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摘要：三角函数是中学数学教学中的重点和难点，其涉及的内容较为广泛，并且类型题普遍较为复杂，用传统的方法进行计算，其步骤复杂，并且容易产生计算错误，不利于三角函数的解题。因此，要对传统的解题方法进行优化，通过渗透化归思想，将原本复杂的内容简单化，从而提升三角函数解题的效率和准确性，对提升中学数学学习水平具有重要的意义。本文首先分析了化归思想的基本内涵，随后阐述了在中学阶段三角函数的学习难点，最后提出了几点三角函数中应用化归思想的策略，为中学生提升三角函数解题水平起到了借鉴和参考作用。
关键词：化归思想；三角函数；解题
一、 引言
应用化归思想不仅能够有效的提升学生的数学解题水平，还能够锻炼学生的思维方式，让学生能够从多个角度对一个问题进行分析，并让学生的思维方式更加流畅，不仅能够对数学的学习起到推动作用，还能够有效的促进学生综合素质的全面发展，达到培养学生数学核心素养的目的。
二、 化归思想的基本内涵
化归思想是唯物辩证主义的一种重要的思考方式，其内容即化整为零，将原本复杂的问题利用简单的方式进行处理。从本质上而言，化归思想也就是通过利用一些已经掌握的，并且相对较为简单和具体的知识，将原本复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将未知的问题已知化、将特殊的问题一般化、将非典型的问题典型化的思维方式。通过这种方式，可以在知识结构没有发生较大改变的前提下，解决过往所无法解决的问题。在生活中运用化归思想，可以解决生活和工作中所出现的难题，将难以解决的问题分割成为若干个小的问题，从而通过逐个解决小的问题，最终解决整体的问题。在中学数学领域内，待定系数法、整体代入法等，都是化归思想的直接体现。
三、 三角函数的学习难点
三角函数是中学数学学习的重点和难点，其复杂性较高，并且所涉及的内容较多，在学习过程中容易产生较多的问题。三角函数的学习难点主要体现在以下几个方面：
首先，是学习观念不正确的问题。相对于初中的三角函数问题，高中的三角函数问题难度倍增，学习起来具有较大的困难。而许多高一新生没有对三角函数的困难性和重要性有明确的认知，还认为三角函数比较简单，只需要将公式代入到其中就可以解决问题。导致许多高一新生在学习的过程中，没有全身心的投入，上课不专注等问题比较明显。而在基础知识学习完后，高一新生往往刚体会到三角函数的困难，此时再进行学习就已经显得有些晚了，存在大量的知识漏洞，导致三角函数的学习产生较大的问题。
其次，是综合能力不足的问题。三角函数所涉及的内容和公式众多，需要将多个单元的内容有机结合，并非仅仅学好三角函数知识就能够解决三角函数问题，对于数学综合能力的要求较高。而由于数学本身具有高度的抽象性和理论性，学习起来具有较高的难度，因此，大多数学生都很难良好的掌握每个部分的知识，也就导致了大多数学生存在综合能力不足的问题。
再次，是学习方法不科学的问题。在课堂教学中，教师往往只讲解知识点，而不进行学习方法的传授。学生的学习方法大多是结合自身的学习经验得来的，这种具有经验性质的方法不具备科学性，许多学生使用了错误的学习方法而不自知，也就会出现学习效率低下的问题。除此之外，许多学生过于依赖教师的讲解，在课后没有将知识进行自主训练，也就导致了知识学得快，忘得也快，不利于数学学习水平的提升。
接下来，是解题方法不恰当的问题。三角函数本身具有较高的复杂性，针对一个问题，通常会有多种不同的解法，其中，有的解法简单，并且不容易出错，而有的解法较为复杂，并且容易产生计算错误。在解题的过程中，如果没有使用正确的解题方法，很容易出现解法较为复杂，并且产生计算错误的问题。
最后，是知识性的错误。三角函数所涉及的定理、公式、符号等数量众多，学生需要花费一定的时间记忆，并通过大量的练习灵活的运用这些知识。而如果记忆不够深刻，或所做的练习不够多，就会产生一些知识性的错误，如定理记不起来、公式记错、符号记混等，这种问题会对三角函数的解题产生极大的影响，这也就需要学生发挥出自身的能力进行针对性的训练，从而寻求最合理的解决方法。
四、 化归思想在三角函数解题中的应用
（一） 一般问题特殊化
数学题目花样众多，绝大多数问题都无法直接用公式或定理推导出来。这也就需要对这些问题进行处理，将一些普遍的问题转化成为所学过的特殊问题，从而解决熟悉程度较低的问题。例如，在解三角函数时，可以通过不断的推导，将三角函数转化为二次函数，要想得出三角函数的最值，只需要得出二次函数的最值即可。除此之外，比较难的y=acosx bsinx可以化归为更便于计算的y=a2 b2sin（x y）。
【例1】已知有x∈R，求f（x）=6cosx-8sinx的值域。
解答思路如下：
可以用上述的例子對本题目进行计算，其步骤为：
f（x）=6cosx-8sinx=62 （-8）2sin（x y）=10sin（x y）
