论文部分内容阅读
摘 要： 在实际应用场合中，相控阵雷达的阵列天线所包含的阵元数往往很多，使得对信号处理机的硬件结构和运算处理能力的要求非常高，针对该情况，提出了基于粒子群算法的子阵合成方法。由于均匀无重叠子阵合成存在的测角模糊，以及均匀重叠划分带来的硬件设备量的增加，考虑采用非均匀子阵合成结构。该方法以角度估计的克拉美罗界为适应度函数，通过粒子群算法进行子阵优化，避免了遗传算法的选择、交叉和变异，操作简单，收敛速度快。计算机仿真验证了该方法的有效性和可行性。
关键词： 阵列天线； 粒子群算法； 子阵合成； 克拉美罗界； 适应度函数
中图分类号：TN957 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）07-03-05
0 引言
波达方向（Direction-Of-Arrival，DOA）估计作为阵列信号处理的重要研究内容之一，越来越受到人们的广泛关注，尤其是以MUSIC[1]和ESPRIT[2]为代表的子空间类超分辨算法。在实际工程应用中，阵列天线所包含的阵元数通常较多，带来的问题是硬件实现的复杂度和设备量的增加及运算量的剧增。子阵合成技术无疑是较为有效的解决该问题的措施之一，不仅运算量小，收敛速度快，且所需的系统设备少[3]。子阵合成通常可分为无重叠均匀合成、部分重叠均匀合成和非均匀合成。对于无重叠均匀合成，由于合成后得到的子阵的等效相位中心间距大于半波长，从而导致测角模糊。对于部分重叠均匀合成，虽然可以通过调整重叠的阵元数来避免栅瓣的出现，但重叠共用的阵元也同时增加了硬件的复杂度。非均匀合成是通过改变各个子阵的方向图来破坏子阵的周期性，进而避免栅瓣的出现。实际中较常用的是非均匀合成方法，互不交迭的邻接子阵结构因没有共享阵元而易于在微波段实现和控制，同时又克服了栅瓣效应对自适应处理的影响。由于大型阵列阵元数较多，子阵合成的数学组合方式太多，需要进行全局最优搜索，常见的有遗传算法[4]，模拟退火算法 （Simulated Annealing，SA）[5]和粒子群算法[6]等。
遗传算法是借鉴生物的自然选择和“适者生存，不适者淘汰”的遗传机制而发展的一种全局优化自适应概率搜索算法。粒子群算法模拟的是鸟群捕食行为。与遗传算法相比，PSO算法避免了交叉、选择和变异等基本操作，所以更为简单，便于实现；在PSO算法中，只有个体最优解（Personal Best，Pbest）和群体最优解（Global Best， Gbest）的信息传给了其他粒子，整个搜索过程是跟随最优解的过程，因此，在大多数情况下具有更好的收敛性。文献[6-8]都将粒子群算法应用到阵列天线方向图综合中，适应度函数均与方向图的电平有关。文献[9]以阵列的克拉美罗界为目标函数，固定阵列孔径和阵元数，利用遗传算法搜索最优的非等距线阵（Nonuniform Linear Array，NLA）阵列。本文提出了基于粒子群算法的子阵合成方法，以角度估计的CRB为适应度函数，借助PSO算法进行子阵合成优化。
1 信号模型
半波长排列的L元等距线阵，假设空间存在P个窄带远场信号，入射角度为θp，p=1，…，P，则阵列接收的信号模型为
L元阵列合成为M元子阵，如图1所示，则L×M维的降维矩阵为B。由于非均匀划分后各个子阵的方向图不再一致，使得子阵输出的噪声功率不等，从而导致子阵级的自适应处理性能下降。故需要按照等噪声功率法[3]的原则，将B进行归一化，保证各个子阵输出的噪声功率相等，即
不失一般性，假设只有一个信源，当阵元间距为半波长，且阵列均匀划分，考虑阵元级加匹配权时的子阵级导向矢量为
当空间存在多个目标时，子阵级的阵列流形记为，阵元级指向θ0，则式（10）可以进一步改写为
2 粒子群算法
1995年，美国Kennedy博士和Eberhar博士提出一种较为新颖的优化算法[11]——粒子群优化算法。与其他进化算法相类似，该算法也是一种基于群体智能（Swarm Intelligence，SI）的优化算法，模拟的是鸟群觅食行为，通过鸟之间的相互协同和竞争使群体达到目的。在PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（Particle）。所有的粒子都有一个被优化的函数决定的适应度值（Fitness Value），每个粒子还有一个速度（Velocity）决定它们飞翔的方向和距离。PSO初始化为一群随机粒子（随机解），然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索找到最优解。粒子群中的粒子有记忆功能，每个粒子通过跟踪粒子本身找到的最优解Pbest和群体找到的最优解Gbest，更新粒子的位置和速度，不断向最优解靠近，最终达到最优解。
