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【特别策划：新青年数学教师工作室专栏】
编者按：新青年数学教师工作室成立于2006年，现有来自全国20多个省（自治区、直辖市）的骨干教师80余人。十余年来，该工作室传承新青年精神，响应新时代号召，致力于“为全国青年数学教师的专业发展服务，做青年数学教师最好的专业成长伙伴”，已发展成为具有一定影响力的青年数学教师学术共同体。从本期起，本刊开设“新青年数学教师工作室”专栏，特邀新青年数学教师工作室的成员分享数学教育教学经验，以期为广大一线教师教学提供帮助。
【摘 要】数学教学法是教师指导学生学好数学基础知识，提高数学基本技能，发展数学才能等的方式和方法。数学教学法对于激发学生学习数学的兴趣，实现数学教学目的，提高数学教学质量起到重要的作用。研究者通过图说数学主题教学法、数学“情境—问题”教学法、数学研究型教学法、基于数学文化的教学法、HPM教学法等五种常用的数学教学法，帮助教师形象直观地了解和理解复杂、深奥的数学教育原理，提高课堂教学效益。
【关键词】教学方法;主题教学法;数学文化;教育理论
【作者简介】刘祖希，华东师范大学出版社副编审，新青年数学教师工作室主持人，全国数学科学方法论研究交流中心副秘书长兼学术委员会副主任，主要从事数学教育研究。
《数学写真集——无需语言的证明》一书由许多“无需语言的证明”的图片组成，書中许多“证明”——图形令人拍案叫绝，充分显示了：“有什么比用插图来展现一个个重要的数学知识点更好的主意呢？”[1]因此，笔者通过图说五种常用的数学教学法，帮助教师形象直观地了解和理解复杂、深奥的数学教育原理。
一、数学主题教学法
跨章节的主题教学，也称单元教学、整体教学，越来越受到人们的重视，那么如何进行数学主题教学设计呢？ 一般来说，主题教学设计可
大致分为三个阶段和五个环节（如图1）。三个阶段包括：前期准备、开发设计、评价修改。五个环节包括：确定主题内容，分析教学要素，
编制主题教学目标，设计主题教学流程，评价、反思及修改。其中的“分析教学要素”环节是主题教学设计前期准备阶段的重点环节，也是“编制主题
图1 主题教学设计
教学目标”环节的前提。其包括六个方面：教学内容分析、课程标准分析、学情分析、教材分析、重难点分析、教学方式分析。[2]171-172
教师在实施数学主题教学法时，需注意以下辩证关系。
（1）新旧教学法的辩证。主题教学法并非全新的教学法，20世纪80年代已广泛出现在我国中小学各学科的课堂之上。现在重新重视它的理由是为了深化以主题教学为载体的学科教学，将其上升到学科教研的统领地位，而不仅仅作为课堂教学的方法和手段。
（2）主题教学目标、课程教学目标、课时教学目标三者之间是中观、宏观、微观的辩证关系。主题教学法强调知识的逻辑性、系统性，相较于课时教学法，其课程内容开始走向封闭的学科知识，课程难度明显加大。如果学生的学习活动缺乏必要的生活经验作为支撑，就会感受不到课程内容的现实意义，难以产生强烈的学习动机。因此，主题教学法要与课时教学法结合使用，两者相辅相成。
二、数学“情境—问题”教学法
2000年，贵州师范大学吕传汉、汪秉彝教授提出中小学数学“情境—问题”教学法（如图2）。
该教学法源于1997—1999年贵州师范大学与美国华人数学教育学者蔡金法教授合作开展的中美学生“数学问题提出与解决”的跨文化研究。它是植根于中国、具有中国特色并借鉴了发达国家先进教学经验的现代课堂教学法。数学“情境—问题”教学法包括以下四个环节。
（1）设置数学情境。数学情境已成为一节数学课的起点，这一要求被写入了我国《义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准》。数学情境是滋养学生学习兴趣的土壤，观察和分析数学情境是下一个环节——提出数学问题的基础。
（2）提出数学问题。这一环节经过探究和猜想，发现和提出数学问题，而且所提出的问题又可以作为一个新的数学情境。发现和提出数学问题与下一个环节——解决数学问题相互补充。
（3）解决数学问题。这一环节运用数学知识、方法、经验分析和解决问题。但这一环节并非问题的结束，允许和鼓励学生对问题的解答提出不同的意见，从而产生（发现）和提出新的数学问题。
