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一元二次方程根的判别式是方程中重要的组成部分，也是重要的解题工具。许多数学问题，若纵横联想，挖掘其内在联系，沟通知识之间的关系，妙应判别式进行求解（证），会显得过程简捷、清晰、明快。现举几例，希望能从中得到一些收获。
一、比较大小
题目1 （包头中考）比较（++1）?与4（+）的大小。
解：视（++1）?-4（+）为一元二次方程x?-（++1）x+（+）=0的根的判别式，容易看出此方程的二根为1， +.
∴ △>0，即（++1）?-4（+）>0
故（++1）?>4（+）
点评：直接展开采用一般方法进行大小比较，较复杂，由本题的结构形式妙用判别式构造方程求解就简便多了。
二、求值
题目2（俄罗斯竞赛题） 求自然数n，使得++为完全平方数。
解：设x=，则++=x?+x+，要使它为完全平方式，则关于x的二次三项式的判别式为0.
即（）?-4=0，
∴n=12
点评：若将n的取值一一代入，加以验证，是不明智之举。巧做幂变换，妙用判别式，使问题简解。
三、证明等式
题目3 （晋州市初三竞赛题） 已知：实数a、b、c满足a =6-b，c?=ab-9.
求证：a=b
证明：由已知二式得，a+b=6，ab=c?+9
∴ a、b是方程t?-6t+c?+9=0的二根，
而a、b为实数，
∴△≥0，即36-4（c?+9）≥0
∴-4c?≥0
∴c?≤0，而c?≥0
∴c=0，从而△=0
∴a=b
点评：构造方程妙用判别式，借助非负数使问题顺利解决。
四、证明不等式
题目4（第三届加拿大竞赛试题） 已知：x、y为正实数，且x+y=1.
求证：（1+）（1+）≥9
证明：设（1+）（1+）=a
则 xy=，又x+y=1
∴ x、y是方程t?-t+=0的二根
∴ △=1+≥0
∴ a≥9
即 （1+）（1+）≥9
点评：利用换元法妙用判别式，使问题巧证。
五、求取值范围
题目5（吉林赛题） 已知：a、b、c满足a?-bc-8a+7=0……①，b?+c?+bc-6a+6=0……②
求：a的取值范围
解：由①得 bc=a?-8a+7
②配方得 （b+c）?-bc-6a+6=0
∴ b+c=（a+1）
∴ b、c是方程t?（a-1）t+a?-8a+7=0的二根
∴ △=?-4（a?-8a+7）≥0
则 –3a?+30a -27≥0
即 -1≤a≤9
点评：通过变换问题形式，构造方程，妙用判别式求得a的取值，思路曲折，技巧性强。
六、求最值
题目6（全国初中竞赛） 已知：a、b为实数
求：a?+ab+b?-a-2b的最小值
解：设a?+ab+b?-a-2b=t
∴ a?+（b-1）a+（b?-2b-t）=0
∵ a为实数
∴ △≥0
即 （b-1）?-4（b?-2b-t）≥0
∴ 4t≥3b?-6b-1
∴ 4t≥3（b-1）?-4≥-4
∴ t≥-1
又 当a=0，b=1时t=-1
故 当a=0，b=1时， a?+ab+b?-a-2b的最小值为-1
点评：直接求解很困难，巧换元，利用主元法构造方程，妙用△≥0，可使问题顺利解决。
七、解方程（组）
题目7（天津赛题） 解方程 5x?+10y?-12xy-6x-4y+13=0
解：以x为主元，原方程化为：
5x?-（12y+6）x+10y?-4y+13=0
∵ △≥0
∴ （12y+6）?-4（10y?-4y+13）≥0
∴ -（y-2）?≥0
∴ （y-2）?≤0 而（y-2）?≥0
∴ y-2=0
∴ y=2
从而==3
点评：巧用主元法，妙用△≥0进行求解，方法巧妙，过程简便。
八、判断三角形的形状
题目8（缙云杯赛题） 若△ABC的三边a、b、c满足b+c=8，bc=a?-12a+52，试判定△ABC的形状（按边分类）
解：由已知二式知b、c是方程t?-8t+（a?-12a+52）=0的二根
∴ △=8?-4（a?-12a+52）≥0
∴ -（a-6）?≥0
∴（a-6）?≤0 而（a-6）?≥0
∴ a=6 从而求得b=4 c=4
故 △ABC为等腰三角形
点评：妙用△≥0，结合非负数，求得a、b、c的值，通过三边的值判断三角形的形状。
九、证明几何不等式
题目9（晋州市初三赛题） 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。
求证：CD≤AB
证明：由射影定理知
ADDB=CD?