类似于遗传算法，PSO算法的基本组成单位是粒子。设一个N维空间中的第n个粒子的位置和速度分别为xn（t）=[xn1（t），xn2（t），…，xnD（t）]和vn（t）=[vn1（t），vn2（t），…，vnD（t）]，其中t表示进化代数，D表示解向量的维数，则由这N个粒子构成的第t代种群为X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]。Pn=[pn1，…，pnd，…，pnD]表示第n个粒子进化到第t代时经历的最好位置，即有最好的适应度值，而种群中所有粒子经历的最好位置为pg=[pg1，…，pgd，…，pgD]。粒子的速度和位置可通过如下公式进行更新：
vnd（t+1）=vnd（t）+c1r1（pnd-xnd（t））+c2r2（pgd-xnd（t）） （13）
xnd（t+1）=xnd（t）+vnd（t） （14）
其中，n=1，2，…，N，d=1，2，…，D，c1和c2為加速因子（Acceleration Factor），c1调节粒子飞向自身最好位置方向的步长，c2调节粒子向全局最好位置飞行的步长。r1和r2为分布于[0，1]之间的随机数，即ri=rand（·），i=1，2。式（13）中第一部分为粒子的初始速度；第二部分为“认知（Cognition）部分”，表示粒子本身的思考；第三部分为“社会（Social）部分”，表示粒子间的信息共享与合作。 為了防止粒子远离搜索空间，粒子的每一维速度都被限制在[-vdmax，vdmax]之间，vkmax太小容易陷入局部优化，太大则容易飞离最优解，通常根据优化变量搜索空间的边界选择速度的边界，假设第k维变量的搜索空间为[-xdmax，xdmax]，则vdmax=axdmax，通常a=0.1～0.9。因此在对速度和位置进行更新以后，若速度或位置越界，则对粒子进行越界处理。文献[11]给出了越界时的三种方法，包括吸取边界、发射边界和隐形边界。吸收边界是指取粒子在这一维的边界值，反射边界是保持粒子速度的大小不变，方向取反，而隐形边界则不评估其适应度，也不参与下一轮的最优个体竞争。本文选用的是吸收边界的方法。
为了更好地开发PSO算法的探测能力，Shi等人在公式中引入了惯性权重w，即线性递减权值（linearly decreasing weight，简称LDW）策略：
其中wmin=0.4，wmax=0.9，T为最大进化代数。惯性权重是为了使粒子保持运动的惯性，使其有扩展搜索空间的趋势。由式（16）可知，随着t的增加，w逐渐减小。在进化初期，较大的w有利于进行全局搜索，避免陷入局部最优，随着进化代数的增加，较小的w则有利于算法的收敛。如果w=0，则粒子速度只取决于它当前位置Pbest和Gbest，速度本身没有记忆。
3 本文算法描述
在很多实际应用场合中，阵列中的阵元数可能很多，如多功能相控阵雷达中，阵元数常常达到数千甚至上万，此时如果仍然采用阵元级处理显然是不可行的，包括硬件的设备量和实际的运算处理能力都无法承受。针对这种情况，通常采用子阵合成结构，将若干个阵元合成为一个子阵，后接一个接收机，从而有效地降低系统成本和实现复杂度。常用的子阵合成分为三类：无重叠均匀合成、部分重叠均匀合成和非均匀合成。考虑到测角模糊及易实现性，实际中较常用的为非均匀合成。
现有的很多算法都是从天线方向图出发，以其主副比为适应度函数，利用遗传算法或者PSO等优化算法进行全局搜索。本文从阵列测角精度出发，提出了以子阵合成后估计角度的CRB为适应度函数，即
其中Re（·）为取实部，diag（·）为对角化操作，S（i）=diag[s1（i），…，sp（i）]，，D=[d（β1），…，d（βp）]，σ2表示噪声功率，可用（M-P）个小特征值的平均来估计， d（β）=da（β）/dβ是导向矢量的一阶导数，。
注意到式（18）与信号的入射角度、信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）、快拍数以及阵列流形都有关系，图4给出了理想情况下的CRB（θ）随这些参数的变化曲线。
显然，式（17）的值越小越好，为了使其呈增大趋势，且表示简单，式（17）可改写为
以下给出算法的基本步骤。
⑴ 初始化：设定合成的子阵数N和子阵规模，即子阵包含阵元数的范围[1，Lsmax]，学习因子c1和c2，最大进化代数T，种群数N，粒子起始位置和速度以及速度边界[-vdmax，vdmax]。随机产生N个粒子，并计算其适应度值，当前自身的最优值Pbest，从初始种群中找到最优的适应度值作为全局最优值Gbest。