（4）注重数学应用。这一环节应用数学知识解决数学问题或实际问题，其本身也是一个解决数学问题的过程。在数学知识的应用过程中也可以提出有意义的数学问题，而一个好的数学应用问题又构成一个好的数学情境。
综上所述，数学“情境—问题”教学法的四个环节密切联系，相互依存，构成了“情境—提问—解决—应用—情境……”的教学链，这是一个前后贯通，不断延伸的、开放式的、动态的教学系统。具体教学中既可以从某一环节切入，也可以在某个适当的环节结束。简而言之，数学“情境—问题”教学法是以数学情境为基础、以数学问题为纽带的教学[3-5]。
三、数学研究型教学法
浙江台州教研室的特级教师李昌官博士提出了数学研究型教学法（如图3），该教学法与创造性思维过程吻合、与学生的认知规律和年龄特征吻合、与培养核心素养的目标吻合。
数学研究型教学法包括五个环节。
（1）呈现背景，提出问题。这一环节中教师通过设置现实情境、数学情境或科学情境，引导学生发现并提出与教学目标相关的数学问题。此环节的教学功能是帮助学生感悟数学产生的背景和意义，提高发现问题和提出问题的能力。
（2）联想激活，寻求方法。这一环节中教师引导学生展开合理联想、激活知识储备、调动已有经验，探索解决问题的思路和方法。此环节的教学功能是引导学生运用数学的知识技能、思想方法、活动经验进行探究，并综合运用有关知识分析问题和解决问题。 （3）提出猜想，验证猜想。在这一环节中，教师鼓励学生用归纳、类比等合情推理的手段，大胆提出问题的结论（猜想）或解决方案，执行并适时调整方案，最终验证结论（猜想）或解决问题。此环节的教学功能是培养学生“大胆假设，小心求证”的科学精神，享受科学探索与发现的乐趣。
（4）运用新知，巩固内化。在这一环节中，教师引导学生运用所获得的数学知识（数学概念、性质、定理等）及思想方法，解决例题或教师布置的新任务，在运用中辨析它们的内涵与外延，巩固内化数学知识。此环节的教学功能是引导学生在应用数学的过程中深化对新知识的理解，同化新旧知识，形成新的数学技能。
（5）回顾反思，拓展问题。在这一环节中，学生借助教师提供的框架，自主回顾、梳理本节课的知识与技能、过程与方法、情感体验，反思问题与不足，提出有待解决或更有价值的问题。此环节的教学功能是更新与完善学生的知识结构，增长数学活动经验，达到数学育人的目的。
数学研究型教学法的五个环节是针对多数教学内容而言的，根据实际教学过程又能演绎出多种“变式” [6]。
四、基于数学文化的教学法
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学文化是指数学的思想、精神、語言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[2]9。
虽然我国关于数学文化的学术研究已经开展了很多年，但这大概是首次给出的数学文化的官方定义。《普通高中数学课程标准（2017年版）》还要求把数学文化融入课程内容，实现从学术到课程的转变[7]。
浙江师范大学张维忠教授等给出了基于数学文化的教学法，该教学法包括四个环节：经验触动、数学化理解、多领域渗透、回顾反思（如图4）。
其中每个环节都立足于特定的数学教学内容，建立与数学史、数学美、数学应用、其他学科知识、社会文化知识等的联系，并依赖学生个人经验、尊重学生主体地位，实现数学教学三因素（数学、教师、学生）的互动与整合。
基于数学文化的教学法具有开放性、过程性、文化性、整合性等特点。教师在数学教学过程中运用该教学法需注意其适切性[8]。
五、HPM教学法
HPM是History and Pedagogy of Mathematics（数学史与数学教育）的简称，其主要是利用数学史促进数学教育。1972年，在英国埃克塞特举办的第二届国际数学教育大会（ICME2）上，成立了数学史与数学关系国际领导小组，HPM作为一个研究领域正式出现。
国内较早进行HPM研究的是华东师范大学张奠宙教授。1998年，他去法国马赛参加了HPM会议，回国后即撰文介绍HPM，呼吁国内重视数学史在数学教育中的应用。此后HPM在我国蓬勃发展。