又 AD+DB=AB
∴ AD、BD是方程t?-ABt+CD?=0的两个根
∴ △=（-AB）?-4CD?≥0
∴ AB≥2CD
故 CD≤AB
当△ABC是等腰直角三角形时，等号成立。
点评：本题方法巧妙，过程简洁。
数学能力的提高离不开解题，而解题就要讲究解题方法与技巧，一种好的方法与技巧，会使你的解题事半功倍。因此，在解题时，纵横联系，沟通知识之间的关系，开拓思路，寻求最佳解题途径，达到解题目的，以提高分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
[1]刘伟.初中数学辅导[M].2011，（10）.
[2]杨彰发.数学教育研究[M].2011，（4）.
一、比较大小
题目1 （包头中考）比较（
解：视（
∴ △>0，即（
故（
点评：直接展开采用一般方法进行大小比较，较复杂，由本题的结构形式妙用判别式构造方程求解就简便多了。
二、求值
题目2（俄罗斯竞赛题） 求自然数n，使得
解：设x=
即（
∴n=12
点评：若将n的取值一一代入，加以验证，是不明智之举。巧做幂变换，妙用判别式，使问题简解。
三、证明等式
题目3 （晋州市初三竞赛题） 已知：实数a、b、c满足a =6-b，c?=ab-9.
求证：a=b
证明：由已知二式得，a+b=6，ab=c?+9
∴ a、b是方程t?-6t+c?+9=0的二根，
而a、b为实数，
∴△≥0，即36-4（c?+9）≥0
∴-4c?≥0
∴c?≤0，而c?≥0
∴c=0，从而△=0
∴a=b
点评：构造方程妙用判别式，借助非负数使问题顺利解决。
四、证明不等式
题目4（第三届加拿大竞赛试题） 已知：x、y为正实数，且x+y=1.
求证：（1+
证明：设（1+
则 xy=
∴ x、y是方程t?-t+
∴ a≥9
即 （1+
点评：利用换元法妙用判别式，使问题巧证。
五、求取值范围
题目5（吉林赛题） 已知：a、b、c满足a?-bc-8a+7=0……①，b?+c?+bc-6a+6=0……②
求：a的取值范围
解：由①得 bc=a?-8a+7
②配方得 （b+c）?-bc-6a+6=0
∴ b+c=
∴ b、c是方程t?
∴ △=
则 –3a?+30a -27≥0
即 -1≤a≤9
点评：通过变换问题形式，构造方程，妙用判别式求得a的取值，思路曲折，技巧性强。
六、求最值
题目6（全国初中竞赛） 已知：a、b为实数
求：a?+ab+b?-a-2b的最小值
解：设a?+ab+b?-a-2b=t
∴ a?+（b-1）a+（b?-2b-t）=0
∵ a为实数
∴ △≥0
即 （b-1）?-4（b?-2b-t）≥0
∴ 4t≥3b?-6b-1
∴ 4t≥3（b-1）?-4≥-4
∴ t≥-1
又 当a=0，b=1时t=-1
故 当a=0，b=1时， a?+ab+b?-a-2b的最小值为-1
点评：直接求解很困难，巧换元，利用主元法构造方程，妙用△≥0，可使问题顺利解决。
七、解方程（组）
题目7（天津赛题） 解方程 5x?+10y?-12xy-6x-4y+13=0
解：以x为主元，原方程化为：
5x?-（12y+6）x+10y?-4y+13=0
∵ △≥0
∴ （12y+6）?-4（10y?-4y+13）≥0
∴ -（y-2）?≥0
∴ （y-2）?≤0 而（y-2）?≥0
∴ y-2=0
∴ y=2
从而
点评：巧用主元法，妙用△≥0进行求解，方法巧妙，过程简便。
八、判断三角形的形状
题目8（缙云杯赛题） 若△ABC的三边a、b、c满足b+c=8，bc=a?-12a+52，试判定△ABC的形状（按边分类）
解：由已知二式知b、c是方程t?-8t+（a?-12a+52）=0的二根
∴ △=8?-4（a?-12a+52）≥0
∴ -（a-6）?≥0
∴（a-6）?≤0 而（a-6）?≥0
∴ a=6 从而求得b=4 c=4
故 △ABC为等腰三角形
点评：妙用△≥0，结合非负数，求得a、b、c的值，通过三边的值判断三角形的形状。
九、证明几何不等式
题目9（晋州市初三赛题） 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。
求证：CD≤
证明：由射影定理知
AD
又 AD+DB=AB
∴ AD、BD是方程t?-ABt+CD?=0的两个根
∴ △=（-AB）?-4CD?≥0
∴ AB≥2CD
故 CD≤
当△ABC是等腰直角三角形时，等号成立。
点评：本题方法巧妙，过程简洁。
数学能力的提高离不开解题，而解题就要讲究解题方法与技巧，一种好的方法与技巧，会使你的解题事半功倍。因此，在解题时，纵横联系，沟通知识之间的关系，开拓思路，寻求最佳解题途径，达到解题目的，以提高分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
[1]刘伟.初中数学辅导[M].2011，（10）.
[2]杨彰发.数学教育研究[M].2011，（4）.