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【摘要】 本文讨论了具有尖基的空间的可度量化问题,并给出了几个充分条件.同时给出了具有尖基的空间具有点可数尖基的一个充分条件.
【关键词】 尖基 点可数 外基 可度量化
1. 引言及定义
尖基是Alleche与Arhangel,skii 最近引入的一个概念,它介于弱一致基[1]与一致基之间.具有尖基的空间与一些弱的可展空间有密切关系,但它与可展空间互不包含.尖基完善了广义度量空间理论.
定义1[2] 若空间X的基ξ满足:对于ξ的任意可数无限互不相同的元素Bn,n∈N,若x∈Bn,则集合 {Bi ∶ n∈N}是x的可数邻域基,这时称ξ为X的尖基.
显然,具有尖基的空间是第一可数的.
定义2 设Y是X的子空间,ζ是X的开集族,若对于Y中的任一点y及y在X中的任一邻域U,存在ζ 中的元V满足y∈V?奂U,则称ζ是Y的外基.
定义3 设ξ是空间X的集族,x是X中的一点,若集合{O∈ξ ∶ x∈O}是可数的,则称ξ在x处是点可数的;若ξ在X的子空间Y上每一点x处都是点可数的,则称ξ在Y上点可数.
定义4[3] 设ξ是空间X的覆盖,若ξ的任一个真子集不能覆盖X,则称ξ是X的既约覆盖.
2. 定理及证明
引理1 若空间X具有尖基B, 则B在X的非孤立点处是点可数的.
证明 设x是X任一个非孤立点,{On ∶ n∈N}是 x的可数邻域基.记Bx = {B∈B∶ x∈B},由于B是尖基,对每个n,Bx 中包含On的元有限,所以Bx 可数.
引理2[3] 设ξ是空间 X的点可数子集族,Y是X的子空间,若Y?奂Uξ,则ξ的元构成的Y的有限既约覆盖是至多可数的.
定理1 若正则空间X的聚点集Y是X的可分子空间,则下列条件等价.
(1) X具有点可数尖基; (2) X具有尖基; (3)X可度量化.
证明 设{xn ∶ n∈N}是Y的可数稠密子集.
(1)?圯(2)显然.
(2)?圯(3).设ξ是X的尖基,由于每个xn是非孤立点,所以{B∈ξ ∶ xn∈B}是可数的,从而ξ1 = {B∈ξ ∶B∩Y≠?准}= {B∈ξ ∶ xn∈B,n∈N}是可数的,ξ2 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ1的有限子集} 也是可数的.
令ζ = ξ2∪{{x}∶ x∈ ,则ζ是X的σ-离散基,所以X可度量.
(3)?圯(1).因为X可度量化,所以X是仿紧的.对每个n∈N,设ξn是X的开覆盖ζn = {Bx, ∶ x∈X}的局部有限开加细覆盖,则容易验证开集族ξ = ∪{ζn ∶ n∈N}是X的点可数尖基.
推论1 设正则空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若Y是X的紧的子空间,则X可度量.
证明 设ξ是空间X的尖基,则ξ1 ={B∈ξ∶B∩Y≠?准}在Y上是点可数的,所以是ξ2 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ1的有限子集}是Y的点可数外基.由引理2知,由ξ2的元构成的Y的有限既约覆盖是可数的;又由于Y是紧的及ξ2是外基,Y是紧､可度量的空间,所以Y是可分的.由定理1知,X可度量.
推论2 设正则空间X具有尖基,若X的聚点集Y 是可数的,则X可度量.
定理2 设hausdorff空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若?坠Y是X的σ-紧的子空间,则X具有点可数尖基.
证明 设ξ是空间X的尖基,ξ1 = {B∩Y0 ∶ B∈ξ}, ξ2 = {B∈ξ ∶ B∩?坠Y≠?准},则ξ1是点可数的,而ξ2在 Y上是点可数的.