汪晓勤教授研究团队开发了100多个HPM教学案例，总结了数学史融入数学教学（HPM）的课例研究流程（如图5），形成了HPM教学法，具体案例可参考本刊特设专栏“HPM课例研究”。
汪晓勤教授研究团队还探索出一条高校教师、中小学教师（包括教研员）和职前教师（数学师范生）相结合的合作研究模式，形成了“一二三四五六”框架的HPM教学理论，即一个视角（在HPM视角下进行教学）、两座桥梁（数学与人文、历史与现实）、三维目标（教师专业发展的三个维度——知识、信念和能力）、四种形式（附加式、复制式、顺应式、重构式）、五项原则（趣味性、科学性、可学性、有效性、人文性）、六大价值（呈现知识之谐、展示方法之美、营造探究之乐、揭示文化之魅、提供能力之助、彰显德育之效） [9]。
教贵有法，教无定法。本文图说的五种常用的数学教学法仅供参考，教师可以根据教学实际选用不同的，甚至多种的教学法，提高课堂教学效益。
参考文献：
[1]尼尔森.数学写真集（第1季）：无需语言的证明[M].肖占魁，徐沙凤，译.北京：机械工业出版社，2014.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[3]吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2001（4）：9-14.
[4]吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2002（4）：72-76.
[5]杨孝斌，吕传汉，汪秉彝.三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2003（4）：76-79.
[6]李昌官.高中数学研究型教学实践与探索[J].课程·教材·教法，2018 （1）：86-90，114.
[7]刘祖希.《普通高中数学课程标准（2017年版）》之新变[J].中学数学教学参考，2018（25）：1.
[8]张维忠，徐晓芳.基于数学文化的教学模式构建[J].课程·教材·教法，2009 （5）：47-50.
[9]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
（责任编辑：陆顺演）
编者按：新青年数学教师工作室成立于2006年，现有来自全国20多个省（自治区、直辖市）的骨干教师80余人。十余年来，该工作室传承新青年精神，响应新时代号召，致力于“为全国青年数学教师的专业发展服务，做青年数学教师最好的专业成长伙伴”，已发展成为具有一定影响力的青年数学教师学术共同体。从本期起，本刊开设“新青年数学教师工作室”专栏，特邀新青年数学教师工作室的成员分享数学教育教学经验，以期为广大一线教师教学提供帮助。
【摘 要】数学教学法是教师指导学生学好数学基础知识，提高数学基本技能，发展数学才能等的方式和方法。数学教学法对于激发学生学习数学的兴趣，实现数学教学目的，提高数学教学质量起到重要的作用。研究者通过图说数学主题教学法、数学“情境—问题”教学法、数学研究型教学法、基于数学文化的教学法、HPM教学法等五种常用的数学教学法，帮助教师形象直观地了解和理解复杂、深奥的数学教育原理，提高课堂教学效益。
【关键词】教学方法;主题教学法;数学文化;教育理论
【作者简介】刘祖希，华东师范大学出版社副编审，新青年数学教师工作室主持人，全国数学科学方法论研究交流中心副秘书长兼学术委员会副主任，主要从事数学教育研究。
《数学写真集——无需语言的证明》一书由许多“无需语言的证明”的图片组成，書中许多“证明”——图形令人拍案叫绝，充分显示了：“有什么比用插图来展现一个个重要的数学知识点更好的主意呢？”[1]因此，笔者通过图说五种常用的数学教学法，帮助教师形象直观地了解和理解复杂、深奥的数学教育原理。
一、数学主题教学法
跨章节的主题教学，也称单元教学、整体教学，越来越受到人们的重视，那么如何进行数学主题教学设计呢？ 一般来说，主题教学设计可
大致分为三个阶段和五个环节（如图1）。三个阶段包括：前期准备、开发设计、评价修改。五个环节包括：确定主题内容，分析教学要素，
编制主题教学目标，设计主题教学流程，评价、反思及修改。其中的“分析教学要素”环节是主题教学设计前期准备阶段的重点环节，也是“编制主题
