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摘 要：打折促销是现代营銷的主要手段，尤其餐饮行业打折促销更是常见的提高就餐人数的手段。但销量上来的同时，由于单价的下降，销售额并不是总能得到提升，更遑论利润了。尤其餐饮行业的特殊性，更使得餐厅使用折扣手段的时候要更加谨慎。本文以上海大悦城外婆家为实证研究对象，建模分析在一定客流条件下，餐饮行业应该怎样确定自己的折扣力度，以期对餐饮连锁、购物中心管理起到一些指导意义。
关键词：折扣促销；最优销量/折扣率；销售最大化
一、研究背景及目的
通过折扣促销来提高销售量是现在零售餐饮行业常用的促销手段，但此手段并不是总能提升销售额，更遑论利润。当折扣带来的销售量提升没有办法弥补折扣本身造成的单价下降所带来的损失的时候，折扣促销就对销售额带来了损害。
相比起零售行业，餐饮行业折扣对于销量的提升作用更不明显，主要表现在两个方面：（1）受场地限制，当折扣吸引来的客流多于餐厅能够同时最大用餐人数的时候，就必然会出现等位、服务质量下降、等餐时间加长等隐性成本；（2）受到场地、翻台率限制，餐饮销量上涨有一个明显的极值，即使价格再低，每天的就餐人数（销量）也不可能多于某一特定值。
本文旨在通过建立折扣促销力度与销售额之间的函数关系，建立最优化模型，通过求解模型来找到使得销售额最大化的最优折扣力度，从而对商场活动以及餐饮行业促销提供一定的指导依据。
二、研究方法&模型建立
餐饮行业的折扣活动种类较多，很多时候在同一时间内有数个折扣促销活动同时存在，很难区分单个活动对于销量拉升的效果。因此在具体研究中，可以用“当天平均折扣力度”作为衡量餐厅折扣活动力度。“当天平均折扣力度”是指当天平均单价占正价（无活动）时候平均单价的百分比。有了此变量即可找到促销力度与销售额之间的函数关系，并求解关于销售额的一阶线性约束最优化问题。通过求解最优化方程即可得到最佳折扣力度。
首先建立模型来观察折扣力度与销售额的关系，以S（sales）代表销售，D（Discount）代表折扣力度，P（price）代表正价时单价，A（Amount）代表销量，即我们需要的最后结果为：
公式①进一步梳理各变量之间关系可以发现，上述模型各变量满足以下的关系：
因为餐厅是开在购物中心里，购物中心当日客流（CUSTOM FLOW，用字母C表示）对餐厅的销量同样会起到非常大的影响作用，而且由于某一家餐厅折扣能够吸引到的目的性消费者（仅仅是为了来这家餐厅吃饭而来购物中心）的数量在大多数时候相较于购物中心的客流量来说都可以忽略不计，因此我们也可以认为餐厅折扣与商场客流两个变量之间是相对独立的。
我们认为折扣力度对于销量影响边际效应应该是递减的。当折扣力度很小（销量不高）的时候，折扣力度增加的边际效益很大；随着折扣力度增加，客流增多，就餐环境恶化，再提升折扣力度对于销量提升的帮助已经很小了。商场客流对餐厅销量的影响也与之类似。基于此情况，对数函数是最佳的拟合函数形式，即：
将公式②带入模型①中，我们可以得到一个有关变量D和C的一阶线性约束最优化模型：
用拉格朗日法求解最优化方程可以发现，S是C的单调函数，即随着商场客流的上升，餐厅的销售额将会增加。在客流一定的情况下，且当■时，模型有最优路径：
根据商业逻辑估计，各项系数应该满足■，由最优路径可以看出，餐厅的最佳折扣率是商场客流的单调递增函数。也就是说，当商场客流足够多的时候，餐厅不需要给出很高的折扣（很低的折扣率）就能够达到最佳销量，从而得到最佳销售额；当商场客流不足时，餐厅就需要给出很高的折扣（很低的折扣率）吸引消费者到店就餐，达到最佳销售额。
三、实证检验
1.数据描述
我们以外婆家大悦城店作为实证检验对象。我们监测了外婆家大悦城店2011年1月1日至2013年12月31日两年（共计1096天）的每日销售额与交易笔数（销量）数据以及大悦城每日客流，排除数据异常、重大节假日（当天店铺客流过高）等异常数据，共有有效样本量1026个，各回归变量描述如表一所示：