⑵ 更新粒子速度和位置，计算当前粒子的适应度值，并与之前的Pbest和Gbest相比较，若更优则替换。
⑶ 判断速度和位置是否越界，若越界进行越界处理。
⑷ 判断是否达到预设的最大进化代数T，是终止迭代，否则跳至⑵。
4 计算机仿真
仿真实验：均匀直线阵，阵元数为N=128，阵元间距为半波长，合成为8个子阵，假设每个子阵的阵元数不超过32个，即阵元数的变化范围为1到32之间，且所有子阵的阵元数之和为128，相当于在1到32之间变化的8个数的组合为128。空间存在两个目标，信噪比分别为10dB和5dB，入射角度为10?和0.8?。考虑以角度估计的CRB为适应度函数，采用粒子群算法迭代100次，初始代中的粒子数为20，寻找最优的子阵合成结构。
初始速度v0不能太大，否则更新速度公式中的第一项值较大，使得更新速度的值整体偏大，产生全是为正的值，也就是说所有粒子都呈增大趋势，这会使得总的阵元数超过固定值。故选取v0=0.1，c1=c2=2。
这里假设阵元级直接合成，即加全1的幅度权。图5是最优粒子的收敛曲线，图6是子阵合成的MUSIC谱，在零度方向既有深凹口，同时又有谱峰，这与前面的分析结果相吻合。图7为图6的局部放大图，从图7可以看出优化得到的子阵能很好地分辨0?～0.8?之间的目标。
5 结束语
针对实际中的大型阵列，本文提出了基于PSO算法的子阵合成方法。与现有的大多算法不同，该方法不是以方向图的主副比为适应度函数，而是角度估计的CRB，使得优化后的子阵具有较好的角度估计精度。与遗传算法相比，避免了选择、交叉和变异等操作，实现更简单，收敛速度更快。计算机仿真验证了所提方法的有效性。
参考文献：
[1] Schmidt R O. Multiple emitter location and signal parameterestimation[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986.34（3）：276-280
[2] Roy R， Kailath T. ESPRIT-estimation of signal parameters viarotational invariance techniques[J].IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1989.37（7）：984-995 [3] 许志勇，保铮，廖桂生.一种非均匀邻接子阵结构及其部分自适应性能分析[J].电子学报，1997.25（9）：20-24
[4] 周明，孙树栋.遗传算法原理及应用（第1版）[M].国防工业出版社，1999.
[5] Vittotio Murino， Andrea Trucco， S. Carlo Regazzoni. Synthesis ofunequally spaced arrays by simulated annealing[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1996.44（1）：119-123
[6] 王一笑，郭陈江，丁君，王小平.基于粒子群优化算法的共形阵列天线图综合[J].计算机仿真，2008.25（8）：174-177
[7] 焦永昌，杨科，陈胜兵，张福顺.粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计[J].电波科学学报，2006.21（1）：16-20
[8] 陈腾博，焦永昌，张福顺.基于改进型粒子群算法的阵列天线综合[J].微波学报，2006.22（增刊）：39-43
[9] Gershman A B， Bohme J F. A note on most favorable array geometries for DOA estimation and array interpolation[J]. IEEE Signal Processing Letters，1997.4（8）：232-235
[10] 胡航，李紹滨，邓新红.重叠子阵平面相控阵ADBF的方向图控制[J].系统工程与电子技术，2007.29（12）：2001-2005
[11] Kennedy J， Eberhart R. Particle Swarm Optimization. Proceed-ings of the IEEE international conference on neuralnenworks， Perth，1995：1942-1948
[12] 王永良，陈辉，彭应宁，万群.空间谱估计理论与算法[M].清华大学出版社，2004.