因此，函数f（x）=6cosx-8sinx的值域为-10，10。
【例2】假设有一三角函数f（x），求f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3的最值。
解题思路如下：
这种题用三角函数的方式进行解决会有较高的难度，而如果将其转化为二次函数的形式，就成为了学生所熟悉的题型。因此，解答步骤为：
f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3=2cos2x-1 1-cos2x 2cosx 3
经过推导后可得出结论：
f（x）=（cosx 1）2 2
因此，f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3的最大值为6，最小值为2。
【例3】假设有一三角函数tanx=2，求2sinx 3cosxsinx-cosx。 解题思路如下：
此分式的解决难度较大，利用传统的方法很难解答。而如果利用三角函数公式：tanx=sinxcosx进行解答，可以将分式转变成为齐次分式，也就是代入公式tanx=sinxcosx后，将整个分式的分子和分母同时除以cosx，从而得出最终的结论。
（二） 三角问题立体化
三角函数具有较高的学习难度，在应用的过程中，也容易受到各种主观或客观因素的影响，存在一定的难度。而如果使用化归的解题思想，可以通过构建几何图形的方式，来使得抽象的问题直观化，从而解决问题。
【例4】假设有三个锐角，分别为x，y，z。并且这三个锐角满足条件cos2x cos2y cos2z=-1，求证tanx·tany·tanz≥22。
解题思路如下：
在面对公式cos2x cos2y cos2z=-1时，很容易会联想到另一个公式cos2x cos2y cos2z=1，而这个公式同时又是长方体的关系式。因此，可以将原问题转换成为长方体，通过对长方体进行求解，从而得到题干中的内容。解题步骤如下：
首先，设三条边a=cosx，b=cosy，c=cosz，则可以得知tanx·tany·tanz=b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c，这也就可以使三角不等式转化为代数不等式，其解答的难度大大降低。如果a，b，c都大于零，则可以转为求证：
b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c≥22
之后可以转化为b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c≥2bca·2acb·2abc，最终也就可以得到tanx·tany·tanz=22，因此，原问题中的tanx·tany·tanz≥22成立。
利用化归思想将三角函数问题转变为几何问题，不仅可以转变为立体几何问题，还可以转变成为解析几何问题。
【例5】假设有cos4xcos2y sin4xsin2y=1，则求证cos4ycos2x sin4ysin2x=1。
解题思路如下：
通过对两个公式进行分析，可以得知这个公式与椭圆方程有一定的相似性。而由于缺乏必要的数值参照的情况下，难以构建椭圆进行立体几何的解答，因此，可以通过解析几何的方式进行解答。通过分析题意可知，有两点P和Q，分别为（cos2x，sin2x）和（cos2y，sin2y），这两点都在椭圆x2cos2y y2sin2y=1，其中，点Q有一条切线，这条切线的方程为x y=1。根据上述内容所示，很容易能够证明出点P仍然在这条切线上，而由于对于一个椭圆而言，一条切线只具有一个切点，因此，可以得知点P和点Q在同一个点上，也就能够反向推导得出结论：cos4ycos2x sin4ysin2x=1。
（三） 三角问题代数化
【例6】求证：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。
解题思路如下：
根据所学的数学知识可知，4a的角度数比2a高一倍，将其代入公式中，假设：tan2a=t，根据公式，可以得到结果：cos4a=1-t21 t2，sin4a=2t1 t2，2tan2atan2a-1=-t。
将上述得到的内容代入到公式中来，也就可以将原本的三角函数问题彻底转化为代数问题，其解题难度就会极大的下降。解题步骤如下：
设：tan2a=t，根据万能公式，可得cos4a·tan2a-sin4a=1-t21 t2·t-2t1 t2。将所得的结果进行代数运算，也就可以得出最终的结论：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。
（四） 多变量问题少变量化
三角函数的问题普遍较为复杂，其主要内容是三角函数问题，所涉及的变量较多，并且公式也比较多。因此，需要将多变量的问题利用化归思想转变为变量少的问题，可以利用三角函数的各种正弦、余弦等定理，将多余的部分消去，只留下有用的核心部分，从而有效的降低解题的难度，优化解题步骤。