表 回归变量信息描述
2.回归分析、检验及模型改进
用stata软件对待估计模型（见下式）进行回归分析， 即我们可以得到商场客流、外婆家折扣以及外婆家交易量之间的拟合函数关系：
回归结果与我们设想的折扣率与交易量呈负相关，商场客流量与交易量成正相关的相关关系符合。
模型回归结果可决系数R2=0.5000，通过F检验的概率大于99.999%，回归模型通过传统的整体F分布检验，各变量均通过变量间的99%置信度下T检验（P< 0.00000）。
对回归结果进行高斯——马尔可夫经典假设检验发现，模型不存在自相关、多重共线性，但存在较为严重的异方差情况，white检验显示模型大概率存在异方差，以99.999%概率拒绝原假设（模型同方差）。
为了处理异方差问题，用FGLS（可行广义最小二乘法）生成权重变量 invvar，并对原回归模型进行带权重回归，FGLS所得模型同样通过整体拟合度F检验与各回归变量拟合度T检验。模型可决系数R2=0.5074，通过整体拟合度F检验概率为99.999%。同时改进过后的模型也解决了异方差问题，FGLS回归拟合表达式为：
将系数带入最优化模型中，我们可以得出外婆家大悦城店最优折扣为：
四、模型运用
有了如上的折扣最优路径，对于某一家购物中心在特定时间内开展多大力度的折扣促销活动有着较大的指导意义。仍然以大悦城家外婆家为例。大悦城4月份平日日均客流约为1.2万人，节假日日均约为1.5万人。带入最优化路径中计算可以得出4月外婆家推荐打折区间为平均折扣74折（平日）到平均折扣89折（节假日）之间。在购物中心餐饮活动管理行为中，即可以以此为重要依据与商户进行活动沟通，以达到销售最大化目的。
参考文献：
[1]张旭.需求与价格具有相关性下的会员制商场阶段型价格折扣模型研究.科研管理， 2007年第六期.
[2]郑伟.餐饮团购的现状及发展思路研究.四川烹饪高等专科学校学报，2013年01期.
[3]宁连举，张莹莹.网络团购消费者购买选择行为偏好及其实证研究.东北大学学报（社会科学版），2011年第五期.
关键词：折扣促销；最优销量/折扣率；销售最大化
一、研究背景及目的
通过折扣促销来提高销售量是现在零售餐饮行业常用的促销手段，但此手段并不是总能提升销售额，更遑论利润。当折扣带来的销售量提升没有办法弥补折扣本身造成的单价下降所带来的损失的时候，折扣促销就对销售额带来了损害。
相比起零售行业，餐饮行业折扣对于销量的提升作用更不明显，主要表现在两个方面：（1）受场地限制，当折扣吸引来的客流多于餐厅能够同时最大用餐人数的时候，就必然会出现等位、服务质量下降、等餐时间加长等隐性成本；（2）受到场地、翻台率限制，餐饮销量上涨有一个明显的极值，即使价格再低，每天的就餐人数（销量）也不可能多于某一特定值。
本文旨在通过建立折扣促销力度与销售额之间的函数关系，建立最优化模型，通过求解模型来找到使得销售额最大化的最优折扣力度，从而对商场活动以及餐饮行业促销提供一定的指导依据。
二、研究方法&模型建立
餐饮行业的折扣活动种类较多，很多时候在同一时间内有数个折扣促销活动同时存在，很难区分单个活动对于销量拉升的效果。因此在具体研究中，可以用“当天平均折扣力度”作为衡量餐厅折扣活动力度。“当天平均折扣力度”是指当天平均单价占正价（无活动）时候平均单价的百分比。有了此变量即可找到促销力度与销售额之间的函数关系，并求解关于销售额的一阶线性约束最优化问题。通过求解最优化方程即可得到最佳折扣力度。
首先建立模型来观察折扣力度与销售额的关系，以S（sales）代表销售，D（Discount）代表折扣力度，P（price）代表正价时单价，A（Amount）代表销量，即我们需要的最后结果为：
