【摘 要】目的为基础滑移隔震MDOF结构地震反应时程分析计算提供精确解析解算法.方法通过对结构滑移、啮合两种状态边界条件的判断及振型分解法运动方程的建立，并通过对两种运动状态下解的正则坐标的坐标变换实现了两种运动状态的衔接.结果通过计算机编程及具体的工程实例进行仿真计算，并与同一实例的数值近似算法结论进行对比，发现本算法精确度高且性能稳定。结论振型分解法同样适用于基础滑移隔震MDOF结构地震反应时程分析计算并为其它数值近似算法提供精确解析解。
　　【关键词】基础滑移隔震；时程分析法；振型分解法；解析解
　　建筑减震[1]的优势表现在地震历程的中后期，建筑隔震[1]的优势表现在地震历程的前期，地震发生时破坏力最强的阶段往往发生在地震历程的前几秒[2]，所以建筑基础滑移隔震逐步成为热门研究课题，基础滑移隔震结构地震反应时程分析算法常用的是等数值算法[3]，其时间积分步长的合理选择对计算结果的精度的影响很大，并直接影响到计算结果的稳定性，决定时间积分步长的主要因素有两个：（1）结构的最小自振周期，（2）输入地震波谱中所包含的最高频率。实践证明数值算法会有较大的时间损耗，而且计算精度及稳定性也不好保证，本文就是在这种情况下寻求精确解析解且计算在整个历时过程无时间衰减的基础滑移隔震多自由度（MDOF）结构地震反应时程算法的研究。它通过对结构滑移、啮合两种状态边界条件的判断及振型分解法运动方程的建立，并通过对两种运动状态下解的正则坐标的坐标变换实现了两种运动状态的衔接，从而实现了计算机的仿真，成功找到了本问题的精确解析解算法。
　　1.无阻尼多自由度结构在滑移状态下的运动方程及求解
　　设有一层的剪切型具有滑移隔震基础的MDOF结构，基础的质量为，向上每层的质量依次为：结构在时刻处于滑动状态，为基础在本时间段在总整体时间坐标系里的绝对位移，为第层的绝对位移函数；为第层柱子的总刚度，为结构的总重量，为基础和地面滑动平台之间摩擦材料的动滑动摩擦系数，为基础和地面滑动平台之间摩擦材料的静滑动摩擦系数，为已知的地震动函数，为提高计算精度，本文采用的是摩擦力模型，则基础下表面所受的滑动摩擦力为，则有运动方程：
　　（1）
　　其中；
　　；
　　，它们皆为阶矩阵，方程（1）解的形式为：
　　（2）
　　由于结构在滑动时会出现一个平动振型，与其对应的结构自频是零，那么上式中的正则坐标中将出现分母为零的状态，这样一来计算机运算时将会逸出并致使计算中断，所以必须对上式中的与对应的正则坐标进行化简！
　　================
　　+
　　+
　　====================+
　　+。
　　其中： ；。
　　这里是结构的第个固有频率；是结构与对应的第个固有振型。
　　分析：若当时，与其对应的平动振型为：，若在时刻；
　　，则有：
　　，这里，由此可以发现结构的整体滑动的原因就是由于本平动振型的出现使结构会发生大幅度的平移的可能。
　　2.无阻尼多自由结构在啮合状态下的运动方程及求解
　　若在时刻基础滑移结构由于静滑动摩擦力的过大会导致基础和地面平台之间咬合在一起运动，这时结构的运动状态将和上节所说的大不一样：这时基础的运动状态是明确的，它的速度和加速度都和地震动函数对应的一样，这时候的结构实质上是一个个自由度的结构，我们可以将一层楼盖的质量改为，向上依次为，结构的各层位移函数依次为。则结构的运动方程如下：
　　（3）
　　和式（1）相比这里的刚度矩阵和质量矩阵已发生了变化：阶数皆为，且这时的
　　=
　　=。
　　这里的K11为（1）式中刚度矩阵左上角的第一个元素，为时刻基础的位移函数，它相当于（1）式中的。式（3）的解的形式为：
　　（4）
　　注意（4）式中的与（2）中的是不一样的，它们的数据的具体取值和（3）式中的、有关。同时注意（3）式所对应的结构的固有频率不会有零的情况存在，所以（4）式的计算机运算不会溢出。
　　3. 结构啮合、滑移两种运动状态切换临界边界条件的判定方法
　　当基础的速度和地面平台的速度相同时刻将是运动状态转换的关键时刻，这时结构是继续滑动还是和地面啮合运动？又当二者咬合到什么时候又开始滑动？若是继续滑动的话滑动摩擦力的方向是保持不变还是相反？这两个问题实质上就是边界条件的判定问题。
　　当=0 时，结构的基础和地面不再发生相互运动，这时候静滑动摩擦力将会发生作用，而且通常它比动滑动摩擦力要大得多，这样一来结构的减震效果将会变差，所以要重视静滑动摩擦力对结构的影响。
　　3.1 结构滑动后是否啮合的判定方法
　　显然当=0 时，如果>，结构继续滑动；
　　如果<，结构开始啮合。
　　3.2结构啮合后是否松开的判定方法
　　当=时，若有：
　　>0
　　且>0 或
　　<0
　　且<0时
　　结构将会开始滑动，否则的话结构将会继续保持啮合状态。
　　3.3结构滑动后是否继续滑动的判别方法