设?坠Y = ∪{Fn ∶ n∈N},其中每个Fn都是紧的,则ξ3 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ2的有限子集}是Fn的点可数外基.由引理2知,由ξ3构成的Fn的有限既约覆盖是至多可数的,所以由ξ3是紧集Fn的外基知,有ξ3的可数子集ξ构成 Fn的外基.
令ξ4 = ∪{ξ∶ n∈N},ξ5 = ξ1∪ξ4∪{{X} ∶ x∈ ,则 ξ5 在X上是点可数的.下面证明ξ5 是尖基.
对于x∈Y0,若ζ是ξ5中包含x的可数子集,不妨设ζ = ζ1∪ζ2,其中ζ1 ?奂ξ1,ζ2 ?奂ξ4 .
若ζ2 为可数无限集,则{∩ζ′∶ ζ′是ζ2的有限子集} 为x的可数邻域基,从而{∩ζ′∶ ζ′是ζ的有限子集}为 x的可数邻域基;
若ζ1为可数无限集,则存在ξ中可数集ξα满足ξα|= ζ1,所以{∩ξ′∶ ξ′是ξα的有限子集}是x的可数邻域基,从而{∩ζ′∶ ζ′是ζ的有限子集}为x的可数邻域基.因此 ξ1∪ξ4是YO的尖基.
由于ξ4∪{{x} ∶ x∈ }是ξ4的开加细集族,ξ4∪{{x} ∶ x∈ }是 的尖基,所以ξ5是X的尖基.
推论3 设hausdorff空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若下列条件之一成立,则X具有点可数尖基.(1) ?坠Y是紧集;(2) ?坠Y是可数集.
【参考文献】
[1] R.W.Heath and M.F.Lindgren, Weakly uniform bases, Houston J.Mth.2(1976)85-90.
[2] B.A11eche and A.V.Arhangel,skii,Weakdevelopments and metrization,Topology and itsApplictaions 100(2000)23-38.
[3] 儿玉之宏,永见启用,拓扑空间论.方嘉琳译.科学出版社,2001.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 尖基 点可数 外基 可度量化
1. 引言及定义
尖基是Alleche与Arhangel,skii 最近引入的一个概念,它介于弱一致基[1]与一致基之间.具有尖基的空间与一些弱的可展空间有密切关系,但它与可展空间互不包含.尖基完善了广义度量空间理论.
定义1[2] 若空间X的基ξ满足:对于ξ的任意可数无限互不相同的元素Bn,n∈N,若x∈Bn,则集合 {Bi ∶ n∈N}是x的可数邻域基,这时称ξ为X的尖基.
显然,具有尖基的空间是第一可数的.
定义2 设Y是X的子空间,ζ是X的开集族,若对于Y中的任一点y及y在X中的任一邻域U,存在ζ 中的元V满足y∈V?奂U,则称ζ是Y的外基.
定义3 设ξ是空间X的集族,x是X中的一点,若集合{O∈ξ ∶ x∈O}是可数的,则称ξ在x处是点可数的;若ξ在X的子空间Y上每一点x处都是点可数的,则称ξ在Y上点可数.
定义4[3] 设ξ是空间X的覆盖,若ξ的任一个真子集不能覆盖X,则称ξ是X的既约覆盖.
2. 定理及证明
引理1 若空间X具有尖基B, 则B在X的非孤立点处是点可数的.
证明 设x是X任一个非孤立点,{On ∶ n∈N}是 x的可数邻域基.记Bx = {B∈B∶ x∈B},由于B是尖基,对每个n,Bx 中包含On的元有限,所以Bx 可数.
引理2[3] 设ξ是空间 X的点可数子集族,Y是X的子空间,若Y?奂Uξ,则ξ的元构成的Y的有限既约覆盖是至多可数的.
定理1 若正则空间X的聚点集Y是X的可分子空间,则下列条件等价.
(1) X具有点可数尖基; (2) X具有尖基; (3)X可度量化.