公式①进一步梳理各变量之间关系可以发现，上述模型各变量满足以下的关系：
因为餐厅是开在购物中心里，购物中心当日客流（CUSTOM FLOW，用字母C表示）对餐厅的销量同样会起到非常大的影响作用，而且由于某一家餐厅折扣能够吸引到的目的性消费者（仅仅是为了来这家餐厅吃饭而来购物中心）的数量在大多数时候相较于购物中心的客流量来说都可以忽略不计，因此我们也可以认为餐厅折扣与商场客流两个变量之间是相对独立的。
我们认为折扣力度对于销量影响边际效应应该是递减的。当折扣力度很小（销量不高）的时候，折扣力度增加的边际效益很大；随着折扣力度增加，客流增多，就餐环境恶化，再提升折扣力度对于销量提升的帮助已经很小了。商场客流对餐厅销量的影响也与之类似。基于此情况，对数函数是最佳的拟合函数形式，即：
将公式②带入模型①中，我们可以得到一个有关变量D和C的一阶线性约束最优化模型：
用拉格朗日法求解最优化方程可以发现，S是C的单调函数，即随着商场客流的上升，餐厅的销售额将会增加。在客流一定的情况下，且当■时，模型有最优路径：
根据商业逻辑估计，各项系数应该满足■，由最优路径可以看出，餐厅的最佳折扣率是商场客流的单调递增函数。也就是说，当商场客流足够多的时候，餐厅不需要给出很高的折扣（很低的折扣率）就能够达到最佳销量，从而得到最佳销售额；当商场客流不足时，餐厅就需要给出很高的折扣（很低的折扣率）吸引消费者到店就餐，达到最佳销售额。
三、实证检验
1.数据描述
我们以外婆家大悦城店作为实证检验对象。我们监测了外婆家大悦城店2011年1月1日至2013年12月31日两年（共计1096天）的每日销售额与交易笔数（销量）数据以及大悦城每日客流，排除数据异常、重大节假日（当天店铺客流过高）等异常数据，共有有效样本量1026个，各回归变量描述如表一所示：
表 回归变量信息描述
2.回归分析、检验及模型改进
用stata软件对待估计模型（见下式）进行回归分析， 即我们可以得到商场客流、外婆家折扣以及外婆家交易量之间的拟合函数关系：
回归结果与我们设想的折扣率与交易量呈负相关，商场客流量与交易量成正相关的相关关系符合。
模型回归结果可决系数R2=0.5000，通过F检验的概率大于99.999%，回归模型通过传统的整体F分布检验，各变量均通过变量间的99%置信度下T检验（P< 0.00000）。
对回归结果进行高斯——马尔可夫经典假设检验发现，模型不存在自相关、多重共线性，但存在较为严重的异方差情况，white检验显示模型大概率存在异方差，以99.999%概率拒绝原假设（模型同方差）。
为了处理异方差问题，用FGLS（可行广义最小二乘法）生成权重变量 invvar，并对原回归模型进行带权重回归，FGLS所得模型同样通过整体拟合度F检验与各回归变量拟合度T检验。模型可决系数R2=0.5074，通过整体拟合度F检验概率为99.999%。同时改进过后的模型也解决了异方差问题，FGLS回归拟合表达式为：
将系数带入最优化模型中，我们可以得出外婆家大悦城店最优折扣为：
四、模型运用
有了如上的折扣最优路径，对于某一家购物中心在特定时间内开展多大力度的折扣促销活动有着较大的指导意义。仍然以大悦城家外婆家为例。大悦城4月份平日日均客流约为1.2万人，节假日日均约为1.5万人。带入最优化路径中计算可以得出4月外婆家推荐打折区间为平均折扣74折（平日）到平均折扣89折（节假日）之间。在购物中心餐饮活动管理行为中，即可以以此为重要依据与商户进行活动沟通，以达到销售最大化目的。
参考文献：
[1]张旭.需求与价格具有相关性下的会员制商场阶段型价格折扣模型研究.科研管理， 2007年第六期.
[2]郑伟.餐饮团购的现状及发展思路研究.四川烹饪高等专科学校学报，2013年01期.
[3]宁连举，张莹莹.网络团购消费者购买选择行为偏好及其实证研究.东北大学学报（社会科学版），2011年第五期.