[13] Stoica P， Nehorai A. MUSIC， maximum likelihood， and Cramer-Rao bound. IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1989.37（5）：720-741
关键词： 阵列天线； 粒子群算法； 子阵合成； 克拉美罗界； 适应度函数
中图分类号：TN957 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）07-03-05
0 引言
波达方向（Direction-Of-Arrival，DOA）估计作为阵列信号处理的重要研究内容之一，越来越受到人们的广泛关注，尤其是以MUSIC[1]和ESPRIT[2]为代表的子空间类超分辨算法。在实际工程应用中，阵列天线所包含的阵元数通常较多，带来的问题是硬件实现的复杂度和设备量的增加及运算量的剧增。子阵合成技术无疑是较为有效的解决该问题的措施之一，不仅运算量小，收敛速度快，且所需的系统设备少[3]。子阵合成通常可分为无重叠均匀合成、部分重叠均匀合成和非均匀合成。对于无重叠均匀合成，由于合成后得到的子阵的等效相位中心间距大于半波长，从而导致测角模糊。对于部分重叠均匀合成，虽然可以通过调整重叠的阵元数来避免栅瓣的出现，但重叠共用的阵元也同时增加了硬件的复杂度。非均匀合成是通过改变各个子阵的方向图来破坏子阵的周期性，进而避免栅瓣的出现。实际中较常用的是非均匀合成方法，互不交迭的邻接子阵结构因没有共享阵元而易于在微波段实现和控制，同时又克服了栅瓣效应对自适应处理的影响。由于大型阵列阵元数较多，子阵合成的数学组合方式太多，需要进行全局最优搜索，常见的有遗传算法[4]，模拟退火算法 （Simulated Annealing，SA）[5]和粒子群算法[6]等。
遗传算法是借鉴生物的自然选择和“适者生存，不适者淘汰”的遗传机制而发展的一种全局优化自适应概率搜索算法。粒子群算法模拟的是鸟群捕食行为。与遗传算法相比，PSO算法避免了交叉、选择和变异等基本操作，所以更为简单，便于实现；在PSO算法中，只有个体最优解（Personal Best，Pbest）和群体最优解（Global Best， Gbest）的信息传给了其他粒子，整个搜索过程是跟随最优解的过程，因此，在大多数情况下具有更好的收敛性。文献[6-8]都将粒子群算法应用到阵列天线方向图综合中，适应度函数均与方向图的电平有关。文献[9]以阵列的克拉美罗界为目标函数，固定阵列孔径和阵元数，利用遗传算法搜索最优的非等距线阵（Nonuniform Linear Array，NLA）阵列。本文提出了基于粒子群算法的子阵合成方法，以角度估计的CRB为适应度函数，借助PSO算法进行子阵合成优化。
1 信号模型
半波长排列的L元等距线阵，假设空间存在P个窄带远场信号，入射角度为θp，p=1，…，P，则阵列接收的信号模型为
L元阵列合成为M元子阵，如图1所示，则L×M维的降维矩阵为B。由于非均匀划分后各个子阵的方向图不再一致，使得子阵输出的噪声功率不等，从而导致子阵级的自适应处理性能下降。故需要按照等噪声功率法[3]的原则，将B进行归一化，保证各个子阵输出的噪声功率相等，即
不失一般性，假设只有一个信源，当阵元间距为半波长，且阵列均匀划分，考虑阵元级加匹配权时的子阵级导向矢量为
当空间存在多个目标时，子阵级的阵列流形记为，阵元级指向θ0，则式（10）可以进一步改写为
2 粒子群算法
1995年，美国Kennedy博士和Eberhar博士提出一种较为新颖的优化算法[11]——粒子群优化算法。与其他进化算法相类似，该算法也是一种基于群体智能（Swarm Intelligence，SI）的优化算法，模拟的是鸟群觅食行为，通过鸟之间的相互协同和竞争使群体达到目的。在PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（Particle）。所有的粒子都有一个被优化的函数决定的适应度值（Fitness Value），每个粒子还有一个速度（Velocity）决定它们飞翔的方向和距离。PSO初始化为一群随机粒子（随机解），然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索找到最优解。粒子群中的粒子有记忆功能，每个粒子通过跟踪粒子本身找到的最优解Pbest和群体找到的最优解Gbest，更新粒子的位置和速度，不断向最优解靠近，最终达到最优解。