　　当时，若结构过点后继续滑动，则滑动摩擦力的方向必变号。这种情况的具体操作方法是通过左侧邻近时的值来判断滑动摩擦力的方向。
　　当时，若结构过点后继续滑动，则滑动摩擦力的方向由左侧邻近时的值来判断，若，再比较它们的更高阶导数，依此类推。
　　4. 振型分解法下的编程运算和计算机仿真
　　多自由度无阻尼基础滑移结构动态仿真的目的是全程模拟结构各层的运动状态，跟踪结构的任何构件瞬态的位移和内力响应，从而可以预测结构的抗震能力。 　　编程运算[6]的基本思路是：由结构的初始条件和力边界条件确定结构的第一个运动状态，当结构进入临界点时，由临界点的结构参数和外力参数确定临界点过后的下一个运动状态的力边界条件和运动类型，并将第一个运动状态末结构的位移、速度做为第二个运动状态的初始条件，就这样上一个运动状态的终点就是下一个运动状态的起点，循环往复就象接力赛一样直至需要的时间里程。
　　5. 谐波地震动下的程序计算实例
　　工程算例：下面为一无阻尼单层滑移基础隔震结构，千克，千克，，静滑动摩擦系数=，动滑动摩擦系数，结构无限弹性，初始静止，求当地面发生简谐震动：时，结构底层基础和一层楼盖的时程位移曲线。
　　图1 基础滑移隔震实例
　　经计算本系统有两个自振频率：，对应的振型为：；，对应的振型为：，亚自振频率为：；对应的振型为：（1）；重力加速度为：，将以上系统数据输入计算机便得出各层的时程位移曲线（图2、图3、图4）：
　　图2 底层基础的精确解析解时程位移曲线
　　图3 一层楼盖的精确解析解时程位移曲线
　　图4 振型分解法下的精确解析解层间位移时程图
　　图5 0.01秒步长计算3000次时
　　近似解层间位移时程图
　　图6 0.005秒步长计算6000次时
　　近似解层间位移时程图
　　图7 0.0025秒步长计算12000次时
　　近似解层间位移时程图
　　注：以上各图中红色表示的是滑移状态，绿色表示的是啮合状态。
　　6. 计算实例结论分析
　　通过上述实例的两种时程分析算法计算机仿真结果的对比（即图4与图5、图6、图7的比较及计算机磁盘数据库里的数据对比）：当时间历程到20.236秒时，0.005时间步长、6000次运算的时程法算出的顶层楼盖的绝对位移为-13.22665米；0.0025时间步长、12000次运算的时程法算出的顶层楼盖的绝对位移为-13.15306米；0.001时间步长、30000次运算的时程法算出的顶层楼盖的绝对位移为-12.72314米；而本文的振型分解时程算法计算出的本时刻顶层楼盖的绝对位移精确解为-12.23766米。由此看出时程算法是依靠逐步缩小积分时间步长及增加运算次数来提高精度的，并逐渐靠近精确解；本文同时发现：在前30秒的历程中，振型分解法没有任何计算时间损耗，而算法却有不同程度的时间损耗，请看表1：
　　表1 法下
　　有效计算时段随时间步长的衰减情况表
　　计算控制步长（秒） 计算次数（次） 理论控制计算时段长度（秒） 实际有效计算时段长度（秒）
　　0.01 3000 30 28.4347513847724
　　0.005 6000 30 29.2344803916257
　　0.0025 12000 30 29.5952483279541
　　0.001 30000 30 29.8460827020333
　　由此本文得出如下结论：振型分解时程法同样适用于基础滑移隔震MDOF结构地震反应时程分析计算，并为其它数值近似算法提供精确解析解；本时程算法不需要精心选择积分时间步长，没有计算时间损耗，并且具有计算性能稳定、精确度高的优点；所以它可以为其它近似数值算法提供较精确的对比参照解，以检验其它基础滑移隔震MDOF结构地震反应时程分析计算方法的可靠性；本时程算法可以推广到真实地震波下的结构计算；但计算机仿真实践实例发现本算法也具有计算速度慢的缺点。
　　参考文献：
　　[1] 胡聿贤.地震工程学[M].北京：地震出版社，1988.
　　[2] 李宏男.建筑抗震设计原理[M].北京：中国建筑工业出版社，1996.
　　[3] 张相庭，王志陪等.结构振动力学（第二版）[M].上海：同济大学出版社出版，2005.
　　[4] 朱伯芳.有限单元法原理与应用[M].北京：中国水利水电出版社，1998.
　　[5] 张国瑞等. 有限单元法[M]. 北京：机械工业出版社，1991.
　　[6] 刘瑞新等.VisualBasic程序设计教程（第二版）[M].北京：电子工业出版社，2003.
　　[7] 张延年，李宏男.双向耦合地震作用下滑移隔震结构振动控制及其优化研究[J]. 地震工程与工程振动，2007年第1期（Vol.27， No.1）.
　　作者简介：
　　李和玉（1970年1月生），男，硕士，讲师，任教于黑龙江林业职业技术学院土木工程学院，所学专业：工程力学。