥CD,所以EF∥CD,所以∠CEF+∠ECD=180°,所以∠CEF=145°,所以∠EC=360°-∠EF-∠FEC=95°.
方法3:如图4延长A至点M,过点E作EF∥A,∠ME=180°-120°=60°,因为A∥CD,A∥EF,所以EF∥CD,所以∠EF=∠ME=60°,∠FEC=∠ECD=35°,所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.
方法4:如图5延长E交CD于点F,因为A∥CD,所以∠AE+∠EFC=180°,所以∠EFC=60°,在△EFC中,∠CEF=180°-∠C-∠EFC=85°,
所以∠EC=180°-∠EFC=95°.
方法5:如图6延长CE交A的延长线于点F,
因为A∥CD,所以∠AFE=∠ECD=35°,∠FE=180°-∠AE=60°,
所以∠EF=180°-∠FE-∠AFE=85°,所以∠EC=180°-∠EF=180°-85°=95°.
点评:
1.方法3有必要介绍吗?
这位教师讲完方法1、2之后,难能可贵的是他没有就此打住,而是提示学生已经学过的基本图形(图7)中有结论∠AEC=∠AE+∠DCE.于是可以延长A至M得图4.
虽然这种解法不一定简捷,但这种解法让学生体会了转化的数学思想,化一般为特殊,把不熟悉的图形转化为熟悉的基本图形解决问题是一种非常重要的数学方法.我认为在平时教学过程中要经常运用,让学生熟悉这也是一种重要的解决问题的方法.
2.方法4和方法5超要求,要不要讲?
我们知道在小学里学生就已经学过了三角形的内角和为180°的结论,只是没有给出严格的数学证明.三角形的内角和定理是初二的教学内容,但小学里已经有的数学结论是完全可以用于解题.初一的学生完全可以用初二、初三的定理公理来解题,同样在中考中运用高中的定理公理来解题也是可以.我们应该鼓励学生钻研探究知识的积极性,不宜加大学生的学习负担,而应该围绕本课的复习重点展开教学活动.
例3九年级试卷讲评课.
方法1:如图9,可以通过证明DH上点D到AH和CH的距离相等来证明:过点D分别作DM⊥CH,DN⊥AH交HA的延长线于点N,通过证明三角形全等来证明DM=DN.
方法2:通过相似证明:如图8,若∠DHC=∠AHD,则∠EHC=∠DHC,而∠HEC=∠HCD,所以可以通过证明△DCH∽△HCE来证.
方法3:如图10构造全等三角形证明,延长HF至点G,使得AH=HG,因为∠AHG=∠CHE=60°,所以△AHG为等边三角形,易证△GAC≌△HAD,所以∠AHD=∠AGC=60°,所以∠CHD=∠AHD=60°.
点评:这位教师主要的问题把讲解的重点放在学生不易懂的方法3和方法3上,而忽视了对学生能想到证明角相等的一般方法证明指导.方法2和方法3虽然巧妙,但学生考试的时候不易想到,而方法1证明三角形的全等的困难应该帮学生梳理清楚和重点讲解,不能一带而过.方法 2和方法3我们应从不同的角度来分析和处理问题方面给学生指导,所以可以略讲,可以把方法2和方法3的具体的证明过程作为课后探究的内容.
教学中应该注意的几个问题:
1.重解法种数,轻通法指导
有不少教师讲解一道有多种解法的题时,往往挖空心思想它有多少种解法.却不知学生在具体解题时只采用一种方法,所以我们应当围绕符合学生认知规律和结合学生知识生长点去把学生讲懂.要让学生会找方法,指导学生去根据题目中的已知条件图形去寻找有用的信息,找到解决问题的突破口才是我们课上应该重点花时间的地方.
2.重解法的列举,轻解法总结
对于一题多解的题目,教师各种解法的讲解后往往没有必要的小结,特别是对各种解法的比较.只有对各种不同的解法进行具体的分析和指导之后,才能让学生在作业和考试过程中能快速找到最佳的解题途径.
3.重解法的讲解,轻学生对解法的领悟
课堂教学应该让学生说出不同的解法,而不是只讲自己课前准备的解法,这样学生听课被你牵着鼻子走,但课堂效率往往不高.如果让学生先思考后再回答,我们教师的讲解应该围绕学生来展开,更何况有时学生的回答会有意想不到的妙法.教师通过学生的回答,发现学生在分析解决问题中存在的共性问题,然后有针对性的讲解才是提高学生解题能力的根本方法.