证明 设{xn ∶ n∈N}是Y的可数稠密子集.
(1)?圯(2)显然.
(2)?圯(3).设ξ是X的尖基,由于每个xn是非孤立点,所以{B∈ξ ∶ xn∈B}是可数的,从而ξ1 = {B∈ξ ∶B∩Y≠?准}= {B∈ξ ∶ xn∈B,n∈N}是可数的,ξ2 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ1的有限子集} 也是可数的.
令ζ = ξ2∪{{x}∶ x∈ ,则ζ是X的σ-离散基,所以X可度量.
(3)?圯(1).因为X可度量化,所以X是仿紧的.对每个n∈N,设ξn是X的开覆盖ζn = {Bx, ∶ x∈X}的局部有限开加细覆盖,则容易验证开集族ξ = ∪{ζn ∶ n∈N}是X的点可数尖基.
推论1 设正则空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若Y是X的紧的子空间,则X可度量.
证明 设ξ是空间X的尖基,则ξ1 ={B∈ξ∶B∩Y≠?准}在Y上是点可数的,所以是ξ2 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ1的有限子集}是Y的点可数外基.由引理2知,由ξ2的元构成的Y的有限既约覆盖是可数的;又由于Y是紧的及ξ2是外基,Y是紧､可度量的空间,所以Y是可分的.由定理1知,X可度量.
推论2 设正则空间X具有尖基,若X的聚点集Y 是可数的,则X可度量.
定理2 设hausdorff空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若?坠Y是X的σ-紧的子空间,则X具有点可数尖基.
证明 设ξ是空间X的尖基,ξ1 = {B∩Y0 ∶ B∈ξ}, ξ2 = {B∈ξ ∶ B∩?坠Y≠?准},则ξ1是点可数的,而ξ2在 Y上是点可数的.
设?坠Y = ∪{Fn ∶ n∈N},其中每个Fn都是紧的,则ξ3 = {∩ξ′∶ ξ′是ξ2的有限子集}是Fn的点可数外基.由引理2知,由ξ3构成的Fn的有限既约覆盖是至多可数的,所以由ξ3是紧集Fn的外基知,有ξ3的可数子集ξ构成 Fn的外基.
令ξ4 = ∪{ξ∶ n∈N},ξ5 = ξ1∪ξ4∪{{X} ∶ x∈ ,则 ξ5 在X上是点可数的.下面证明ξ5 是尖基.
对于x∈Y0,若ζ是ξ5中包含x的可数子集,不妨设ζ = ζ1∪ζ2,其中ζ1 ?奂ξ1,ζ2 ?奂ξ4 .
若ζ2 为可数无限集,则{∩ζ′∶ ζ′是ζ2的有限子集} 为x的可数邻域基,从而{∩ζ′∶ ζ′是ζ的有限子集}为 x的可数邻域基;
若ζ1为可数无限集,则存在ξ中可数集ξα满足ξα|= ζ1,所以{∩ξ′∶ ξ′是ξα的有限子集}是x的可数邻域基,从而{∩ζ′∶ ζ′是ζ的有限子集}为x的可数邻域基.因此 ξ1∪ξ4是YO的尖基.
由于ξ4∪{{x} ∶ x∈ }是ξ4的开加细集族,ξ4∪{{x} ∶ x∈ }是 的尖基,所以ξ5是X的尖基.
推论3 设hausdorff空间X具有尖基,Y是X的聚点集,若下列条件之一成立,则X具有点可数尖基.(1) ?坠Y是紧集;(2) ?坠Y是可数集.
【参考文献】
[1] R.W.Heath and M.F.Lindgren, Weakly uniform bases, Houston J.Mth.2(1976)85-90.
[2] B.A11eche and A.V.Arhangel,skii,Weakdevelopments and metrization,Topology and itsApplictaions 100(2000)23-38.
[3] 儿玉之宏,永见启用,拓扑空间论.方嘉琳译.科学出版社,2001.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”