类似于遗传算法，PSO算法的基本组成单位是粒子。设一个N维空间中的第n个粒子的位置和速度分别为xn（t）=[xn1（t），xn2（t），…，xnD（t）]和vn（t）=[vn1（t），vn2（t），…，vnD（t）]，其中t表示进化代数，D表示解向量的维数，则由这N个粒子构成的第t代种群为X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]。Pn=[pn1，…，pnd，…，pnD]表示第n个粒子进化到第t代时经历的最好位置，即有最好的适应度值，而种群中所有粒子经历的最好位置为pg=[pg1，…，pgd，…，pgD]。粒子的速度和位置可通过如下公式进行更新：
vnd（t+1）=vnd（t）+c1r1（pnd-xnd（t））+c2r2（pgd-xnd（t）） （13）
xnd（t+1）=xnd（t）+vnd（t） （14）
其中，n=1，2，…，N，d=1，2，…，D，c1和c2為加速因子（Acceleration Factor），c1调节粒子飞向自身最好位置方向的步长，c2调节粒子向全局最好位置飞行的步长。r1和r2为分布于[0，1]之间的随机数，即ri=rand（·），i=1，2。式（13）中第一部分为粒子的初始速度；第二部分为“认知（Cognition）部分”，表示粒子本身的思考；第三部分为“社会（Social）部分”，表示粒子间的信息共享与合作。 為了防止粒子远离搜索空间，粒子的每一维速度都被限制在[-vdmax，vdmax]之间，vkmax太小容易陷入局部优化，太大则容易飞离最优解，通常根据优化变量搜索空间的边界选择速度的边界，假设第k维变量的搜索空间为[-xdmax，xdmax]，则vdmax=axdmax，通常a=0.1～0.9。因此在对速度和位置进行更新以后，若速度或位置越界，则对粒子进行越界处理。文献[11]给出了越界时的三种方法，包括吸取边界、发射边界和隐形边界。吸收边界是指取粒子在这一维的边界值，反射边界是保持粒子速度的大小不变，方向取反，而隐形边界则不评估其适应度，也不参与下一轮的最优个体竞争。本文选用的是吸收边界的方法。
为了更好地开发PSO算法的探测能力，Shi等人在公式中引入了惯性权重w，即线性递减权值（linearly decreasing weight，简称LDW）策略：
其中wmin=0.4，wmax=0.9，T为最大进化代数。惯性权重是为了使粒子保持运动的惯性，使其有扩展搜索空间的趋势。由式（16）可知，随着t的增加，w逐渐减小。在进化初期，较大的w有利于进行全局搜索，避免陷入局部最优，随着进化代数的增加，较小的w则有利于算法的收敛。如果w=0，则粒子速度只取决于它当前位置Pbest和Gbest，速度本身没有记忆。
3 本文算法描述
在很多实际应用场合中，阵列中的阵元数可能很多，如多功能相控阵雷达中，阵元数常常达到数千甚至上万，此时如果仍然采用阵元级处理显然是不可行的，包括硬件的设备量和实际的运算处理能力都无法承受。针对这种情况，通常采用子阵合成结构，将若干个阵元合成为一个子阵，后接一个接收机，从而有效地降低系统成本和实现复杂度。常用的子阵合成分为三类：无重叠均匀合成、部分重叠均匀合成和非均匀合成。考虑到测角模糊及易实现性，实际中较常用的为非均匀合成。
现有的很多算法都是从天线方向图出发，以其主副比为适应度函数，利用遗传算法或者PSO等优化算法进行全局搜索。本文从阵列测角精度出发，提出了以子阵合成后估计角度的CRB为适应度函数，即
其中Re（·）为取实部，diag（·）为对角化操作，S（i）=diag[s1（i），…，sp（i）]，，D=[d（β1），…，d（βp）]，σ2表示噪声功率，可用（M-P）个小特征值的平均来估计， d（β）=da（β）/dβ是导向矢量的一阶导数，。
注意到式（18）与信号的入射角度、信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）、快拍数以及阵列流形都有关系，图4给出了理想情况下的CRB（θ）随这些参数的变化曲线。
显然，式（17）的值越小越好，为了使其呈增大趋势，且表示简单，式（17）可改写为
以下给出算法的基本步骤。
⑴ 初始化：设定合成的子阵数N和子阵规模，即子阵包含阵元数的范围[1，Lsmax]，学习因子c1和c2，最大进化代数T，种群数N，粒子起始位置和速度以及速度边界[-vdmax，vdmax]。随机产生N个粒子，并计算其适应度值，当前自身的最优值Pbest，从初始种群中找到最优的适应度值作为全局最优值Gbest。
⑵ 更新粒子速度和位置，计算当前粒子的适应度值，并与之前的Pbest和Gbest相比较，若更优则替换。
⑶ 判断速度和位置是否越界，若越界进行越界处理。
⑷ 判断是否达到预设的最大进化代数T，是终止迭代，否则跳至⑵。
4 计算机仿真