【例7】在一个三角形ABC中，证明：（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=0。
解题思路如下：
首先要对原题进行分析，根据题意可以得知，这个问题本质上是在探讨三角形的边和角的问题。由于题目本身就带有余弦定理的部分公式，因此，利用化归思想，消除掉多余的部分，利用余弦定理公式可以进行证明。其解题步骤如下：
（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=-2bccosA·tanA 2accosB·tanB
对上述等式进行推导，可以得出结论：（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=0。
（五） 数形结合思想
数与形是一件事物的两个方面属性，也是数学中最基本的研究对象。在一定条件的限制下，数与形之间是可以进行相互转化的。在高中阶段，已经对数与形有了较为透彻的研究，通过将二者相互融合，取长补短，发挥出各自的优势，优化数学解题路径，这也就体现出了数学中数形结合的基本理念。
五、 结语
数学是一门具有较高的难度和抽象性的学科，其知识体系较为复杂，并且一个问题往往涉及多方面的知识，是学生学习的重点和难点。在数学中，许多难题都无法通过常规的计算方法解决，这也就为化归思想提供了广泛的应用范围。三角函数的学习主要有以下几方面的难点，首先，许多学生的学习观念不正确，对于三角函数的重視程度不足。其次，三角函数所涉及的内容和公式众多，学生普遍存在着综合能力不足的问题。再次，许多学生的学习方法不对，学习效率较低。接下来，许多学生的解题方法过于复杂，容易出现错误。最后，部分学生对于三角函数相关的基础知识掌握不扎实，容易出现错误的问题。而利用化归思想，可以有效的解决上述出现的集中问题，具有重要的意义。
参考文献：
[1]苏芳，覃学文.在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想[J].梧州学院学报，2012，22（02）：101-104.
[2]马艳，马贵.化归思想方法在中学数学教学中的应用——以解方程为例[J].北京教育学院学报（自然科学版），2012，7（03）：1-4.
[3]王燕荣，韩龙淑，屈俊.基于启发式教学的数学思想教学设计——以“化归思想”为例[J].教学与管理，2015，（01）：57-59.
[4]熊开明.关于应用幂级数定义正弦函数和余弦函数的教学研究[J].泸州职业技术学院学报，2010，（02）：19-21.
[5]邵陈标.凸现数学思想方法提升“空间与图形”的教学价值——以“平面图形面积”的教学为例[J].中小学教师培训，2011，（08）：48-51.
作者简介：
王辰飞，河北省石家庄市，石家庄市第15中学。
关键词：化归思想；三角函数；解题
一、 引言
应用化归思想不仅能够有效的提升学生的数学解题水平，还能够锻炼学生的思维方式，让学生能够从多个角度对一个问题进行分析，并让学生的思维方式更加流畅，不仅能够对数学的学习起到推动作用，还能够有效的促进学生综合素质的全面发展，达到培养学生数学核心素养的目的。
二、 化归思想的基本内涵
化归思想是唯物辩证主义的一种重要的思考方式，其内容即化整为零，将原本复杂的问题利用简单的方式进行处理。从本质上而言，化归思想也就是通过利用一些已经掌握的，并且相对较为简单和具体的知识，将原本复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将未知的问题已知化、将特殊的问题一般化、将非典型的问题典型化的思维方式。通过这种方式，可以在知识结构没有发生较大改变的前提下，解决过往所无法解决的问题。在生活中运用化归思想，可以解决生活和工作中所出现的难题，将难以解决的问题分割成为若干个小的问题，从而通过逐个解决小的问题，最终解决整体的问题。在中学数学领域内，待定系数法、整体代入法等，都是化归思想的直接体现。
三、 三角函数的学习难点
三角函数是中学数学学习的重点和难点，其复杂性较高，并且所涉及的内容较多，在学习过程中容易产生较多的问题。三角函数的学习难点主要体现在以下几个方面：
首先，是学习观念不正确的问题。相对于初中的三角函数问题，高中的三角函数问题难度倍增，学习起来具有较大的困难。而许多高一新生没有对三角函数的困难性和重要性有明确的认知，还认为三角函数比较简单，只需要将公式代入到其中就可以解决问题。导致许多高一新生在学习的过程中，没有全身心的投入，上课不专注等问题比较明显。而在基础知识学习完后，高一新生往往刚体会到三角函数的困难，此时再进行学习就已经显得有些晚了，存在大量的知识漏洞，导致三角函数的学习产生较大的问题。