图1 主题教学设计
教学目标”环节的前提。其包括六个方面：教学内容分析、课程标准分析、学情分析、教材分析、重难点分析、教学方式分析。[2]171-172
教师在实施数学主题教学法时，需注意以下辩证关系。
（1）新旧教学法的辩证。主题教学法并非全新的教学法，20世纪80年代已广泛出现在我国中小学各学科的课堂之上。现在重新重视它的理由是为了深化以主题教学为载体的学科教学，将其上升到学科教研的统领地位，而不仅仅作为课堂教学的方法和手段。
（2）主题教学目标、课程教学目标、课时教学目标三者之间是中观、宏观、微观的辩证关系。主题教学法强调知识的逻辑性、系统性，相较于课时教学法，其课程内容开始走向封闭的学科知识，课程难度明显加大。如果学生的学习活动缺乏必要的生活经验作为支撑，就会感受不到课程内容的现实意义，难以产生强烈的学习动机。因此，主题教学法要与课时教学法结合使用，两者相辅相成。
二、数学“情境—问题”教学法
2000年，贵州师范大学吕传汉、汪秉彝教授提出中小学数学“情境—问题”教学法（如图2）。
该教学法源于1997—1999年贵州师范大学与美国华人数学教育学者蔡金法教授合作开展的中美学生“数学问题提出与解决”的跨文化研究。它是植根于中国、具有中国特色并借鉴了发达国家先进教学经验的现代课堂教学法。数学“情境—问题”教学法包括以下四个环节。
（1）设置数学情境。数学情境已成为一节数学课的起点，这一要求被写入了我国《义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准》。数学情境是滋养学生学习兴趣的土壤，观察和分析数学情境是下一个环节——提出数学问题的基础。
（2）提出数学问题。这一环节经过探究和猜想，发现和提出数学问题，而且所提出的问题又可以作为一个新的数学情境。发现和提出数学问题与下一个环节——解决数学问题相互补充。
（3）解决数学问题。这一环节运用数学知识、方法、经验分析和解决问题。但这一环节并非问题的结束，允许和鼓励学生对问题的解答提出不同的意见，从而产生（发现）和提出新的数学问题。
（4）注重数学应用。这一环节应用数学知识解决数学问题或实际问题，其本身也是一个解决数学问题的过程。在数学知识的应用过程中也可以提出有意义的数学问题，而一个好的数学应用问题又构成一个好的数学情境。
综上所述，数学“情境—问题”教学法的四个环节密切联系，相互依存，构成了“情境—提问—解决—应用—情境……”的教学链，这是一个前后贯通，不断延伸的、开放式的、动态的教学系统。具体教学中既可以从某一环节切入，也可以在某个适当的环节结束。简而言之，数学“情境—问题”教学法是以数学情境为基础、以数学问题为纽带的教学[3-5]。
三、数学研究型教学法
浙江台州教研室的特级教师李昌官博士提出了数学研究型教学法（如图3），该教学法与创造性思维过程吻合、与学生的认知规律和年龄特征吻合、与培养核心素养的目标吻合。
数学研究型教学法包括五个环节。
（1）呈现背景，提出问题。这一环节中教师通过设置现实情境、数学情境或科学情境，引导学生发现并提出与教学目标相关的数学问题。此环节的教学功能是帮助学生感悟数学产生的背景和意义，提高发现问题和提出问题的能力。
（2）联想激活，寻求方法。这一环节中教师引导学生展开合理联想、激活知识储备、调动已有经验，探索解决问题的思路和方法。此环节的教学功能是引导学生运用数学的知识技能、思想方法、活动经验进行探究，并综合运用有关知识分析问题和解决问题。 （3）提出猜想，验证猜想。在这一环节中，教师鼓励学生用归纳、类比等合情推理的手段，大胆提出问题的结论（猜想）或解决方案，执行并适时调整方案，最终验证结论（猜想）或解决问题。此环节的教学功能是培养学生“大胆假设，小心求证”的科学精神，享受科学探索与发现的乐趣。
（4）运用新知，巩固内化。在这一环节中，教师引导学生运用所获得的数学知识（数学概念、性质、定理等）及思想方法，解决例题或教师布置的新任务，在运用中辨析它们的内涵与外延，巩固内化数学知识。此环节的教学功能是引导学生在应用数学的过程中深化对新知识的理解，同化新旧知识，形成新的数学技能。
