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近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内所占的比例较大，特别是压轴题常把二次函数与三角形等几何问题结合在一起，对学生的综合能力要求较高，本文主要围绕二次函数中特殊三角形的存在性展开，寻求解题的一般方法与特殊方法.
例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C.实数m，n（m （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD.当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标.
解法分析
（1）y=-1[]2x2 1[]2x；
（2）△OPC是等腰三角形，分三种情况①CO=CP；②PO=PC；③OC=OP.
方法1：借助两点间距公式（代数方法——通用法）
CO=3[]2，由OB解析式y=-x设P（x，-x），由两点间距离公式得CP=x2 x-3[]22，PO=2x；当CO=CP，解得x=3[]2；当PO=PC，解得x=3[]4；当OC=OP，解得x=32[]4.分别代入求出P坐标.
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识.使用两点间距离公式可以有效解决这类问题，而且不会漏解.步骤如下：先罗列三边平方，再分类列方程，最后解方程，检验.
方法2：借助特殊角度 （几何方法——特殊法）
△OPC中，∠COP=45°，
图1图2图3
①如图1，CO=CP=3[]2，顶角∠OCP=90°，由P在第四象限得P3[]2，-3[]2；②如图2，PO=PC，顶角∠OPC=90°，作PQ⊥OC，则OQ=QC=PQ=3[]4，P3[]4，-3[]4；③如图3，OC=OP，顶角∠COP=45°，作PQ⊥OC，则OQ=QP=OP[]2=OC[]2=32[]4，P32[]4，-32[]4.
点评：方法2与方法1的最大不同是利用了几何思想，解题的步骤是分类、画图、计算，通过解直角三角形求边长，求点坐标.这种方法的优越性在于因为特殊角的存在减少计算量，但有一定的局限性，画图容易漏.
例2抛物线y=-x2 mx n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解法分析
（1）由A（4，0），B（-2，0），y=-x2-2x 8；
（2）△PAC为直角三角形，分成三种情况①PA为斜边；②AC为斜边；③PC为斜边.
C（0，8），对称轴x=-1，设P（-1，y），PA=25 y2，PC=1 （y-8）2，AC=80.根据勾股定理，PA为斜边，解得y=15[]2；AC为斜边，解得y=4±11；PC为斜边，解得y=-5[]2.符合条件的点P有-1，15[]2，（-1，4 11），（-1，4-11）、-1，-5[]2.
点评探究直角三角形存在性问题，一般假设存在，再进一步探究；当所给条件不能确定直角顶点（斜边）时，分别令三个角为直角（三条边为斜边）；通过设点坐标，分别表示出三边长，用勾股定理建立方程并求解.可以发现，例1、例2在解法上的相似，都是利用两点间距离公式建立方程.
以上是二次函数中涉及三角形存在性的常见问题，在解题时要善于把握两点间距离公式，善于发现特殊角度，这些都是在解题时的“抓手”
例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C.实数m，n（m
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD.当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标.
解法分析
（1）y=-1[]2x2 1[]2x；
（2）△OPC是等腰三角形，分三种情况①CO=CP；②PO=PC；③OC=OP.
方法1：借助两点间距公式（代数方法——通用法）
CO=3[]2，由OB解析式y=-x设P（x，-x），由两点间距离公式得CP=x2 x-3[]22，PO=2x；当CO=CP，解得x=3[]2；当PO=PC，解得x=3[]4；当OC=OP，解得x=32[]4.分别代入求出P坐标.
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识.使用两点间距离公式可以有效解决这类问题，而且不会漏解.步骤如下：先罗列三边平方，再分类列方程，最后解方程，检验.
方法2：借助特殊角度 （几何方法——特殊法）
△OPC中，∠COP=45°，
图1图2图3
①如图1，CO=CP=3[]2，顶角∠OCP=90°，由P在第四象限得P3[]2，-3[]2；②如图2，PO=PC，顶角∠OPC=90°，作PQ⊥OC，则OQ=QC=PQ=3[]4，P3[]4，-3[]4；③如图3，OC=OP，顶角∠COP=45°，作PQ⊥OC，则OQ=QP=OP[]2=OC[]2=32[]4，P32[]4，-32[]4.
点评：方法2与方法1的最大不同是利用了几何思想，解题的步骤是分类、画图、计算，通过解直角三角形求边长，求点坐标.这种方法的优越性在于因为特殊角的存在减少计算量，但有一定的局限性，画图容易漏.
例2抛物线y=-x2 mx n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解法分析
（1）由A（4，0），B（-2，0），y=-x2-2x 8；
（2）△PAC为直角三角形，分成三种情况①PA为斜边；②AC为斜边；③PC为斜边.
C（0，8），对称轴x=-1，设P（-1，y），PA=25 y2，PC=1 （y-8）2，AC=80.根据勾股定理，PA为斜边，解得y=15[]2；AC为斜边，解得y=4±11；PC为斜边，解得y=-5[]2.符合条件的点P有-1，15[]2，（-1，4 11），（-1，4-11）、-1，-5[]2.
点评探究直角三角形存在性问题，一般假设存在，再进一步探究；当所给条件不能确定直角顶点（斜边）时，分别令三个角为直角（三条边为斜边）；通过设点坐标，分别表示出三边长，用勾股定理建立方程并求解.可以发现，例1、例2在解法上的相似，都是利用两点间距离公式建立方程.
以上是二次函数中涉及三角形存在性的常见问题，在解题时要善于把握两点间距离公式，善于发现特殊角度，这些都是在解题时的“抓手”