因此在平时的课堂教学中,教师要把握一题多解的“度”,要根据学生的认知水平和能力水平来综合考虑,千万不能只求多、求全浪费课堂教学时间.一题多解,绝不仅仅是要训练学生的思维,更重要的是巩固、消化、和复习所学知识.鼓励学生多思考解法,教师课前要充分备课,对个别学生的特殊解法应根据情况,如确是巧解妙解,可以在课堂上讲解,对于较繁、不易的方法宜个别指导.例题的讲解应把重点放在指导学生对解题方法的指导和小结,让学生学会取舍,能根据题目的具体特点合理选择解题方法.只有这样的例题讲解才是有效的,能动的,才能让大多数学生学得轻松,走出题海.
例1一元一次方程的应用—相遇问题
原题:西安站和武汉站相距1500 km,一列慢车从西安开出,速度为65 km/h,一列快车从武汉开出,速度为85 km/h,两车同时相向而行几小时相遇?
先让学生回忆小学里面的解法: 相遇的时间等于总路程除以两车速度的和即
1500÷(65+85)=10(小时)
再让学生考虑用设未知数列方程来解决:
设两车经过x小时后相遇,分析题目中速度、时间和路程之间的关系
到这里我认为应该重点讲如何分析题目,表格与线段图的关系.可是这位教师为了突出一题多解,让学生思考这一题还有其他解法吗?并让学生思考了两分钟,学生找不到思路.教师这里很着急,提示了一下:假如设慢车的行驶路程为y千米,应该怎么列方程呢?(学生仍然没有反应)
设慢车的行驶路程为y千米,快车的行驶路程为(1500-y)千米,根据题意列方程得
y65=1500-y85.
先解出y=650,再求出时间为
y65=10(小时)
点评:这位教师所犯的问题是一题多解贪多.在七年级学生对列方程解应用题尚不熟练的情况下,抓住一类常见的题型---相遇问题作为一元一次方程应用的研究专题.本来是对七年级学生而言是一节有针对性、有实效性、有数学应用意识的好课.这位教师在讲例题时,没有重点抓住速度、路程和时间的关系给学生讲用表格和线段图分析题目中已知条件之间的关系的方法,以及如何运用表格和线段图找等量关系列方程,而是把重点放在找不同的解法我认为是不妥的.而且例题中要求相遇的时间是多少?设慢车的行驶路程为y,也的确不是一种高明的方法.教师纯粹为了一题多解而设慢车行驶路程为y的方法.不仅是方法的繁简问题,更重要的让大多数学生对如何设未知数没有头绪.在新授课时,我们应把重点放在通法的讲解上,而不应让学生去思考特殊的解法.如果有学生提出来,也可讲解但一个必不可少的步骤就是比较两种方法的优劣.让学生学会解题时统筹考虑解法,一般方法和简捷的方法一直是我们优先考虑的.
例2一节相交线平行线的复习课
在复习完成知识点后,教师讲了这样一道例题
教师先分析图中A∥CD,但没有相应的平行线被第三条直线所截的基本图形,可以考虑作辅助线构造.再请学生说出自己的解题的思路,然后让两位学生上黑板板演解题过程.最后教师补充其他方法.
方法1:如图2过点E作EF∥A, 所以∠AE+∠EF=180°,∠EF=60°,因为A∥CD,所以EF∥CD,所以∠CEF=∠ECD=35°,所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.
方法2:如图3过点E作EF∥A,所以∠EF=∠AE=120°,因为A∥CD,所以EF∥CD,所以∠CEF+∠ECD=180°,所以∠CEF=145°,所以∠EC=360°-∠EF-∠FEC=95°.
方法3:如图4延长A至点M,过点E作EF∥A,∠ME=180°-120°=60°,因为A∥CD,A∥EF,所以EF∥CD,所以∠EF=∠ME=60°,∠FEC=∠ECD=35°,所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.
方法4:如图5延长E交CD于点F,因为A∥CD,所以∠AE+∠EFC=180°,所以∠EFC=60°,在△EFC中,∠CEF=180°-∠C-∠EFC=85°,
所以∠EC=180°-∠EFC=95°.
方法5:如图6延长CE交A的延长线于点F,
因为A∥CD,所以∠AFE=∠ECD=35°,∠FE=180°-∠AE=60°,
所以∠EF=180°-∠FE-∠AFE=85°,所以∠EC=180°-∠EF=180°-85°=95°.