仿真实验：均匀直线阵，阵元数为N=128，阵元间距为半波长，合成为8个子阵，假设每个子阵的阵元数不超过32个，即阵元数的变化范围为1到32之间，且所有子阵的阵元数之和为128，相当于在1到32之间变化的8个数的组合为128。空间存在两个目标，信噪比分别为10dB和5dB，入射角度为10?和0.8?。考虑以角度估计的CRB为适应度函数，采用粒子群算法迭代100次，初始代中的粒子数为20，寻找最优的子阵合成结构。
初始速度v0不能太大，否则更新速度公式中的第一项值较大，使得更新速度的值整体偏大，产生全是为正的值，也就是说所有粒子都呈增大趋势，这会使得总的阵元数超过固定值。故选取v0=0.1，c1=c2=2。
这里假设阵元级直接合成，即加全1的幅度权。图5是最优粒子的收敛曲线，图6是子阵合成的MUSIC谱，在零度方向既有深凹口，同时又有谱峰，这与前面的分析结果相吻合。图7为图6的局部放大图，从图7可以看出优化得到的子阵能很好地分辨0?～0.8?之间的目标。
5 结束语
针对实际中的大型阵列，本文提出了基于PSO算法的子阵合成方法。与现有的大多算法不同，该方法不是以方向图的主副比为适应度函数，而是角度估计的CRB，使得优化后的子阵具有较好的角度估计精度。与遗传算法相比，避免了选择、交叉和变异等操作，实现更简单，收敛速度更快。计算机仿真验证了所提方法的有效性。
参考文献：
[1] Schmidt R O. Multiple emitter location and signal parameterestimation[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986.34（3）：276-280
[2] Roy R， Kailath T. ESPRIT-estimation of signal parameters viarotational invariance techniques[J].IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1989.37（7）：984-995 [3] 许志勇，保铮，廖桂生.一种非均匀邻接子阵结构及其部分自适应性能分析[J].电子学报，1997.25（9）：20-24
[4] 周明，孙树栋.遗传算法原理及应用（第1版）[M].国防工业出版社，1999.
[5] Vittotio Murino， Andrea Trucco， S. Carlo Regazzoni. Synthesis ofunequally spaced arrays by simulated annealing[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1996.44（1）：119-123
[6] 王一笑，郭陈江，丁君，王小平.基于粒子群优化算法的共形阵列天线图综合[J].计算机仿真，2008.25（8）：174-177
[7] 焦永昌，杨科，陈胜兵，张福顺.粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计[J].电波科学学报，2006.21（1）：16-20
[8] 陈腾博，焦永昌，张福顺.基于改进型粒子群算法的阵列天线综合[J].微波学报，2006.22（增刊）：39-43
[9] Gershman A B， Bohme J F. A note on most favorable array geometries for DOA estimation and array interpolation[J]. IEEE Signal Processing Letters，1997.4（8）：232-235
[10] 胡航，李紹滨，邓新红.重叠子阵平面相控阵ADBF的方向图控制[J].系统工程与电子技术，2007.29（12）：2001-2005
[11] Kennedy J， Eberhart R. Particle Swarm Optimization. Proceed-ings of the IEEE international conference on neuralnenworks， Perth，1995：1942-1948
[12] 王永良，陈辉，彭应宁，万群.空间谱估计理论与算法[M].清华大学出版社，2004.
[13] Stoica P， Nehorai A. MUSIC， maximum likelihood， and Cramer-Rao bound. IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1989.37（5）：720-741