其次，是综合能力不足的问题。三角函数所涉及的内容和公式众多，需要将多个单元的内容有机结合，并非仅仅学好三角函数知识就能够解决三角函数问题，对于数学综合能力的要求较高。而由于数学本身具有高度的抽象性和理论性，学习起来具有较高的难度，因此，大多数学生都很难良好的掌握每个部分的知识，也就导致了大多数学生存在综合能力不足的问题。
再次，是学习方法不科学的问题。在课堂教学中，教师往往只讲解知识点，而不进行学习方法的传授。学生的学习方法大多是结合自身的学习经验得来的，这种具有经验性质的方法不具备科学性，许多学生使用了错误的学习方法而不自知，也就会出现学习效率低下的问题。除此之外，许多学生过于依赖教师的讲解，在课后没有将知识进行自主训练，也就导致了知识学得快，忘得也快，不利于数学学习水平的提升。
接下来，是解题方法不恰当的问题。三角函数本身具有较高的复杂性，针对一个问题，通常会有多种不同的解法，其中，有的解法简单，并且不容易出错，而有的解法较为复杂，并且容易产生计算错误。在解题的过程中，如果没有使用正确的解题方法，很容易出现解法较为复杂，并且产生计算错误的问题。
最后，是知识性的错误。三角函数所涉及的定理、公式、符号等数量众多，学生需要花费一定的时间记忆，并通过大量的练习灵活的运用这些知识。而如果记忆不够深刻，或所做的练习不够多，就会产生一些知识性的错误，如定理记不起来、公式记错、符号记混等，这种问题会对三角函数的解题产生极大的影响，这也就需要学生发挥出自身的能力进行针对性的训练，从而寻求最合理的解决方法。
四、 化归思想在三角函数解题中的应用
（一） 一般问题特殊化
数学题目花样众多，绝大多数问题都无法直接用公式或定理推导出来。这也就需要对这些问题进行处理，将一些普遍的问题转化成为所学过的特殊问题，从而解决熟悉程度较低的问题。例如，在解三角函数时，可以通过不断的推导，将三角函数转化为二次函数，要想得出三角函数的最值，只需要得出二次函数的最值即可。除此之外，比较难的y=acosx bsinx可以化归为更便于计算的y=a2 b2sin（x y）。
【例1】已知有x∈R，求f（x）=6cosx-8sinx的值域。
解答思路如下：
可以用上述的例子對本题目进行计算，其步骤为：
f（x）=6cosx-8sinx=62 （-8）2sin（x y）=10sin（x y）
因此，函数f（x）=6cosx-8sinx的值域为-10，10。
【例2】假设有一三角函数f（x），求f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3的最值。
解题思路如下：
这种题用三角函数的方式进行解决会有较高的难度，而如果将其转化为二次函数的形式，就成为了学生所熟悉的题型。因此，解答步骤为：
f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3=2cos2x-1 1-cos2x 2cosx 3
经过推导后可得出结论：
f（x）=（cosx 1）2 2
因此，f（x）=cos2x sin2x 2cosx 3的最大值为6，最小值为2。
【例3】假设有一三角函数tanx=2，求2sinx 3cosxsinx-cosx。 解题思路如下：
此分式的解决难度较大，利用传统的方法很难解答。而如果利用三角函数公式：tanx=sinxcosx进行解答，可以将分式转变成为齐次分式，也就是代入公式tanx=sinxcosx后，将整个分式的分子和分母同时除以cosx，从而得出最终的结论。
（二） 三角问题立体化
三角函数具有较高的学习难度，在应用的过程中，也容易受到各种主观或客观因素的影响，存在一定的难度。而如果使用化归的解题思想，可以通过构建几何图形的方式，来使得抽象的问题直观化，从而解决问题。
【例4】假设有三个锐角，分别为x，y，z。并且这三个锐角满足条件cos2x cos2y cos2z=-1，求证tanx·tany·tanz≥22。
解题思路如下：
在面对公式cos2x cos2y cos2z=-1时，很容易会联想到另一个公式cos2x cos2y cos2z=1，而这个公式同时又是长方体的关系式。因此，可以将原问题转换成为长方体，通过对长方体进行求解，从而得到题干中的内容。解题步骤如下：
首先，设三条边a=cosx，b=cosy，c=cosz，则可以得知tanx·tany·tanz=b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c，这也就可以使三角不等式转化为代数不等式，其解答的难度大大降低。如果a，b，c都大于零，则可以转为求证：
b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c≥22
之后可以转化为b2 c2a·a2 c2b·b2 a2c≥2bca·2acb·2abc，最终也就可以得到tanx·tany·tanz=22，因此，原问题中的tanx·tany·tanz≥22成立。