点评:
1.方法3有必要介绍吗?
这位教师讲完方法1、2之后,难能可贵的是他没有就此打住,而是提示学生已经学过的基本图形(图7)中有结论∠AEC=∠AE+∠DCE.于是可以延长A至M得图4.
虽然这种解法不一定简捷,但这种解法让学生体会了转化的数学思想,化一般为特殊,把不熟悉的图形转化为熟悉的基本图形解决问题是一种非常重要的数学方法.我认为在平时教学过程中要经常运用,让学生熟悉这也是一种重要的解决问题的方法.
2.方法4和方法5超要求,要不要讲?
我们知道在小学里学生就已经学过了三角形的内角和为180°的结论,只是没有给出严格的数学证明.三角形的内角和定理是初二的教学内容,但小学里已经有的数学结论是完全可以用于解题.初一的学生完全可以用初二、初三的定理公理来解题,同样在中考中运用高中的定理公理来解题也是可以.我们应该鼓励学生钻研探究知识的积极性,不宜加大学生的学习负担,而应该围绕本课的复习重点展开教学活动.
例3九年级试卷讲评课.
方法1:如图9,可以通过证明DH上点D到AH和CH的距离相等来证明:过点D分别作DM⊥CH,DN⊥AH交HA的延长线于点N,通过证明三角形全等来证明DM=DN.
方法2:通过相似证明:如图8,若∠DHC=∠AHD,则∠EHC=∠DHC,而∠HEC=∠HCD,所以可以通过证明△DCH∽△HCE来证.
方法3:如图10构造全等三角形证明,延长HF至点G,使得AH=HG,因为∠AHG=∠CHE=60°,所以△AHG为等边三角形,易证△GAC≌△HAD,所以∠AHD=∠AGC=60°,所以∠CHD=∠AHD=60°.
点评:这位教师主要的问题把讲解的重点放在学生不易懂的方法3和方法3上,而忽视了对学生能想到证明角相等的一般方法证明指导.方法2和方法3虽然巧妙,但学生考试的时候不易想到,而方法1证明三角形的全等的困难应该帮学生梳理清楚和重点讲解,不能一带而过.方法 2和方法3我们应从不同的角度来分析和处理问题方面给学生指导,所以可以略讲,可以把方法2和方法3的具体的证明过程作为课后探究的内容.
教学中应该注意的几个问题:
1.重解法种数,轻通法指导
有不少教师讲解一道有多种解法的题时,往往挖空心思想它有多少种解法.却不知学生在具体解题时只采用一种方法,所以我们应当围绕符合学生认知规律和结合学生知识生长点去把学生讲懂.要让学生会找方法,指导学生去根据题目中的已知条件图形去寻找有用的信息,找到解决问题的突破口才是我们课上应该重点花时间的地方.
2.重解法的列举,轻解法总结
对于一题多解的题目,教师各种解法的讲解后往往没有必要的小结,特别是对各种解法的比较.只有对各种不同的解法进行具体的分析和指导之后,才能让学生在作业和考试过程中能快速找到最佳的解题途径.
3.重解法的讲解,轻学生对解法的领悟
课堂教学应该让学生说出不同的解法,而不是只讲自己课前准备的解法,这样学生听课被你牵着鼻子走,但课堂效率往往不高.如果让学生先思考后再回答,我们教师的讲解应该围绕学生来展开,更何况有时学生的回答会有意想不到的妙法.教师通过学生的回答,发现学生在分析解决问题中存在的共性问题,然后有针对性的讲解才是提高学生解题能力的根本方法.
因此在平时的课堂教学中,教师要把握一题多解的“度”,要根据学生的认知水平和能力水平来综合考虑,千万不能只求多、求全浪费课堂教学时间.一题多解,绝不仅仅是要训练学生的思维,更重要的是巩固、消化、和复习所学知识.鼓励学生多思考解法,教师课前要充分备课,对个别学生的特殊解法应根据情况,如确是巧解妙解,可以在课堂上讲解,对于较繁、不易的方法宜个别指导.例题的讲解应把重点放在指导学生对解题方法的指导和小结,让学生学会取舍,能根据题目的具体特点合理选择解题方法.只有这样的例题讲解才是有效的,能动的,才能让大多数学生学得轻松,走出题海.