（5）回顾反思，拓展问题。在这一环节中，学生借助教师提供的框架，自主回顾、梳理本节课的知识与技能、过程与方法、情感体验，反思问题与不足，提出有待解决或更有价值的问题。此环节的教学功能是更新与完善学生的知识结构，增长数学活动经验，达到数学育人的目的。
数学研究型教学法的五个环节是针对多数教学内容而言的，根据实际教学过程又能演绎出多种“变式” [6]。
四、基于数学文化的教学法
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学文化是指数学的思想、精神、語言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[2]9。
虽然我国关于数学文化的学术研究已经开展了很多年，但这大概是首次给出的数学文化的官方定义。《普通高中数学课程标准（2017年版）》还要求把数学文化融入课程内容，实现从学术到课程的转变[7]。
浙江师范大学张维忠教授等给出了基于数学文化的教学法，该教学法包括四个环节：经验触动、数学化理解、多领域渗透、回顾反思（如图4）。
其中每个环节都立足于特定的数学教学内容，建立与数学史、数学美、数学应用、其他学科知识、社会文化知识等的联系，并依赖学生个人经验、尊重学生主体地位，实现数学教学三因素（数学、教师、学生）的互动与整合。
基于数学文化的教学法具有开放性、过程性、文化性、整合性等特点。教师在数学教学过程中运用该教学法需注意其适切性[8]。
五、HPM教学法
HPM是History and Pedagogy of Mathematics（数学史与数学教育）的简称，其主要是利用数学史促进数学教育。1972年，在英国埃克塞特举办的第二届国际数学教育大会（ICME2）上，成立了数学史与数学关系国际领导小组，HPM作为一个研究领域正式出现。
国内较早进行HPM研究的是华东师范大学张奠宙教授。1998年，他去法国马赛参加了HPM会议，回国后即撰文介绍HPM，呼吁国内重视数学史在数学教育中的应用。此后HPM在我国蓬勃发展。
汪晓勤教授研究团队开发了100多个HPM教学案例，总结了数学史融入数学教学（HPM）的课例研究流程（如图5），形成了HPM教学法，具体案例可参考本刊特设专栏“HPM课例研究”。
汪晓勤教授研究团队还探索出一条高校教师、中小学教师（包括教研员）和职前教师（数学师范生）相结合的合作研究模式，形成了“一二三四五六”框架的HPM教学理论，即一个视角（在HPM视角下进行教学）、两座桥梁（数学与人文、历史与现实）、三维目标（教师专业发展的三个维度——知识、信念和能力）、四种形式（附加式、复制式、顺应式、重构式）、五项原则（趣味性、科学性、可学性、有效性、人文性）、六大价值（呈现知识之谐、展示方法之美、营造探究之乐、揭示文化之魅、提供能力之助、彰显德育之效） [9]。
教贵有法，教无定法。本文图说的五种常用的数学教学法仅供参考，教师可以根据教学实际选用不同的，甚至多种的教学法，提高课堂教学效益。
参考文献：
[1]尼尔森.数学写真集（第1季）：无需语言的证明[M].肖占魁，徐沙凤，译.北京：机械工业出版社，2014.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[3]吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2001（4）：9-14.
[4]吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2002（4）：72-76.
[5]杨孝斌，吕传汉，汪秉彝.三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2003（4）：76-79.
[6]李昌官.高中数学研究型教学实践与探索[J].课程·教材·教法，2018 （1）：86-90，114.
[7]刘祖希.《普通高中数学课程标准（2017年版）》之新变[J].中学数学教学参考，2018（25）：1.
[8]张维忠，徐晓芳.基于数学文化的教学模式构建[J].课程·教材·教法，2009 （5）：47-50.
[9]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
（责任编辑：陆顺演）