利用化归思想将三角函数问题转变为几何问题，不仅可以转变为立体几何问题，还可以转变成为解析几何问题。
【例5】假设有cos4xcos2y sin4xsin2y=1，则求证cos4ycos2x sin4ysin2x=1。
解题思路如下：
通过对两个公式进行分析，可以得知这个公式与椭圆方程有一定的相似性。而由于缺乏必要的数值参照的情况下，难以构建椭圆进行立体几何的解答，因此，可以通过解析几何的方式进行解答。通过分析题意可知，有两点P和Q，分别为（cos2x，sin2x）和（cos2y，sin2y），这两点都在椭圆x2cos2y y2sin2y=1，其中，点Q有一条切线，这条切线的方程为x y=1。根据上述内容所示，很容易能够证明出点P仍然在这条切线上，而由于对于一个椭圆而言，一条切线只具有一个切点，因此，可以得知点P和点Q在同一个点上，也就能够反向推导得出结论：cos4ycos2x sin4ysin2x=1。
（三） 三角问题代数化
【例6】求证：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。
解题思路如下：
根据所学的数学知识可知，4a的角度数比2a高一倍，将其代入公式中，假设：tan2a=t，根据公式，可以得到结果：cos4a=1-t21 t2，sin4a=2t1 t2，2tan2atan2a-1=-t。
将上述得到的内容代入到公式中来，也就可以将原本的三角函数问题彻底转化为代数问题，其解题难度就会极大的下降。解题步骤如下：
设：tan2a=t，根据万能公式，可得cos4a·tan2a-sin4a=1-t21 t2·t-2t1 t2。将所得的结果进行代数运算，也就可以得出最终的结论：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。
（四） 多变量问题少变量化
三角函数的问题普遍较为复杂，其主要内容是三角函数问题，所涉及的变量较多，并且公式也比较多。因此，需要将多变量的问题利用化归思想转变为变量少的问题，可以利用三角函数的各种正弦、余弦等定理，将多余的部分消去，只留下有用的核心部分，从而有效的降低解题的难度，优化解题步骤。
【例7】在一个三角形ABC中，证明：（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=0。
解题思路如下：
首先要对原题进行分析，根据题意可以得知，这个问题本质上是在探讨三角形的边和角的问题。由于题目本身就带有余弦定理的部分公式，因此，利用化归思想，消除掉多余的部分，利用余弦定理公式可以进行证明。其解题步骤如下：
（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=-2bccosA·tanA 2accosB·tanB
对上述等式进行推导，可以得出结论：（a2-b2-c2）tanA （a2-b2 c2）tanB=0。
（五） 数形结合思想
数与形是一件事物的两个方面属性，也是数学中最基本的研究对象。在一定条件的限制下，数与形之间是可以进行相互转化的。在高中阶段，已经对数与形有了较为透彻的研究，通过将二者相互融合，取长补短，发挥出各自的优势，优化数学解题路径，这也就体现出了数学中数形结合的基本理念。
五、 结语
数学是一门具有较高的难度和抽象性的学科，其知识体系较为复杂，并且一个问题往往涉及多方面的知识，是学生学习的重点和难点。在数学中，许多难题都无法通过常规的计算方法解决，这也就为化归思想提供了广泛的应用范围。三角函数的学习主要有以下几方面的难点，首先，许多学生的学习观念不正确，对于三角函数的重視程度不足。其次，三角函数所涉及的内容和公式众多，学生普遍存在着综合能力不足的问题。再次，许多学生的学习方法不对，学习效率较低。接下来，许多学生的解题方法过于复杂，容易出现错误。最后，部分学生对于三角函数相关的基础知识掌握不扎实，容易出现错误的问题。而利用化归思想，可以有效的解决上述出现的集中问题，具有重要的意义。
参考文献：
[1]苏芳，覃学文.在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想[J].梧州学院学报，2012，22（02）：101-104.
[2]马艳，马贵.化归思想方法在中学数学教学中的应用——以解方程为例[J].北京教育学院学报（自然科学版），2012，7（03）：1-4.
[3]王燕荣，韩龙淑，屈俊.基于启发式教学的数学思想教学设计——以“化归思想”为例[J].教学与管理，2015，（01）：57-59.
[4]熊开明.关于应用幂级数定义正弦函数和余弦函数的教学研究[J].泸州职业技术学院学报，2010，（02）：19-21.
[5]邵陈标.凸现数学思想方法提升“空间与图形”的教学价值——以“平面图形面积”的教学为例[J].中小学教师培训，2011，（08）：48-51.
作者简介：
王辰飞，河北省石家庄市，石家庄市第15中学。